湖南省长沙市2024高三数学上学期月考试卷2

湖南省长沙市2024届高三月考试卷(二)数学本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,时量120分钟，满分150分.第I卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则A.(0,2) B.[0,2] C.[-1,4) D.[-1,2]2.在平面直角坐标系中,以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为A. B.C. D.3．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标记着已初步遏制疫情，则约为A．60 B．63 C．66 D．694．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在全部信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是A． B． C． D．5.已知圆锥的母线长为2,轴截面顶角的正弦值是,过圆锥的母线作截面,则截面面积的最大值是A.1 B. C.1或2 D.26.设函数,若为函数的一个极值点,则下列图象不行能为的图象的是7.已知分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支相交于、两点,且.若,则双曲线的离心率为A. B. C. D.8.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面内的动点,且满意,则三棱锥体积的最大值是A. B.24 C. D.36二、选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得2分.9.关于统计数据的分析,有以下几个结论，其中正确的是A.利用残差进行回来分析时，若残差点比较匀称地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回来模型的拟合精度较高B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有改变C.调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中随意抽取一排的人进行调查是分层抽样法D.样本数据9,3,5,7,12,13,1,8,10,18的第80百分位数是12.510．1748年，瑞士数学家欧拉发觉了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有A． B．C． D．11.已知函数,则下列结论正确的是A.是偶函数B.在区间单调递㖪C.的周期是D.的最大值为212.下列不等关系正确的是A. B. C. D.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知且,则的夹角是_____.14.已知函数(为常数)为奇函数,且为增函数,则实数的取值范围是_____.15.已知抛物线,直线与相交于两点,若使,则_____.16.已知三角形数表:现把数表按从上到下、从左到右的依次绽开为数列，记此数列的前项和为.若，则的最小值是_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知,抛物线与轴正半轴相交于点.设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距.(1)求数列的通项公式;(2)设,求证:（且）.18.（本小题满分12分)在中,角的对边分别为,若.(1)求证:;(2)对,请你给出一个的值,使不等式成立或不成立,并证明你的结论.19.(本小题满分12分)如图1,在中,是边的中点.现把沿折成如图2所示的三棱锥,使得(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采纳的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆渐忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．依据一轮测试中的两次排序的偏离程度的凹凸为其评级．现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在其次次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．(1)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，写出的可能值集合，并求的分布列；(2)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，①试按(1)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．21.(本小题满分12分)已知是圆上的随意一点,线段的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设交轨迹于另两点.记和的面积分别为.求的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数(为正有理数).(1)求函数的单调区间;(2)证明:当时,

湖南省长沙市2024届高三月考试卷(二)数学参考答案一、二选择题题号123456789101112答案BACDCDBAADABCABABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14.15.216.95四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)抛物线在点处的切线方程为,所以它在轴上的截距.(2).18.【解析】(1)由且得.(2)当时,不等式成立,即有.证明如下:由余弦定理有由(1)知,所以,即.或当时,不等式成立,即有.证明如下:由正弦定理有(其中是外接圆的半径)由(1)知.而,所以,又,所以,即.或,而由余弦定理由(1)知,所以,即.或当时,不等式不成立,即不成立.证明如下:取,则有,所以,即.说明此时不成立19.【解析】（1）在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，则.在图2中，取CP的中点O,连接AO,OB,因为,所以且.在中,由余弦定理有,所以,所以,又,所以面,又面,所以平面平面.（2）因为面且，故可建立如图2空间直角坐标系，则.设平面的法向量为,则由得又平面的法向量为.所以.因此,二面角的余弦值为.20.【解析】(1)的可能取值集合为,在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个,所以中奇数个数等于中偶数个数,因此与的奇偶性相同,从而必为偶数.的值非负,且易知其值不大于8.简单举出访得的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的的值，在等可能的假定下，得到的分布列为02468（2）①首先将三轮测试都有X≤2的概率记做P,有上述结果和独立性假设得②由于是一个很小的概率,这表明仅凭随机揣测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师的确有良好的鉴别功能,不是靠随机揣测.21.【解析】(1)由题意可知,所以动点的轨迹是以A、F为焦点且长轴长为4的椭圆,因此方程为设,则在中,由余弦定理得,则有.同理.所以.设,则.同理可得所以.易知,所以的取值范围是.22.【解析】(1)函数的定义域为..当时,;当时,.所以函数的单调区间为且在(0,1)上单调递增,在上单