2019-2020学年第二学期高一数学必修四全册导学案

1.1.1任意角

【学习目标】

1.结合具体实例，认识角的概念推广的必要性；

2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合.

预习案

自主学习：

认真阅读课本第2至第4页，完成下列基本概念：

(1)正角：按方向旋转形成的角叫做正角；

(2)负角：按方向旋转形成的角叫做负角；

(3)零角：如果一条射线,我们称它形成了一个零角.

思考：如果你的手表慢了5分钟，应将分针按方向旋转度；

如果你的手表快了1.25小时，应将分针按方向旋转度.

说明：在直角坐标系中讨论角，为讨论问题的方便，我们使角的顶点与_____________重合，

角的始边与_______________________________重合.

(4)象限角：角的终边在,我们就说这个角是.

思考：60°角是第象限角；135°角是第象限角；-150°角是第象限角.

注意：如果角的终边在，就认为这个角不属于任何象限.

例如：900角的终边在y轴正半轴上，因此900角不属于任何象限；

180°角的终边在x轴负半轴上，因此180°角不属于任何象限；

—90°角的终边在,因此-90°角不属于任何象限.

(5)终边相同的角：(很重要，希望同学们加以重视)

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=

即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与的和.

例如：与30°角终边相同的角的构成集合：{夕|夕=30°+女360°/eZ)

与-120°角终边相同的角构成集合:{0夕=-120°+入360°,攵eZ}

注意：女是整数，这个条件不可漏掉.

探究案

探究1：任意角的概念

1.判断真假：

(1)锐角是第一象限角()；(2)第一象限的角是锐角()；

(3)小于90的角是锐角()；(4)钝角的终边在第二象限()；

(5)第二象限的角一定大于第一象限的角()；(6)终边相同的角一定相等()；

(7)相等的角终边一定相同()；

(8)与15°终边相同的角构成集合{尸|尸=15°+h360°次eZ}().

2.如果将钟表拨快10分钟，则分针所旋转的角度是，时针所旋转的角度是.

探究2：象限角、终边在坐标轴上的角、区域角的表示

1.写出与-960°角终边相同的角的集合，并把集合中适合0°~360°的元素夕写出来，并

判定—960°是第几象限角.(特别说明：0°~360°是指004a<360°)

2.(1)终边在y轴上的角的集合是.

(2)终边在x轴上的角的集合是.

3.已知角a的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，试写出角a的集合.

4.(1)若a是第一象限角，则竺是第象限角；

2

Of

★(2)己知a是第二象限角，则2a是第________象限角，上是第象限角.

3

1.1.2弧度制

【学习目标】

1.理解1弧度的角的定义，熟练掌握角度与弧度的互化；

2.掌握并记忆公式|二|=能利用此公式推导扇形的面积公式；

r

3.自主学习，合作交流，探究弧度制与角度制的区别和联系.

预习案

自主学习：

1.1弧度的角的定义：

把的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

用符号rad表示，读作弧度.

如图，圆。的半径为r,弧则NAOB就是1弧度的角，

即

2.认真、耐心思考课本第6页的探究,并完成表L1-1.

3.一般地,正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度是.

如果半径为r的圆的圆心角a所对的弧长为/,那么，角a的弧度数的绝度值是.

4.弧度与角度的换算：

180°=Tirad；360°=2万rad.

完成下列特殊角与弧度的互化，并熟记：（很重要）

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°360°

弧度0

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起关系.

5.关于扇形的公式：

11,

(1)l=aR；(2)S=-lR；(3)S=-aR2.

22

探究案

探究1:角度制与弧度制的换算关系

1.把下列角度化为弧度：

(1)22.5°；(2)75°；(3)-210°；

(4)240°；(5)315°；(6)1200°.

2.把下列弧度化为角度:

TC4万/、3乃/、54

(1)—；(2)----；(3)—；(4)——

123104

探究2：弧度制下的扇形公式

1.已知圆的半径为4,则弧长为3万的弧所对的圆心角的弧度数为,角度为.

2.扇形的半径为3,圆心角为15°,则扇形的面积为.

3.扇形的周长为16,圆心角是2弧度，则扇形的面积是.

4.用弧度表示：

(1)终边在x轴上的角a的集合：.

