浙江省丽水市发展共同体2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE19-浙江省丽水市发展共同体2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.留意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题纸上；2.每小题选出答案后，用铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑.第Ⅰ卷选择题部分（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】.故选：B【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.2.若，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】依据不等式的性质结合特别值法对A、B二个选项进行推断，利用作差比较法对选项C、D进行推断.【详解】A：依据不等式的性质可知当，时，能得到.例如当，，明显，成立，但是不成立，故本选项说法不正确；B：当时，明显不成立，故本选项说法不正确；C：，故本选项说法不正确；D：，故本选项说法是正确的.故选：D【点睛】本题考查了不等式的性质应用，考查了作差比较法的应用，考查了数学运算实力.3.已知集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出集合、，再依据集合的交运算即可求解.【详解】，，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法、对数型不等式解法，属于基础题.4.已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A. B.7 C.6 D.【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等学问，转化与化归的数学思想．5.将函数的图象向左平移个单位长度，则所得函数（）A.是奇函数 B.其图象以为一条对称轴C.其图象以为一个对称中心 D.在区间上为单调递减函数【答案】D【解析】分析】利用三角函数的平移变换原则求出平移后的解析式，再利用三角函数的性质逐一推断即可.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，可得，对于A，，所以函数为偶函数，故A不正确；对于B，当时，，故B不正确；对于C，当时，，故C不正确；对于D，，由，解，即的单调递减区间为，又，在区间上为单调递减函数，故D正确；故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、余弦函数的性质，驾驭三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.6.已知、为锐角，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，然后利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】为锐角，则，所以，，.故选：C.【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算实力，属于基础题.7.某船起先望见灯塔时，灯塔在船南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，望见灯塔在船正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图所示，设灯塔位于处，船起先的位置为，船行后处于，依据题意求出与的大小，在三角形中，利用正弦定理算出的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】设灯塔位于处，船起先的位置为，船行后处于，如图所示，可得，，，在三角形中，利用正弦定理可得：，可得故选【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特别角的三角函数值，娴熟驾驭正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．8.设等差数列的前n项和为，满意，，则（）A. B.的最大值为C. D.满意的最大自然数n的值为23【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式可得，结合即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为由，可得，整理可得，由所，即，故A错误；依据，则数列为递减数列，，即，则前项或前项的和最大，故B错误；C正确；所以，即，解得，满意的最大自然数n的值为22，故D错误；故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性，属于基础题.9.在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过利用向量三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.【详解】,,,可得:由故选:A.【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是驾驭向量的基础学问,考查了分析实力和计算实力,属于中档题.10.在递减等差数列中，．若，则数列的前项和的最大值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】设公差为，所以由，，得（正舍），即，因为，所以数列的前项和等于，选D.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.11.已知向量与单位向量所成的角为，且满意对随意的，恒有，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将两边同时平方，将模的平方转化为向量的平方，通过不等式恒成立可求，再将平方，还是将模的平方转化为向量的平方，把代入，可将问题转化为关于的二次函数最值问题.【详解】∵已知向量与单位向量所成的角为，∴，，又∵对随意的，恒有，∴即∴，对随意的恒成立，∴即∴，且，即，，∴的最小值为，故选：C.【点睛】本题考查数量积的定义运算和数量积的性质运算，关键要通过将模的平方转化为向量的平方，把不等式恒成立问题转化求二次函数的最值问题，考查运算求解实力和转化与化归思想，是中档题.12.已知数列满意，，则下列说法错误的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，【答案】D【解析】【分析】首先依据题意，分别令和，求出的值，比较可得答案.【详解】因为，，所以当时，，，满意，当时，，不满意；故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的学问点有比较项之间的大小，在解题的过程中，留意小题小做思想的应用，留意特值法的应用.第Ⅱ卷非选择题部分（共90分）留意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上；2.作图时，可先运用铅笔，确定后必需运用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题（本题共7小题，13-16每小题6分，17-19每小题4分，共36分）13.已知点是角终边上的一点，则=______，=_______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依据三角函数值定义和齐次式计算得到答案.【详解】依据题意知：，.故答案为：-2；4.【点睛】本题考查了三角函数值定义，齐次式求值，意在考查学生的计算实力和应用实力.14.已知向量，，且满意，则实数=______，向量在方向上的投影为________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依据得到，在方向上的投影为，计算得到答案.【详解】，则，故.，向量在方向上的投影为.故答案为：；.【点睛】本题考查了依据向量垂直求参数，向量的投影，意在考查学生的计算实力和应用实力.15.已知角满意，则=________，=_________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】，计算得到，平方得到答案.【详解】，故，，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算实力和转化实力.16.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.【答案】(1).(2).10【解析】【分析】由已知结合正弦定理可求，然后结合二倍角关系可求，结合三角形的面积公式及等高三角形的面积比可转化为底的比可求．【详解】解：因为，，，由正弦定理可得：，所以，则；，，由余弦定理可得：，解可得（舍或，所以，．故答案为：，10．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用．17.已知数列的前项和，则_______【答案】【解析】【分析】依据与的关系可求出，再利用等比数列的前项和公式即可求出．【详解】当时，；当时，，当时，也符合上式．所以，即有，故数列也为等比数列．．故答案为．【点睛】本题主要考查与的关系应用以及等比数列的前项和公式的应用．18.已知向量，满意，，则的最大值为_________.【答案】【解析】【分析】平方绽开等式得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】，故；，故.故，，当时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的模，均值不等式，意在考查学生的计算实力和应用实力.19.已知实数满意，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】变换，利用均值不等式得到，计算得到答案.【详解】，故，当时等号成立.故且，故.故答案为：.【点睛】本题考查了均值不等式求最值，变换是解题的关键.三、解答题（本题共4小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若角，，求的值.【答案】（1）最小正周期：，单调递增区间为：；（2）【解析】【分析】（1）化简得到，计算，取，解得答案.（2）计算，，变换，计算得到答案.【详解】（1），∴，令，则，∴单调递增区间为：.（2）由题得，，，，又故，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调区间，三角恒等变换，意在考查学生的计算实力和对于三角函数学问的敏捷运用.21.已知中的内角所对的边分别为满意，的面积.（1）若，求面积；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）依据面积公式的余弦定理得到，故，再计算得到面积.（2）依据正弦定理得到，化简，依据角的范围得到答案.【详解】（1）由题得，故，即，，∴，∴，∴，∴.（2）由正弦定理，得，∴=，由锐角三角形得，∴.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算实力和综合应用实力.22.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，设正实数满意，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）探讨，，三种状况，计算得到答案.（2），解得，，利用均值不等式解得答案.【详解】（1）当时，，∴，则，或，或，得或或，，所以所求不等式的解集为.（2），当时，，时等号成立；当时，，时等号成立.故，，，，，当，即，时等号成立，所以所求最小值为：.【点睛】本题考查了探讨法解肯定值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算实力和应用实力.23.设数列的前n项和为，满意，.（1）若，求数列的通项公式；（2）是否存在一个奇数，使得数列中的项都在数列中？若存在，找出符合条件的一个奇数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）利用将原递推公式进行化简，可得，进而可得，两式相减可得，再依据等差数列的定义可得数列和分别是以为首项，为公差的等差数列，由此即可求出结果；（2）当时，由可得，，所以数列和分别是以为首项，为公差的等差数列，和，记，当为奇数时，为奇数，而为偶数；所以不是数列中的