2019年高考真题分类汇编-2019年高考真题

2019年高考真题分类汇编

第一节集合分类汇编

1[2019•全国I,1]已知集合"=国-4<x<2},A^={X|X2-X-6<0},则McN=

A.{x[T<x<3}B,{XH<X<-2}C.{X|-2<X<2)D.{X[2<X<3}

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查集合交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结合思想解题.

【详解】由题意得，M={x\-4<x<2},N={x\-2<x<3},则

McN={xp2<x<2}.故选C.

【点睛】不能领会交集含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

2.[2019•全国II,1]设集合A={x|?-5%+6>0},B={X|X-1<0},则ADB=

A.5，i)B.(-2,1)C.(-3,-1)D,(3,+8)

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结合的思想解题.

【详解】由题意得，A={x|x2,©3},5={xk<l},则AcB={x|x<l}.故选A.

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易.不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同,

交集取公共部分，并集包括二者部分.

3.[2019•全国IH,1]已知集合人={-1,0,1,2},B={X|X2<1},则ACB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-U}D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】【分析】

先求出集合8再求出交集.

【详解】由题意得，B={x\-l<x<l},则Ac5={—1,0,1}.故选A.

【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.

4.[2019•江苏，1]已知集合4={-1,0,1,6},8={Hx〉0,xeR},则Ac3=.

【答案】{1,6}.

【解析】【分析】

由题意利用交集的定义求解交集即可.

【详解】由题知，A5={1,6}.

【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

5.[2019・天津卷，1]1.设集合人={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={xeR11”x<3},则(AC)B=()

A.{2}B.{2,3}C.{-123}D.{1,2,3,4)

【答案】D

【解析】【分析】先求AcB,再求(AC)B。

【详解】因为AC={1,2},

所以(AC)8={L2,3,4}.故选D。

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、

坐标系、韦恩图等进行运算.

第二节复数分类汇编

1.[2019•全国I,2]设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则

A.(x+l)2+y2=lB.(x—1)2+/=]c.x2+(y-l)2=lD.x2+(j/+l)2=l

【答案】C

【解析】【分析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易.此题可采用几何法，根据点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,

可选正确答案C.

[详解]z=x+yi,z_j=x+(y-l)i,—=Jx2+(y—l)2=1,则f+(y_1)2=].故选c.

【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法，利用方程

思想解题.

2.[2019•全国D,2]设z=-3+2i,则在复平面内£对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】本题考查复数的共枕复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养.采取定义法，

利用数形结合思想解题.

【详解】由z=-3+2i,得]=-3-2i,贝匹=-3-2»,对应点(-3,-2)位于第三象限.故选C.

【点睛】本题考点为共班复数，为基础题目，难度偏易.忽视共轨复数的定义致错，复数与共轨复数间的关系为实

部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标.

3.[2019•全国IIL2]若z(l+i)=2i,则N=()

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】D

2i2i(l-i),.

【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】z=~=—^―2-=l+i.故选D.

1+1(l+i)(l-i)

【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养.采取运算法则法，利用方程思想解题.

4.[2019•江苏，2]复数3+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是.

【答案】2.

【解析】【分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得z,然后根据复数的概念，令实部为。即得a的值.

【详解】(a+2i)(l+i)=a+ai+2i+2/=a-2+(a+2)i,令a-2=0得。=2.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5.[2019•天津卷,1]己知复数z=2+i,则z,N=

A.y[3B.75c.3D.5

【答案】D

【解析】【分析】题先求得Z，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】•••z=2+i,zG=(2+i)(2—i)=5故选

D.

【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

第三节函数分类汇编

1.[2019•全国I,3]已知。=1082。.2/=2叱。=0.203,则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】【分析】

运用中间量0比较a，c,运用中间量1比较。，C

03

【详解】a=log20.2<log2l=0,2°2>2°=1,0<O.2-<0.2°=1,则0<c<1,a<c<A.故选B.

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法，利用转化与化归思

想解题.

2.［2019•全国H,6］若a>b,则

A.ln(a-^)>0B.3"<3”C.a3-fe3>0D.网

【答案】C

【解析】【分析】本题也可用直接法，因为所以"。>0,当a—匕=1时，ln(a-))=(),知A错，因为y=3%

是增函数，所以3">3"，故B错；因为塞函数y=d是增函数，a>h,所以/>力，知c正确；取a=l,b=-2,

满足a〉8,1=时<网=2,知D错.

【详解】取。=21=1,满足a〉b,ln(a—份=0,知A错，排除A；因为9=3">3"=3,知B错，排除B；

取。=1,匕=一2,满足。>人1=时<网=2,知D错，排除D,因为基函数y=是增函数，所以

故选C.

