2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测试题8

高中同步测试卷(十)单元检测基本不等式(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥22．若a＞1，则a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．0B．2C.eq\f(2\r(a),a－1)D．33．若x＞0，f(x)＝eq\f(12,x)＋3x的最小值为()A．12B．－12C．6D．－64．函数y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,2)))(0＜x＜2)的最大值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．25．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件6．点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，z＝3x＋27y＋3的最小值为()A.eq\f(11,3)B．3＋2eq\r(3)C．6D．97．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝eq\f(a＋b,2)B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x＞eq\f(a＋b,2)D．x≥eq\f(a＋b,2)8．已知正数a，b满足4a＋b＝30，使得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值的实数对(a，b)是()A．(5，10)B．(6，6)C．(10，5)D．(7，2)9．不等式eq\f(（x＋y）（x＋ay）,xy)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．810．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．3611．若x，y是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))eq\s\up12(2)的最小值是()A．2B.eq\f(7,2)C．4D.eq\f(9,2)12．给出下列语句：①若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2；②若a，b，m为正实数，a＜b，则eq\f(a＋m,b＋m)＜eq\f(a,b)；③若eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，则a＞b；④当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，sinx＋eq\f(2,sinx)的最小值为2eq\r(2)，其中结论正确的个数为()A．0B．1C．2D．3题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，则z＝eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)的最小值为________．14．函数f(x)＝lgx＋eq\f(4,lgx)(0＜x＜1)的最大值是________，当且仅当x＝________时取等号．15．若对任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．16．已知a＞b＞0，则a2＋eq\f(64,b（a－b）)取最小值时b的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知x＞0，求y＝2－x－eq\f(4,x)的最大值；(2)已知x＞2，求y＝x＋eq\f(1,x－2)的最小值；(3)已知0＜x＜eq\f(1,2)，求y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值．18．(本小题满分12分)过点P(2，1)的直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，求△AOB的面积S的最小值．19.(本小题满分12分)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0,8x－y－4≤0,x≥0，y≥0))，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8.(1)求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值；(2)求a2＋16b2－4ab的最小值．20．(本小题满分12分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．21.(本小题满分12分)是否存在常数c，使得不等式eq\f(x,2x＋y)＋eq\f(y,x＋2y)≤c≤eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,2x＋y)对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．22．(本小题满分12分)若函数f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范围．参考答案与解析1．【解析】选D.特值法：取a＝b＝－1可排除A、B、C选项．2．【解析】选D.因为a＞1，所以a－1＞0，a＋eq\f(1,a－1)＝(a－1)＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(（a－1）·\f(1,a－1))＋1＝3，当且仅当a－1＝eq\f(1,a－1)，即a＝2时，等号成立，故选D.3．【解析】选A.因为x＞0，所以f(x)＝eq\f(12,x)＋3x≥2eq\r(\f(12,x)×3x)＝12，当且仅当eq\f(12,x)＝3x，即x＝2时取等号．4．【解析】选B.因为0＜x＜2，所以0＜1－eq\f(x,2)＜1，所以y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,2)))＝2·eq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,2)))≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(x,2)＋1－\f(x,2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，当且仅当eq\f(x,2)＝1－eq\f(x,2)，即x＝1时，等号成立，故选B.5．【解析】选B.因为生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800＋eq\f(x,8)·x，所以平均每件费用y＝eq\f(800＋\f(1,8)x2,x)＝eq\f(x,8)＋eq\f(800,x)≥20，当且仅当eq\f(x,8)＝eq\f(800,x)，即当x＝80件时，ymin＝20.6．【解析】选D.因为x＋3y＝2，所以z＝3x＋33y＋3≥2×eq\r(3x＋3y)＋3＝2eq\r(32)＋3＝9.当且仅当x＝3y即x＝1，y＝eq\f(1,3)时取等号．7．【解析】选B.A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，从而(1＋x)2＝(1＋a)·(1＋b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a＋1＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以x≤eq\f(a＋b,2).8．【解析】选A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋b)＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋1＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(3,10)，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,4a＋b＝30，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝10))时等号成立．故选A.9．