2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测试题36

《不等式和绝对值不等式》测评(时间90分钟，满分100分)得分评卷人一、选择题(本大题共10个小题；每小题4分，满分40分)1．若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则下列结论不正确的是A．a2＜b2B．ab＜b2C.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2D．|a|－|b|＝|a－b|2．函数y＝log2(x＋eq\f(1,x－1)＋5)(x＞1)的最小值为A．－3B．3C．4D．－43．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝eq\f(a3＋a9,2)，Q＝eq\r(a5a7)，则P与Q的大小关系是A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．无法确定4．设6＜a＜10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是A．9＜c＜30B．0≤c≤18C．0≤c≤30D．15＜c＜305．不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,\f(3－x,3＋x)>|\f(2－x,2＋x)|))的解集是A．(0,2)B．(0,2.5)C．(0，eq\r(6))D．(0,3)6．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a等于A．8B．2C．－4D．－87．若1＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，则下列结论中不正确的是A．logab＞logbaB．|logab＋logba|＞2C．(logba)2＜1D．|logab|＋|logba|＞|logab＋logba|8．当0＜x＜eq\f(π,2)时，函数f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)的最小值为A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)9．不等式|sinx＋tanx|＜a的解集为N；不等式|sinx|＋|tanx|＜a的解集为M；则解集M与N的关系是A．N⊆MB．M⊆NC．M＝ND．MN10．下列四个命题：①若a＞b，c＞1，则algc＞blgc;②若a＞b，c＞0，则algc＞blgc；③若a＞b，则a·2c＞b·2c;④若a＜b＜0，c＞0，则eq\f(c,a)＞eq\f(c,b).其中，正确命题的个数为A．1B．2C．3D．4答题栏题号12345678910答案二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)11．不等式|x|＞eq\f(2,x－1)的解集为______．12．定义运算x·y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x(x≤y)，,y(x>y)，))若|m－1|·m＝|m－1|，则m的取值范围是______．13．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，其图象经过A(－4,1)，B(0，－1)两点，f(x)的反函数是f－1(x)，则f－1(1)的值是______；不等式|f(x－2)|＜1的解集是______．14．已知α，β是实数，给出下列四个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2)；④|α·β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________________________．15．已知不等式|x－3|＜eq\f(1,2)(x＋a)的解集为A，且A≠∅，则a的取值范围是______．三、解答题(本大题共5个小题，每小题8分，共40分)16．2008海南、宁夏高考，24已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)解不等式|x－8|－|x－4|＞2.17．设关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a.(1)当a＝1时，解这个不等式；(2)当a为何值时，这个不等式的解集为R?18．若a＞b＞c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c).19．已知函数f(x)＝2x－1的反函数为y＝f－1(x)．(1)求不等式2f－1(x)－log2(1－x)≥0的解集P；(2)若对(1)中的解集P，当x∈P时，总有f－1(x)－log2(1－x)≥t成立，求t的取值范围．20．如下图所示，电灯挂在圆桌的正中央上方．假定它与桌面上A点的水平距离是a，那么，电灯距离桌面的高度h等于多少时，A点处最亮？(亮度公式I＝eq\f(k,r2)sinθ，这里k是常数，r是电灯到照射点的距离，θ是照射到某点的光线与水平平面所成的角．)参考答案1．D解析：方法一(特殊值法)：令a＝－1，b＝－2，代入A、B、C、D中，知D不正确，故选D.方法二：由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，得b＜a＜0，所以b2＞ab，ab＞a2，故A、B正确．又由eq\f(b,a)＞0，eq\f(a,b)＞0，且eq\f(b,a)≠eq\f(a,b)，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2正确．从而A、B、C均正确，对于D，由b＜a＜0⇒|a|＜|b|.即|a|－|b|＜0，而|a－b|≥0，故D错．2．B解析：x＞1⇒x－1＞0，y＝log2(x＋eq\f(1,x－1)＋5)＝log2(x－1＋eq\f(1,x－1)＋6)≥log2(2＋6)＝log28＝3.3．A解析：由等比知识，得Q＝eq\r(a5·a7)＝eq\r(a3·a9)，而P＝eq\f(a3＋a9,2)，且a3＞0，a9＞0，a3≠a9.∴eq\f(a3＋a9,2)＞eq\r(a3·a9)，即P＞Q.4．A解析：因为eq\f(a,2)≤b≤2a，所以eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a.又因为6＜a＜10，所以eq\f(3a,2)＞9,3a＜30.所以9＜eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a＜30.即9＜c＜30.5．C解析：用筛选法，容易验证x＝2是不等式的解，否定A；x＝eq\f(5,2)不是不等式的解，否定D；x＝eq\r(6)使eq\f(3－x,3＋x)与|eq\f(2－x,2＋x)|取“＝”，∵eq\r(6)＜eq\f(5,2)，故否定B.6．C解析：由|ax＋2|＜6⇒－8＜ax＜4.当a＞0时，－eq\f(8,a)＜x＜eq\f(4,a).∵解集是(－1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,a)＝－1，,\f(4,a)＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,a＝2，))两值矛盾．