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幕函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，

利用特殊值排除即可判断.

3.［2019•全国H,14］已知J")是奇函数，且当x<0时，/(x)=-ea'.#/(ln2)=8,则。=.

【答案】-3

【解析】【分析】

本题主要考查函数奇偶性，对数的计算.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.

【详解】因为/(X)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-e-M.又因为ln2w(0,l),/(ln2)=8,

所以一""“2=一8,两边取以e为底的对数得—aln2=31n2,所以一。=3,即3万.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算.

4.［2019•全国II,12］设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+l)=2/(x),且当xe(0,l］时，f(x)=x(x-l).若

Q

对任意都有/(x)»-则机的取值范围是

A1若C.-8，|

【答案】B

【解析】【分析】

本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运

算得到解决.

【详解】xe(O,l］时，/(x)=x(x-l),/(x+l)=2/(x),.•"(>)=2/(x-l),即〃x)右移1个单位，图像变

为原来的2倍.

Q

如图所示：当2<》43时，/(对=学'。-2)=4。-2)(》一3),令《》第Jx-=一§,整理得：9/一45》+56=0,

7887(

(3x—7)(3x—8)——0,%)——,X,=—(舍),xG(-8,tn\时,于(x)N—成立，即〃?K一,mG—oo,一,

339313

故选B.

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意

图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表

达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能

力.

2x3

5.12019•全国皿，7］函数y=在卜6,6］的图像大致为

2X+2-X

【答案】B

【解析】【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/'(4)的近似值即可得出结果.

【详解】设》=/(》)=上一，则/(-%)=""=一一二-=—/(%),所以/a)是奇函数，图象关于原点

2V+2~x2~X+2X2、+2T

7x439A3

成中心对称，排除选项C.又八4)=..J"t>°，排除选项D;/⑹X;。7,排除选项A,故选B.

LIJ乙IL

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较易，注重了基

础知识、基本计算能力的考查.

6.[2019•全国皿，11]设/(X)是定义域为R的偶函数，且在(0,+")单调递减，则()

【答案】C

【解析】【分析】

由已知函数为偶函数，把/(lOg3；

,转化为同一个单调区间上，再比较大小.

【详解】/(x)是R的偶函数,

.■.log.4>l=20>2^3-又“X)在(0,+动单调递减，/(1暇4)</(2-\I-

‘/(log?；),故选C.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力.

7.[2019•江苏卷，4]函数y=j7+6x_12的定义域是.

【答案】

【解析】【分析】

由题意得到关于X的不等式，解不等式可得函数的定义域.

【详解】由已知得7+6X—X2NO,即6%一740解得—1KXK7,故函数的定义域为

【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集

即可.

8.[2019•江苏卷，14]设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)

k(x+2),0<x<l

是奇函数.当xe(0,2]时，/(x)=一(x—l)2,g(x)=<1]<x<2，其中心°•若在区间(°，刃上,关于x

-5'<*一

的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

Pi⑻

【答案】L34J.

【解析】【分析】

分别考查函数/(X)和函数g(x)图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.

【详解】当xe(O,2］时，/*)=Ji_(x_1)2,即(X—1)2+y2=1,y20.

又/(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4,如图，函数/(x)与g(x)的图象，要使/(x)=g(x)在(0,9］

上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.

当g(x)=-；时，函数/(x)与g(x)的图象有2个交点；

当g(x)=«x+2)时，g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直

线，只需函数/(A)与g(x)的图象有6个交点.当f(x)与g(x)

k+2用

图象相切时，圆心(1,0)到直线区一y+2左=0的距离为1,即-!/!=1,得上=注，函数“X)与g(x)的

Jl+%24

图象有3个交点；当g(x)=A;(x+2)过点(1,1)时，函数“X)与g(x)的图象有6个交点，此时1=33得%=§・

综上可知，满足/(%)=g(x)在(0,9］上有8个实根的k的取值范围为［g，孝｝

【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误,

根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.

02

9.[2019•天津卷，6]已知。=10g52,b=10gu50.2,c=O.5,则Ac的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】【分析】利用利用0,g,l等中间值区分各个数值的大小。

102

【详解】a=log52<log5V^<；,b=log050.2>log050.25=2,0.5<O,5<0.5°,故

所以a<c</>。故选Ao

【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。

10.［2019•北京，6］在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

5.耳

网一班=-lg-L，其中星等为如的星的亮度为E2a=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,

则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.10-101

【答案】D

EEE

【解析】【分析】先求出也曾，然后将对数式换为指数式求U再求U

E2E2E2

【详解】两颗星的星等与亮度满足?-吗，令吗=-1.45,皿=-26.7,

IOJ|OJ

lgg=|(，巧一町)=|(一1.45+26.7)=10.1,A=ioA=io-,故选D.