【解析】选B.eq\f(（x＋y）（x＋ay）,xy)＝eq\f(x2＋（a＋1）xy＋ay2,xy)＝a＋1＋eq\f(x2＋ay2,xy)≥a＋1＋2eq\r(a)＝(eq\r(a)＋1)2，当且仅当x＝eq\r(a)y时等号成立，所以eq\f(（x＋y）（x＋ay）,xy)的最小值为(eq\r(a)＋1)2，于是(eq\r(a)＋1)2≥9恒成立，所以a≥4，故选B.10．【解析】选B.(1＋x)(1＋y)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（1＋x）＋（1＋y）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2＋（x＋y）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋8,2)))eq\s\up12(2)＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.11．【解析】选C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)))≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝eq\f(\r(2),2)时，式子取得最小值4.12．【解析】选C.本题①中作差变形后可得：a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)2(a＋b)，由于a，b为正实数，a≠b，所以(a－b)2(a＋b)＞0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误，如a＝1，b＝2，m＝1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个，从而选C.13．【解析】由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)≥2eq\r(\f(10,xy))＝2，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(5,y)))eq\s\do7(最小值)＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．【答案】214．【解析】因为0＜x＜1，所以lgx＜0，所以－lgx＞0，f(x)＝lgx＋eq\f(4,lgx)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－lgx）＋\f(4,－lgx)))≤－2eq\r(（－lgx）·\f(4,－lgx))＝－4.当且仅当－lgx＝eq\f(4,－lgx)，即lgx＝±2时，取“＝”．又因为lgx＜0，所以lgx＝－2，此时x＝eq\f(1,100).【答案】－4eq\f(1,100)15．【解析】因为x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，所以eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))16．【解析】因为a＞b＞0，所以0＜b(a－b)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(b＋（a－b）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2,4)，当且仅当b＝a－b，即b＝eq\f(a,2)时等号成立，所以eq\f(64,b（a－b）)≥eq\f(64×4,a2)＝eq\f(256,a2)，所以a2＋eq\f(64,b（a－b）)≥a2＋eq\f(256,a2)≥2eq\r(a2·\f(256,a2))＝32，当且仅当a2＝eq\f(256,a2)，即a＝4时等号成立，此时b＝eq\f(a,2)＝2.【答案】217．【解】(1)因为x＞0，所以x＋eq\f(4,x)≥4，所以y＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≤2－4＝－2，所以当且仅当x＝eq\f(4,x)(x＞0)，即x＝2时，ymax＝－2.(2)因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(（x－2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－2))))＋2＝4.所以当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)(x＞2)，即x＝3时，ymin＝4.(3)因为0＜x＜eq\f(1,2)，所以1－2x＞0，所以y＝eq\f(1,4)×2x·(1－2x)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)，所以当且仅当2x＝1－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，即x＝eq\f(1,4)时，ymax＝eq\f(1,16).18．【解】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(显然k存在，且k≠0)．令y＝0，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))；令x＝0，可得B(0，1－2k)．因为A，B都在正半轴上，所以2－eq\f(1,k)＞0且1－2k＞0，可得k＜0.所以S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))(1－2k)＝eq\f(－4k2＋4k－1,2k)＝－2k＋eq\f(1,－2k)＋2≥2eq\r(（－2k）·\f(1,（－2k）))＋2＝4，当且仅当k2＝eq\f(1,4)，即k＝－eq\f(1,2)时，S△AOB取得最小值4.19．【解】作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l0：ax＋by＝0，平移l0，由图可知，当直线经过点A(1，4)时，zmax＝ax＋by＝a＋4b＝8.(1)因为a＞0，b＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,8)(a＋4b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4b,a)·\f(a,b))))＝eq\f(1,8)(5＋4)＝eq\f(9,8)，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)＝2，即a＝eq\f(8,3)，b＝eq\f(4,3)时取等号，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为eq\f(9,8).(2)因为a＋4b＝8，a＞0，b＞0，所以a＋4b≥2eq\r(a·4b)＝4eq\r(ab)，所以ab≤4.又因为a2＋16b2≥eq\f(（a＋4b）2,2)＝32，所以a2＋16b2－4ab≥32－16＝16，当且仅当a＝4b＝4，即a＝4，b＝1时取等号，所以a2＋16b2－4ab的最小值为16.20．【解】(1)由题图可知，3a＋6＝x，所以a＝eq\f(x－6,3).则总面积S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1800,x)－4))·a＋2aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1800,x)－6))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5400,x)－16))＝eq\f(x－6,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5400,x)－16))＝1832－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10800,x)＋\f(16x,3)))，即S＝1832－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10800,x)＋\f(16x,3)))(x>0)．(2)由S＝1832－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10800,x)＋\f(16x,3)))，得S≤1832－2eq\r(\f(10800,x)×\f(16x,3))＝1832－2×240＝1352.当且仅当eq\f(10800,x)＝eq\f(16x,3)，即x＝45时等号成立．即当x为45米时，S最大，且S的最大值为1352平方米．