(2)终边在y轴上的角夕的集合：.

★5.已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最

大？最大面积是多少？

1.2.1任意角的三角函数

【学习目标】

1.借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；

2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号;

3.根据定义理解公式一.

预习案

自主学习：阅读教材P11~P17

1.初中的三角函数的定义：在直角三角形ABC中，ZC=90°

则sinA=@,cosA=,tanA=.

2.三角函数的定义：如右图，设角a终边上一点？(〃/),|OP|二八

贝EIijr=,si-na=—b,cosa=,tana-.

3.单位圆：我们称以为圆心，以为半径的圆为单位圆.

4.单位圆中的三角函数的定义:

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交与点尸(x,y),那么:

(1)y叫做a的,记作sina,即：

(2)1叫做a的,记作cosa,即：；

(3))叫做a的,记作tana,即：.

x

5.三角函数的定义域:

三角函数定义域

sinx

COSX

tanx

6.三角函数的符号：(请自己在图二、图三中填上正负符号)

7.终边相同的角的三角函数(诱导公式一).

sin(a+k-2")=sina；cos(a+k-2〃)=tan(6r+k-2%)=.(%£Z)

8.三角函数线

sina=MP

coscr=OM

tana=AT

像MP、OM、AT这种有方向的线段，叫做.

探究案

探究1:任意角的三角函数的定义

57r

1.求角把的正弦、余弦和正切值;

3

2.已知角a的终边经过点外(-3,-4),求a的正弦、余弦、正切值;

3.已知角a的终边上一点P(—15f,8/)(/GR,fwO),求a的正弦、余弦和正切值.

探究2：三角函数值的符号

1.若sina<0且tantz>0,则a是第象限角.

2.已知cos6»tan6»<0,则。是第象限角.

探究3：诱导公式一

1q打।ojT-11勿*

求下列角的三角函数值：(1)U巴；(2)(3)一

633

1.2.2同角三角函数的基本关系

【学习目标】

i.掌握同角三角函数的两个基本关系式；

2.能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值、证明；

3.结合三角函数值的符号问题，求三角函数值.

预习案

自主学习：P18-P20

1.同角三角函数的两个基本关系式：：

2.两弦和、差、积的关系

sina+cosa,sintz-cos<z,sinacos&有何关系？（用等式表示）

探究案

探究1:利用同角三角函数关系知一求二

3-A

1.已知sina=-《，并且a是第二象限角，求cosa,tana的值.

3

变式:已知sina=——，求cosa,tana的值.

5

12、.

2.已知tana=（，求sina,cosa的值.

探究2：利用两弦和、差、积的关系求值

1.化简71-2sin40(,cos40°

2.己知0＜。＜万，sine+cos6=求tan。的值

探究3：把弦的齐次分式化为切的分式求值

1.已知tana=3,求下列各式的值:

2sina—3cosa

(1)

4sina—9cosa

23

2sina-3cos之a

(2)

4sin2a—9cos2a

(3)sin?a-sinacosa+l.

1.3.1三角函数的诱导公式

【学习目标】

1.巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式

2.能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值

3.能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程

4.准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值

口诀：函数名不变，符号看象限

预习案

自主学习：

1.利用单位圆表示任意角a的正弦值和余弦值：

P(x,y)为角a的终边与单位圆的交点，则sina=,cos«=

2.诱导公式：由三角函数定义可以知道：

(1)终边相同的角的同一三角函数值相等.

公式―(a+2k兀,kwZ)：_______________________________

(2)角a的终边与角乃+a的终边关于对称.

公式二()：；

(3)角a的终边与角-々的终边关于对称.

公式三()：；

(4)角a的终边与角无—a的终边关于对称.

公式四()：；

思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀?

探究案

探究1:给角求值（负变正，正变锐）

求下列三角函数值：

sin(-24O")；

,fn)

(2)cos141J;

(3)tan(-1560).

探究2：给值求值

,/54\A/3R/71、

1.已知cos(-----a)=——，贝(JcosJ+a)

636

1

变式：若上题中的条件不变，如何求cosQ-一丁）的值?

