2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式测评课后提升训练含解析新人教B版必修第一册

其次章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A={x|x2<1},B={x|x>0},则A∩B=()A.(0,1) B.(-1,+∞)C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)解析∵A={x|x2<1}={x|-1<x<1},B={x|x>0},∴A∩B={x|0<x<1}=(0,1).答案A2.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a的取值为()A.8 B.2 C.-4 D.-8解析原不等式化为-6<ax+2<6,即-8<ax<4.又因为-1<x<2,所以验证选项易知a=-4适合.答案C3.已知实数a,b满意1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,则4a+2b的取值范围是()A.[0,10] B.[2,10] C.[0,12] D.[2,12]解析因为4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以3×1-1≤4a+2b≤3×3+1,即2≤4a+2b≤10.答案B4.假如x是实数,那么使|x|≤2成立的必要不充分条件是()A.|x+1|≤1 B.|x+1|≤2C.|x+1|≤3 D.|x-1|≤1解析|x|≤2⇔-2≤x≤2,又因为|x+1|≤1⇔-2≤x≤0,|x+1|≤2⇔-3≤x≤1,|x+1|≤3⇔-4≤x≤2,|x-1|≤1⇔0≤x≤2,所以|x|≤2⇒|x+1|≤3.答案C5.若两个正实数x,y满意1x+4y=1,且不等式x+y4<m2-3mA.(-1,4) B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)解析1x+4yx+y4=2+y4x+4xy≥2+2y4x·4xy=4,当且仅当y=4x=8时等号成立,则x+y4≥4,当且仅当y=4x=8时等号成立,不等式x+y4<m2答案C6.已知a>0,b>0,若不等式3a+1b≥A.9 B.12 C.18 D.24解析由3a+1b≥ma+3b得m≤(a+3b)3a+1b=9ba+ab+6.又9答案B7.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},那么不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集为()A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3} D.{x|0<x<3}解析因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,所以-ba=-1+2=1,ca=-2,即b=-a,c=-2a,代入不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax整理得a(x2-3x)>0,因为a<0,所以x2-3x<0,所以0<x<答案D8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-cA.37 B.8 C.47 D.93解析由题意p=7,S=7(7-a)(7-b)(7-c)=答案A二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)9.(2024鱼台第一中学高一期中)若正实数x,y满意x>y,则有下列结论,其中正确的有()A.xy<y2 B.x2>y2C.yx<y+mx解析A项,由于x,y为正实数,且x>y,两边乘以y得xy>y2,故A错误;B项,由于x,y为正实数,且x>y,所以x2>y2,故B正确;C项,由于x,y为正实数,且x>y,m>0,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以yx<y+mx+m成立,故C正确;D项,由于x,y为正实数,且答案BCD10.若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的可能取值有()A.-1 B.0 C.1 D.2解析∵x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,∴k≠0且Δ=4-4k×(-1)>0,解得k>-1,∴k的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞),故k可以取1,2.答案CD11.小王从甲地到乙地来回的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则下列结论正确的是()A.a<v<ab B.v=abC.ab<v<a+b2 D解析设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为sa+sb,∵b>a>0,由均值不等式可得ab<a+b2,∴v=2aba+b<2ab2ab=ab答案AD12.设a>0,b>0,则以下不等式中恒成立的是()A.(a+b)1a+1b≥4 B.a3+b3≥2C.a2+b2+2≥2a+2b D.|解析∵a>0,b>0,∴(a+b)1a+1b≥2ab·21a·1b=4,故A恒成立;∵a3+b3-2ab2=a3-ab2+b3-ab2=(a-b)(a2+ab-b2),无法确定正负,故B不恒成立;a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,故C恒成立;若a<b,则|a-b|≥a-b恒成立,若a≥b,则(|a答案ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=.

解析每年购买次数为400x∴总费用=400x·4+4x≥26400=当且仅当1600x=4x,即x=20时等号成立,故x=20答案2014.若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),则a的值为.

