4.1.2 平面的基本性质（解析版）

4.1.2平面的基本性质同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（

）A． B．C． D．，【答案】C【分析】根据平面性质及符号表示的意义逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，表示既在直线上，也在平面内，故，故A正确.对于B，表示既在平面内，也在平面内，故，故B正确.对于C，表示或有一个交点，若该交点为，则，故C错误.对于D，表示有一个公共点，而表示或有一个交点，故，故D正确.故选：C.2．点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根据点线关系和线面关系判定即可.【详解】点A在直线l上，则，l在平面内，则故选：D3．两个平面的公共点有（

）A．个 B．个 C．无数个 D．个或无数个【答案】D【分析】根据两个平面平行和相交时的交点个数可得结果.【详解】若两个平面平行，则两平面有个公共点；若两个平面相交，则必有一条交线，即公共点有无数个.故选：D.4．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条【答案】D【分析】根据平面与平面的位置关系即可得出结论.【详解】三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：故选：D5．下列说法中错误的是（

）A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】C【分析】根据立体几何三大公理以及推论，可得答案.【详解】对于A，由不在同一直线上的三个点确定唯一平面，故A正确；对于B，由两条相交直线确定唯一平面，由题意，第三条直线与相交的两条直线分别相交于两个不同的点，根据直线上两个不同点在一个平面内，该直线也在平面内，故B正确；对于C，由平面与平面相交，则两平面一定相交于一条直线，在该直线上存在无数个点，故C错误；对于D，由平面相交公理，可得D正确.故选：C.6．下列命题中，正确命题的个数是（

）①四边相等的四边形为菱形；②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据空间四边形可判断①②错误，有平面的基本性质可判断③④正确.【详解】由空间四边形可判断①②错误.“平面不经过直线”即直线与平面相交或者平行，所以③正确.由平面的基本性质，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可判断④正确.故选：B7．过平面外两点且垂直于平面的平面（）A．有且只有一个 B．有一个或两个C．有且仅有两个 D．有一个或无数个【答案】D【分析】分⊥与与不垂直两种情况，进行分析，得到答案.【详解】如图1，平面外两点为，连接，⊥，此时过平面外两点且垂直于平面的平面有无数个，如图2，连接，若与不垂直，此时过平面外两点且垂直于平面的平面有1个，故选：D8．根据所学知识判断下列描述错误的是（

）A．不相交的直线是平行直线 B．经过两条平行直线有且只有一个平面C．不共线的三点确定一个平面 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点【答案】A【分析】利用空间直线的位置关系判断A；利用平面基本事实判断BC；利用棱台的定义判断D作答.【详解】对于A，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A错误；对于B，两条平行直线确定一个平面，B正确；对于C，不共线的三点确定一个平面，C正确；对于D，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确.故选：A9．下列条件一定能确定一个平面的是（

）A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线【答案】D【分析】由空间中点线面的位置关系直接判断即可..【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．故选:D．10．下列推理错误的是（

）A．，，， B．，，，C．， D．，【答案】C【分析】由平面的性质与公理依次判定.【详解】由，，，根据公理1可得，故A选项正确，由，，，根据公理2可得，故B选项正确，由，可得或，故C选项错误，由，根据公理1可得，故D选项正确，故选：C.二、填空题11．直线与平面之间的位置关系（1）公理1如果一条直线上有两点在一个平面上，那么．（2）直线与平面之间的位置关系文字语言符号语言直线l在平面上直线l与平面相交于点A直线l与平面平行【答案】这条直线上所有的点都在这个平面上或【分析】略【详解】略12．已知，，若，，那么直线与平面有个公共点．【答案】【分析】结合点、线、面的位置关系，作出图形，即可求解.【详解】如图所示，因为，，且，，可得直线与平面相交，所以直线与平面有且仅有个公共点.故答案为：.13．生活经验：“两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才稳定”，可以解释该经验的数学公理是．【答案】不共线的三点确定一个平面【分析】根据生活经验和平面的性质进行分析即可【详解】类比三脚架知，支撑点形成一个平面才会保持稳定，因此加上一个支撑脚后，两个轮子加支撑脚与地面接触点形成了不共线的三点，确定了一个平面.故答案为：不共线的三点确定一个平面14．给出下列命题：①三点确定一个平面；②若直线直线，则直线与能够确定一个平面；③已知平面，直线和点，若，且，则.其中正确命题的序号是.【答案】②③【分析】利用公理1和公理2，逐一对①②③分析判断即可得出结果.【详解】①中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此①错误；②中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此②正确；③中，由于点既在直线上又在平面内，即直线上的两点在平面内，所以直线在平面内，即，因此③正确．综上，可知正确命题的序号是②③.故答案为：②③.15．两个平面可以将空间分成个部分．【答案】3或4/4或3【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果.【详解】空间中两个平面的位置关系是平行或相交，若两个平面平行，则可将空间分成3部分，若两个平面相交，可将空间分成4部分，所以两个平面可以将空间分成3或4个部分.故答案为：3或4．三、解答题16．如图，已知直线平面，相异四点，，，满足：，，，.（1）判断空间直线与的位置关系，并说明理由；（2）若//，求证：.【答案】（1）与的位置关系是平行或异面，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）根据直线与平面的位置关系简单判断即可.（2）根据形成平面的基本条件以及线面平行的性质定理进行判断，可得结果.【详解】（1）与的位置关系是平行或异面.说明如下：∵，，，，∴，，∵直线//平面，∴直线与平面无公共点，∴与也无公共点，∴与平行或异面.（2）∵//，∴过，可作平面，且，，如图∵直线//平面，∴//，即//，∴四边形是平行四边形，∴.17．已知三角形ABC的三个顶点都在平面上，求证：该三角形的内心I也在平面上．【答案】证明见解析【分析】根据平面的基本性质分析证明.【详解】记的平分线与BC交于点D，则．∵，，∴．又，∴．∵，∴，∵，∴．18．过已知直线外一点与这条直线上的3点，分别画3条直线，证明：这三条直线在同一个平面内.【答案】证明见解析【分析】根据平面公理及其推论即可证明．【详解】

已知：如图，已知，．求证：共面．证明：，根据公理2的推论可得：点和直线确定一个平面，，，∴，又∵，∴，即共面.【点睛】本题主要考查平面公理及其推论，属于基础题．19．将下列符号语言转化为图形语言：(1)A∉α，a⊂α.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β.(3)aα，a∩α＝A(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【分析】根据点线、点面、线面、面面的位置关系画出图形即可.【详解】（1）如图(1)所示．（2）如图(2)所示．（3）如图(3)所示．（4）如图(4)所示．能力进阶能力进阶20．下面的说法正确吗？为什么？(1)线段AB在平面内，直线AB不全在平面内；(2)平面和平面只有一个公共点．【答案】(1)说法不正确，理由见解析；(2)说法不正确，理由见解析.【分析】（1）根据平面基本事实进行判断即可；（2）根据平面基本事实进行判断即可.【详解】（1）这种说法不正确，理由如下：因为线段AB在平面内，所以A、B两点在平面内，由平面基本事实可知：直线AB在平面内.（2）这种说法不正确，理由如下：由平面基本事实可知：两个不重