2020-2021学年新教材高中数学数列5.2等差数列5.2.1.1等差数列的定义课时素养检测含解析

三等差数列的定义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于 ()A.4 B.5 【解析】2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12,所以a1+4d=6,所以a5=6.2.在等差数列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差d等于 () QUOTE C.QUOTE 【解析】选B.由题意,得QUOTE解得QUOTE3.由a1=2,d=3确定的等差数列QUOTE,当an=299时,序号n等于 () B.100 【解析】1=2,d=3,所以an=2+3QUOTE=3n-1,若an=299=3n-1,则n=100.4.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于()A.-9 B.-8 C.-7【解析】n=am+(n-m)d(m,n∈N*),得d=QUOTE.所以d=QUOTE=QUOTE=3.所以a1=a2-d=-8.5.已知数列QUOTE是等差数列,数列QUOTE分别满足下列各式,其中数列QUOTE必为等差数列的是 ()n=|an| n=QUOTEn=QUOTE n=-QUOTE【解析】QUOTE的公差为d,选项A,B,C,都不满足bn-bn-1=同一常数,所以三个选项都是错误的;对于选项D,bn-bn-1=-QUOTE+QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以数列QUOTE必为等差数列.6.(多选题)若数列{an}满足a1=1,3an+1=3an+1,n∈N*,则数列{an}是 ()A.公差为1的等差数列B.公差为QUOTE的等差数列C.通项公式为an=QUOTE+QUOTE的等差数列D.通项公式为an=QUOTE+1的等差数列【解析】选BC.由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=QUOTE.所以数列{an}是公差为QUOTE的等差数列.又因为a1=1,得到an=1+QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE,故选BC.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在等差数列{an}中,若a1=5,d=2,则a10=________;若已知a1=3,d=4,an=59,则n=__________.

【解析】a10=a1+(10-1)d=5+9×n=a1+(n-1)d,所以59=3+4(n-1),解得n=15.答案:23158.等差数列1,-1,-3,-5,…,-89的项数为________.

【解析】因为a1=1,d=-1-1=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.由-2n+3=-89,得n=46.答案:46三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列QUOTE满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求首项及公差;(2)求QUOTE的通项公式.【解析】(1)设等差数列QUOTE的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.(2)由(1)可知an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).10.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….(1)135,4m+19(m∈N*)是数列{an}中的项吗?试说明理由;(2)若ap,aq(p,q∈N*)是数列{an}中的项,则2ap+3aq是数列{an}中的项吗?并说明你的理由.【解析】因为a1=3,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n-1.(1)令an=4n-1=135,所以n=34,所以135是数列{an}中的第34项.令an=4n-1=4m+19,则n=m+5∈N*.所以4m+19是{an}中的第m+5项.(2)因为ap,aq是{an}中的项,所以ap=4p-1,aq=4q-1.所以2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,因为2p+3q-1∈N*,所以2ap+3aq是{an}中的第2p+3q-1项.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.我国古代著名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷(guǐ)长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99QUOTE分;且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为()QUOTE分 052QUOTE分151QUOTE分 250QUOTE分【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99QUOTE分,且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.从“冬至”到“立春”有:“小寒”和“大寒”,且日影长变短,所以“立春”时日影长度为:1350+QUOTE×3=1052QUOTE(分).2.若锐角三角形的三边长成公差为2的等差数列,且各边长为整数,则此三角形周长的最小值为 () B.12 4【解析】选D.设此三角形的三边长分别为a,a+2,a+4,因为其为锐角三角形,所以a2+(a+2)2-(a+4)2>0,解得a<-2(舍去)或a>6,由题意a为整数,且能构成三角形,故当周长取最小值时a=7,此时周长为27.3.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1,则a2020等于 ()018 019 020 021【解析】n+1-an=1,则数列{an}是等差数列,且公差d=1,则an=a1+(n-1)d=n,故a2020=2020.4.(多选题)等差数列{an}的首项为a,公差为1,数列{bn}满足bn=QUOTE.若对任意n∈N*,bn≤b6,则实数a的可能取值是 ()A.-7 B. C.-6.3 【解析】选BC.因为{an}是首项为a,公差为1的等差数列,所以an=n+a-1.所以bn=QUOTE=1-QUOTE.又因为对任意的n∈N*,都有bn≤b6成立,可知QUOTE≤QUOTE,又因为数列{an}是递增数列,则必有7+a-1<0且8+a-1>0,所以-7<a<-6.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=________.

【解析】因为{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,所以QUOTE,解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4.答案:-46.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列QUOTE为等差数列,则a5=________.

【解析】由数列QUOTE为等差数列,设公差为d.则有QUOTE-QUOTE=2d=QUOTE-QUOTE,可解得a5=QUOTE.答案:QUOTE7.数列QUOTE满足:log2an+1=1+log2an,若a3=10,则a8=________.

【解析】log2an+1=1+log2an,所以log2an+1-log2an=1,所以QUOTE为等差数列,公差为1,第三项为log210,所以log2a8=log210+5,所以a8答案:3208.在等差数列{an}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于________.

【解析】设公差为d,则因为a1+a2=3,a3+a4=5,所以2a1+d=3,2a1+5d=5,所以d=QUOTE,即得a1=QUOTE,所以a7+a8=2a1+13d=2×QUOTE+13×QUOTE=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知f(x)=QUOTE,在数列{xn}中,x1=QUOTE,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N*),试说明数列QUOTE是等差数列,并求x95的值.【解析】因为当n≥2时,xn=f(xn-1),所以xn=QUOTE(n≥2),即xnxn-1+2xn=2xn-1(n≥2),得QUOTE=1(n≥2),即QUOTE-QUOTE=QUOTE(n≥2).又QUOTE=3,所以数列QUOTE是以3为首项,QUOTE为公差的等差数列,所以QUOTE=3+(n-1)×QUOTE=QUOTE,所以xn=QUOTE,所以x95=QUOTE=QUOTE.10.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1.所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)数列{an}不可能为等差数列,证明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ),若存在λ使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.这与{an}为等差数列矛盾.所以,不存在λ使{an}是等差数列.11.已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2an-1-1.(1)求a2,a3,a4;(2)求证:数列QUOTE是等差数列,并求出{an}的通项公式.【解析】(1)因为an·an-1=2an-1-1,a1=3,所以a2=QUOTE,a3=QUOTE,a4=QUOTE.(2)证明:易知an-1≠0,an=2-QUOTE.当n≥2时,QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE是以QUOTE=QUOTE为首项,以1为公差的等差数列,QUOTE=QUOTE+(n-