解析不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),所以方程tx2-6x+t2=0有两个根,分别为a,1,且a<1,t<0.由根与系数的关系可得1+所以a=2或-3,又∵a<0,∴a=-3.答案-315.(2024河南高二期末)已知x,y均为正实数,且满意1x+1y+3xy解析由1x+1y+又因为xy≤x+y22,所以即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,∴(x+y-6)(x+y+2)≥0,∴x+y≤-2或x+y≥6.又∵x,y均为正实数,∴x+y≥6(当且仅当x=y=3时,等号成立),即x+y的最小值为6.答案616.(2024浙江宁波高一期中)已知函数f(x)=x2+ax+1.若不等式f(x)≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则实数a的最小值为;若f(x)=0的一个根比1大,另一个根比1小,则实数a的取值范围是.

解析①不等式f(x)=x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,即为-a≤x+1x对一切x∈(0,1]恒成立,设g(x)=x+1x,x∈(0,1],则g(x)=x+1x≥2(当且仅当x=1时等号成立),所以-a≤2,即a≥-2,所以a的最小值为②若f(x)=0的一个根比1大,另一个根比1小,则f(1)=2+a<0,即a<-2.答案-2(-∞,-2)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)解下列不等式:(1)x2-4x+3≤0;(2)x+22解(1)x2-4x+3≤0,即(x-3)(x-1)≤0,解得1≤x≤3,所以不等式的解集为{x|1≤x≤3}.(2)x+22x-3≥0等价于(x+2)(2x18.(12分)已知正实数a,b满意a+b=4,求1a+1解∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,∴1a+1+1b+3=18[(=182+b+3a+1+a+1b+3≥当且仅当a+1=b+3,即a=3,b=1时取等号,∴1a+1+19.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:12证明因为a>0,b>0,a+b=1,所以12a+1+42b+1·[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+2b+12a+1+4又(2a+1)+(2b+1)=4,所以1220.(12分)函数f(x)=x2-ax-6a,其中a是常数.(1)f(x)<0的解集是{x|-3<x<6},求a的值,并解不等式f((2)假设不等式f(x)<0有解,且解区间长度不超过5个单位长度,求a的取值范围.解(1)因为f(x)<0的解集是{x|-3<x<6},故方程x2-ax-6a=0对应的两根为-3和6,由根与系数的关系可得a=-3+6=3,此时f(x)=x2-3x-18.故f(x)即(x-6)(x+3)(x-3)≥0,且x≠3.依据数轴,简单得x∈[-3,3)∪[6,+∞).故不等式的解集为{x|-3≤x<3或x≥6}.(2)f(x)<0有解,则可得Δ=a2+24a>0,解得a>0或a<-24.设方程x2-ax-6a=0的两根为x1,x2,则x1+x2=a,x1x2=-6a.由题可知,|x1-x2|≤5,即(x1+x2)2-4x1x2≤25,代入得a2+24a-25≤0,解得-25≤a≤1.综上所述,a∈[-25,-24)∪(0,1].21.(12分)某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,若该公司从第1年到第n年花在该渔船修理等事项上的全部费用为(2n2+10n)万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年起先盈利?(即总收入减去成本及全部费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出;②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出;哪一种方案较为合算?请说明理由.解(1)设捕捞n年的盈利为y万元,则y=50n-(2n2+10n)-98=-2n2+40n-98.由y>0,得n2-20n+49<0,解得10-51<n<10+51(n∈N+),则3≤n≤17.所以捕捞3年起先盈利.(2)方案①合算.理由如下:①yn=-2n-98n+40≤-22n·当且仅当2n=98n,即n=7时取等号故经过7年捕捞,年平均盈利最大,共盈利12×7+26=110(万元).②因为y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,所以当n=10时,y取得最大值102.即经过10年捕捞盈利总额最大,共盈利102+8=110(万元).综上知,两种方案获利相等,但方案②的时间长,所以方案①合算.22.(12分)已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0,其中k∈R.(1)当k改变时,试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,若满意A∩Z=B(其中Z为整数集),摸索究集合B能否为有限集.若能,求出访得集合B中元素个数最少的k的全部取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.解(1