【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.

11.[2019•北京卷，13]设函数f(x)=/+"'(a为常数).若/(x)为奇函数，则斫:若f(x)是R上

的增函数，则。的取值范围是.

【答案】(1).-1；(2).(-oo,0].

【解析】【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值

范围.

【详解】若函数/(X)=d+为奇函数，则/(-X)=―/(X),e-x+aex=-(ex+,

(a+l)(e，+"1=()对任意的I恒成立.

若函数/(x)=e'+四r是R上的增函数,则r⑴="一弧、“恒成立，a<e2x,a<0.

即实数的取值范围是(YO,0]

【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想,转化成

恒成立问题.注重重点知识、基础知识、基本运算能力的考查.

第四节平面向量分类汇编

1.[2019•全国I,7]已知非零向量”，力满足同=2忖，且(a-b)Lb,则。与b的夹角为

【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、

数学计算等数学素养.先由(a-。)_L6得出向量。力的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量

夹角.

【详解】因为3-切，。，所以(。一份包:口2一/二。，所以4必=〃，所以cose=；^=』%=!，所以a

\a\-\b\2\b\~2

与b的夹角为故选B.

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再

求出夹角，注意向量夹角范围为[0,句.

2.[2019•全国H,3]已知48=(2,3),AC=(3,t),BC=1，则=

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法，利用转化

与化归思想解题.

【详解】由BC^AC-AB^(l,t-3)，|叫=正+(T)2=],得/=3,则3c=(i,,

AB>C=(2,3)(l,0)=2xl+3x0=2.故选C.

【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.学生易在处理向量的法则运算和坐

标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积.

3.[2019•全国m,13]已知a,b为单位向量，且“•》=(),若c=2Q-@>，则以与<a,c>=.

2

【答案】y.

【解析】【分析】根据|cF结合向量夹角公式求出匕|,进一步求出结果.

【详解】因为C=2a—用？，ab=0,所以Q-C=2Q2—J^力=2,|c|2=4|Q|2y君a.b+5gl2=9,所以

a-c_2_2

©=3,所以cos<a,c>=丽=再=1

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.

4.[2019•江苏卷，12]如图，在VABC中，。是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AQ与CE交于点。.若

D

ABAC=6AOEC>则弁的值是•

z*

【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。

【答案】

【解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.

【详解】如图，过点D作DF//CE,交48于点儿由8E=2E4,。为BC中点,

知BF=FE=EAAO=OD.

6AO.=3AD（AC-AE）=]（A3+AC）（AC-AE

3/21、1232

--AB~）+A_C~、\=ABAC--AB-i--AC=ABAC,

21322

得,A/=3AC[即网=G[AC],故四=G

22AC

【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利

用数形结合和方程思想解题.

天津14.在四边形ABCO中，AD//BC,AB=2瓜AD=5,/A=30°，点后在线段CB的延长线上，且

AE=BE，则BDAE=.

【答案】-1

【解析】【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。

【详解】解法一：如图，过点3作AE的平行线交AQ于尸，

因为AE=BE，故四边形AEB尸为菱形。因为/84。=30。，期=2/，所以AF=2,即AF=1A。.

2

因为AE=FB=AB-AF=AB--AD,

272227r~

所以B£^二(AD—A8)(A8—yAO)=wA8AZ)-AB"--AD-=-x2>/3x5x^--12-10=-l.

解法二：建立如图所示的直角坐标系，则8(2&,0)，。(速上)。因为AD//BC,八

22/

/BAO=30°,所以NC3E=30。，因为AE=8E,所以/BAE=30。，所以直线BE

的斜率为玄，其方程为y=g（尤_26）,

y一2后）,

直线AE的斜率为_走，其方程为y=—13x。由，

3L得x=0,、=-1,所以E（、n,一l）

33V3

V=------X

3

所以8D「A£=（V3,-l）=-l0

北京7.设点A,B,C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|8CT’的

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.

【详解】；A、B、C三点不共线，二

\AB+AC\>\BCOAB+AC\>\AB-AC

OA3+ACAB，AC>OoA3与AC

的夹角为锐角.故"A3与AC的夹角为锐角”是，A3+ACl>l3Cl”的充分必要条件，故选C.

【点睛】本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想.