当a＜0时，eq\f(4,a)＜x＜－eq\f(8,a).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＝－1，,－\f(8,a)＝2))⇒a＝－4.7．D解析：方法一(特殊值法)：由1＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，知0＜b＜a＜1.令a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，则logab＝2，logba＝eq\f(1,2).可判定A、B、C均正确；D不正确，故选D.方法二：由1＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，得0＜b＜a＜1.∴logab＞logaa＝1,0＜logba＜logbb＝1.∴A、B、C选项正确．由绝对值不等式性质，知|logab|＋|logba|＝|logab＋logba|，故D不正确．8．C解析：方法一：f(x)＝eq\f(2cos2x＋8sin2x,2sinxcosx)＝eq\f(1＋4tan2x,tanx)＝4tanx＋eq\f(1,tanx)≥4.这里tanx＞0且tanx＝eq\f(1,2)时取等号，故选C.方法二：f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)＝eq\f(5－3cos2x,sin2x)(0＜2x＜π)．令μ＝eq\f(5－3cos2x,sin2x)，有μsin2x＋3cos2x＝5.eq\r(μ2＋9)sin(2x＋φ)＝5，∴sin(2x＋φ)＝eq\f(5,\r(μ2＋9)).∴|eq\f(5,\r(μ2＋9))|≤1，得μ2≥16.∴μ≥4或μ≤－4.又μ＞0，故选C.9．B解析：|sinx＋tanx|≤|sinx|＋|tanx|，则M⊆N(当a≤0时，M＝N＝∅)，故选B.10．C解析：①正确，∵c＞1，lgc＞0；②不正确；∵0＜c＜1时，lgc＜0；③正确，∵2c＞0；④正确，∵a＜b＜0⇒0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).11．{x|x＜1或x＞2}解析：方法一：当x＜1时，eq\f(2,x－1)＜0，不等式成立．当x＞1时，原不等式化为x＞eq\f(2,x－1)，即x－eq\f(2,x－1)＞0，eq\f(x2－x－2,x－1)＞0，eq\f((x－2)(x＋1),x－1)＞0，得－1＜x＜1或x＞2.故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}．方法二：|x|＞eq\f(2,x－1)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,x－1)，,x≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(2,1－x)，,x<0.))解得x＜1或x＞2.12．m≥eq\f(1,2)解析：依题意，有|m－1|≤m⇔－m≤m－1≤m⇔m≥eq\f(1,2).13．－4{x|－2＜x＜2}解析：由互为反函数的对称性，知f－1(1)＝－4.|f(x－2)|＜1⇒－1＜f(x－2)＜1.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，所以－4＜x－2＜0，得－2＜x＜2.14．①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可)解析：①③成立时，|α＋β|＝|α|＋|β|＞4eq\r(2)＞5，∴④成立．又由①，知αβ＞0，∴|α－β|≤|α＋β|成立，即②成立，同理②③⇒①④.15．a＞－3解析：∵A≠∅，∴|x－3|＜eq\f(1,2)(x＋a)⇒－eq\f(1,2)(x＋a)＜x－3＜eq\f(1,2)(x＋a)⇒eq\f(6－a,3)＜x＜6＋a.∴eq\f(6－a,3)＜6＋a.解得a＞－3.16．解：(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，x≤4，,－2x＋12，4<x≤8，,－4，x>8.))图象如下：(2)不等式|x－8|－|x－4|＞2，即f(x)＞2，由－2x＋12＝2得x＝5.由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．17．解：(1)当a＝1时，原不等式可变为|x＋3|＋|x－7|＞10，可得其解集为{x|x＜－3，或x＞7}．(2)∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－(x－7)|＝10对任意x∈R都成立，∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥lg10＝1对任何x∈R都成立，即lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a当且仅当a＜1时，对任何x∈R都成立．18．证明：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，∴(a－c)(eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c))＝[(a－b)＋(b－c)](eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c))≥2eq\r((a－b)(b－c))×2eq\r(\f(1,a－b)×\f(1,b－c))＝4.当且仅当a＋c＝2b时，等号成立．∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c).19．解：(1)由y＝2x－1，得y＋1＝2x，∴f－1(x)＝log2(x＋1)．由2f－1(x)－log2(1－x)≥0，得2log2(1＋x)－log2(1－x)≥0.⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,1－x>0，,(1＋x)2≥1－x.))解得0≤x＜1，∴P＝{x|0≤x＜1}．(2)∵x∈P时，恒有t≤f－1(x)－log2(1－x)成立，即t≤log2(1＋x)－log2(1－x)＝log2eq\f(1＋x,1－x)(0≤x＜1)，∴－1＜－x≤0,0＜1－x≤1,1＋x＜2，∴eq\f(2,1－x)≥2，eq\f(2,1－x)－1≥1，即eq\f(1＋x,1－x)≥1，∴log2eq\f(1＋x,1－x)≥0，∴log2eq\f(1＋x,1－x)的最小值为0.∵t≤f－1(x)－log2(1－x)在[0,1)上恒成立，∴t的取值范围是{t|t≤0}．20．解：设照射到A点处的光线与桌面所成的角为x，从图中可以看出，r＝eq\f(a,cosx)，因此，A点处的亮度I＝k×eq\f(1,a2)sinxcos2x，I取最大值的问题可化为I2取最大值的问题，由于I2＝eq\f(k2,a4)sin2xcos4x，这里eq\f(k2,a4)是一个常数，所以只需讨论函数sin2xcos4x在何时取得最大值．因为sin2xcos4x＝4sin2x·eq\f(cos2x,2)·eq\f(cos2x,2)≤4[eq\f(sin2x＋\f(cos2x,2)＋\f(cos2x,2),3)]3＝eq\f(4,27)，当且仅当