三角函数

sinx4-x

一卷5.函数4x）=^----------7在［—兀，兀］的图像大致为

cosx+x

【答案】D

【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得〃x）是奇函数，排除A,再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案.

sin(-x)+(-x)-sinx-x

【详解】由/(—x)==-f(x),得八X)是奇函数，其图象关于原点对称.又

cos(-x)+(-x)2cosx+x2

.£

o4+27r7T

--=—厂>1,/(%)=—；——7>0.故选D.

n-1+7T

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法，利用数

形结合思想解题.

一卷11.关于函数f(x)=sin|+1sinx|有下述四个结论：

TT

①ZU)是偶函数②/(X)在区间(万，1)单调递增③曲)在［一肛加有4个零点④”)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A.@@④B.②④C.①④D.①③

【答案】C

【解析】【分析】画出函数/(%)=疝国+卜inR的图象，由图象可得①④正确，故选C.

【详解】/(-x)=sin|-x|+卜in(-x)|=sin|M+|sinM=/(x)为偶函数，故①正确.当］<x<%时,

〃x)=2sinx,它在区间性，兀)单调递减，故②错误.当04x4%时，/(x)=2sinx,它有两个零点：0,n；

当一万4x<0时，/(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有一个零点：一兀，故/(x)在［-兀，兀］有3个零点：

一兀，0,兀，故③错误.当兀，2攵兀+兀］(左eN*)时，〃x)=2sinx；当丽2t兀2e矶N*)时，

〃x)=sinx-sinx=0,又/(x)为偶函数，."(x)的最大值为2,故④正确.综上所述，①④正确，故选

C.

【点睛】化简函数〃x)=smN+Mn4研究它的性质从而得出正确答案.

乃_R兀

二卷9.下列函数中，以不为周期且在区间(二，二)单调递增的是

242

A.j［x}=|cos2x|B.fi,x)=|sin2x\C..*x)=cos|x|D./x)=sin|x|

【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.画出各函数图象，即

可做出选择.

【详解】因为y=sin|x|图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为y=cos|x|=8sx,周期为2万，排除C,

作出y=|cos2x|图象，由图象知，其周期为工，在区间(5,?)单调递增，A正确；作出y=kin2x|的图象，由图

象知，其周期为工，在区间(f，W)单调递减，排除B,故选A.

242

【点睛】利用二级结论：①函数y=|/(x)|的周期是函数y=/(x)周期的一半；②丁二国川朝不是周期函数;

二卷10,已知(0,一）,2sin2a=cos2a+l则sina=

2

A.-B.—C.—D.—

5535

【答案】B

【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.

【详解】2sin2a=cos2a+l,/.4sina-cosa=2cos2a.ae0,—,/.cosa>0.

sina>0,2sina=cosa,又si/a+cos2a=1,，5sin2a=1,sin2(x=一，又mo0>，,sina=^—,

55

故选B.

【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确

性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭

感觉.

三卷12.设函数/(x)=sin(s+g)(①>0),已知/(X)在［0,2句有且仅有5个零点，下述四个结论：

①/(%)在(0,2兀)有且仅有3个极大值点

②/(%)在(0,2兀)有且仅有2个极小值点

③/(%)在(0,京)单调递增

④切的取值范围是［彳，★)

其中所有正确结论的编号是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

【答案】D

【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题,难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度高,

考查数形结合思想.

冗\1,兀,c冗

【详解】/(x)=sin松+-(卬>0),在他］71有且仅有5个零点.二0<X<2TT,—<wx-\——<znwd——,

<5)555

y<w<—,④正确.如图%为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个.二②不正确.

IT71兀W7V冗29.W7r7129420449万7T

当0<XV历时•,—<WX+一<1—,当卬二—时,1—=----1-----=

5/105101051001001002

二③正确，故选D.

tana_2(、

江苏13.己知虱二^一一3,则sin(2a+()的值是,

【答案】sinf2«+->|=—..

I4j10

【解析】【分析】由题意首先求得tana的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求

值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.

tana_tana_tana。-tana)_2

【详解】由(tana+1tana+13，得312。2二一51@I1。一2=0，

14j1-tana

解得tana=2,或tana=一一.sin2a+—=sin2acos—+cos2asin—

3I4J44

5/2z、5/2(2sin^cos6z+cos2a-sin2a2tana+l-tan2a

=-^-(sin2a+cos2a)

2(sin2a+cos2ataifa+l

何2x2+1-22、_V2

当tana=2时，上式=当tana=--时,

~T[~?+1~,一百3

综上，sin2a+^-\=^-.

I4j10

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归

思想解题.

天津7.已知函数/'(#=45布(如+。)04>0,口>0,|。|<万)是奇函数，将y=/(x)的图像上所有点的横坐标伸长

到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2兀，且g7=及，则

141

A.-2B.-V2C.>/2D.2

【答案】A

【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出A0,。值即可。

【详解】f(x)为奇函数，可知/(0)=Asine=。，由|同<不可得。=0；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2

倍，得g(x)=Asing&x,由g(x)的最小正周期为2%可得。=2,由g(?)=J5,可得A=2，

所以"x)=2sin2x,/(^―)=2sin—=>/2故选C。

84o

【点睛】在尤=0处有定义的奇函数必有/(0)=0。

北京9.函数“rLsirZx的最小正周期是.

7T

【答案】I.

【解析】【分析】将所给的函数利用降'幕公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.

【详解】函数/(力=5疗2%=上苫在，周期为三

【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式、三角函数的最小正周期公式，属于基础题.

第五节解三角形分类汇编

一卷17.三角形的内角A.B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)?=sin2A-sinBsinC.

(1)求4；

（2）若Oa+b=2c，求sinC.

【答案】（1）A=1；（2）sinC=任避.

34

【解析X分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：从+。2-〃=/^,从而可整理出。054,根据4€（0,乃）

可求得结果；（2）利用正弦定理可得J5sinA+sin8=2sinC，利用sinB=sin（A+C）、两角和差正弦公式可

得关于sin。和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.

【详解】（1）（sin8-sinC）~=sin，3-2sin5sinC+sin?C=sin2A—sinBsinC

即：sin?B+sin2c—sin?A=sinBsinC由正弦定理可得：b1+c2—a2=bc

h2+c2-a21

cosAAG（0,71）\A=y

2bc2

（2）>/2a+b=2c，由正弦定理得：J5sinA+sin8=2sinC

又5巾3=5m（4+0）=5由4（：050+<：0545皿6',A=y,•.^x^-+-y-cosC+|sinC=2sinC

整理可得：3sinC-V6=73cosCsin2C+cos2C=l/.（SsinC-A/b）2=3（l-sin2C）

解得：sinC=近且或理二也

44

因为sin8=2sinC-®sinA=2sinC——>（）所以sinC>—，故sinC=+曲.

244

（2）法二：yfla+b=2c由正弦定理得：\/2sinA+sinB=2sinC

冗

又sin3=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,A=y

.卜V3V31..

..x-----1----cosCH—sinc=2sinC

222

整理可得：3sinC—A/6=V3COSC»即3sinC—gcosC=26sinC——-=V6

\67

「5万T11%n5TT

C=---或----A二一且A+Cv乃

1212312"

/、

.—.57r.冗71.717171.71V6+V2

「•sinC=sm—=sin=sin一cos—+cos—sin—=

12(64；64644

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,

解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

•+r

二卷18.A48C的内角A3,C的对边分别为a,6,c,己知asin一万一=bsinA.

(1)求5；

(2)若A48c为锐角三角形，且c=l,求AABC面积的取值范围.

7T

【答案】(1)B=—;(2)

【解析】分析［(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A.B,C均为三角形内角解得

I1A

3=9.(2)根据三角形面积公式S入友=彳公小布3,又根据正弦定理和;；7得到5的「关于。的函数，由于VABC

3225

是锐角三角形，所以利用三个内角都小于会来计算。的定义域，最后求解SABC(C)的值域•

A+C4+r

【详解】(1)根据题意〃sin,=bsin4由正弦定理得sinAsin-------siSs/，因为OVAVTT,故

22

A+C

sinA>C,消去sinA得sin-------=sinB。

2

A+CA+CA+CA+C

0v5，0<VI因为故=8或者+8=万，而根据题意A+6+C=;r,故+8=乃不

2222

A+C冗

成立，所以=B,又因为4+B+C=/r,代入得38=兀，所以5=§

2

Jiji/.7

(2)因为VABC是锐角三角形，又由前问区=k，-<AC<-,A+B+C=乃得到4+。=彳］，故"<。<彳

362362

又应用正弦定理由三角形面积公式有

sinAsinC

sin(^-C)

1a.1sinA.

-acsmBc2-sinB=-c2--------sin5=立.

°ABC22c2sinC~4sinC

=亘sin—cosC-cos—sinC

33=亘和型cotJcos型)=%tC+叵又因?/苦，故

一4sinC43388一

迫故B<s..

T828

故S

江苏15.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c

2

(1)若a=3c,b=6,cosB=-,求c的值;

sinAcosB兀、山“

(2)若-----=------,求sin(BH—)的值.

a2b2

【答案】(1)c=立；(2)正.

35

【解析】【分析】（1）由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值;

（2）由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值，然后由诱导公式可得sin（B+C）的值.

2

【详解】（1）因为。=3。,匕=血,（：053=2,

3

由余弦定理cos