探究3：化简

cos(1800+6z)sin(6r+360°)

化简：（1）sin(-(7-180°)cos(-180°-a)

(2)sin3(一a)cos(2万+a)tan(-cr-兀)cos?(乃—a)

1.3.2三角函数的诱导公式

【学习目标】

1.能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值；

2.能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程;

3.进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值.

预习案

自主学习：

1.若角a的终边与角夕的终边关于直线y=x对称（如图）,

（1）角a与角夕的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？

（2）角。与角夕有何关系？

（3）由（1）、（2）你能发现什么结论？

TT

角a的终边与角--a的终边关于__________________对称.

2

公式五（）：____________________________________________

TT

由于！+a=___________________，由公式四及公式五可得:

2

公式六（）：

口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

探究案

探究1：利用公式求值

1.已知cos31°=m,求sin2390•tan1490的值（用m表示）

2.已知cos(75°+a)=；,且一180°<a<-90°,求cos(150—a

yr15乃27r

3.已知cos(----a)=—,求cos(-----ba)・sin(------a)的值.

6363

探究2：利用诱导公式化简求值

L化简:⑴如2sin普S440：

sin260°+cos800°

s、sin(2;r-a)cos0———)

(2)团1(3乃-2)।'2

3兀3万

sin(^--tz)sin('-a)sin('+a)cos(2%+a)

22

探究3：利用诱导公式证明恒等式

求证：

(1)cos[-a|=-sina

【2J

3

(2)sin—7r+a=-cosar

2

1.4.1正弦函数、余弦函数的图像

【学习目标】

1.了解正弦函数、余弦函数的图像：

2.会用“五点法”画出正、余弦函数的图像；

3.能利用正、余弦函数的图像解简单问题.

预习案

自主学习：请阅读教材P3O-P33

正弦曲线与余弦曲线及其画法：

探究案

探究1:用“五点法”作三角函数的图象

1.用“五点法”作下列函数的简图：

(1)y=sinx—l,xe[0,2^-]；

(2)y=\-cosx,xG

探究2：利用“图象变换”作三角函数的图象

（1）y=\cosx|,xe[0,4^-]

(2)y=sin|%|,工€1—2万，2万］

探究3：正、余弦函数曲线的简单应用--数形结合

1.函数y=cosx,xe[0,27]的图象与函数y=1图象的交点个数是

A.1B.2C.3D.4

2.在[0,2万）内，方程|sinx|=；的根的个数为

A.1B.2C.3D.4

3.求y=J2sin尤一1的定义域.

4.已知且sinx>cosx,求力的取值范围.

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)

…周期性，奇偶性，对称性

【学习目标】

1.了解周期函数与最小正周期的意义；

2.了解三角函数的周期性和奇偶性；

3.会求函数的周期和判断三角函数的奇偶性.

预习案

自主学习：

1.函数的周期性

(1)对于函数/(x)，如果存在一个，使得当x取定义域内的值

时，都有,那么函数/(X)就叫做周期函数，叫做这

个函数的周期.

(2)如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个,那么这个

就叫做/(x)的最小正周期.

(3)正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它们的周期，最小正周期

为.

2.正弦、余弦函数的奇偶性

(1)对于y-sinx,xeH恒有sin(-x)=-sinx,所以正弦函数y-sinx是______函数，

正弦曲线关于对称.

(2)对于y-cosx,xeA恒有cosjx)=cosx,所以余弦函数y-cosx是函数，

余弦曲线关于对称.

3.正弦、余弦函数的对称性

(1)对于y=sin€R,对称中心是，对称轴方程是

(2)对于y=cosx,xeR，对称中心是，对称轴方程是.

探究案

探究1:求三角函数的周期

1.求下列函数的周期

(1)y=3cosx,x£R；

(2)y=sin2x,xe/?；

1JT

(3)y=2sin(—x---).

26

小结：若y=Asin(0x+0),(o>O),则它的最小正周期是T=

2.求下列函数的最小正周期

(1)y=sin(2x+()；

(2)y=|sinx|.

探究2：三角函数奇偶性的判定

1.判断下列函数的奇偶性：

(1)/(x)=sinxcosx;(2)/(x)=Vl-cosx+Vcosx-1；

cosx

(3)f(x)

1-sinx

探究3：三角函数的周期性与奇偶性的综合应用

若函数/(X)是以券为周期的偶函数，且吗)=1,求/(一等)的值.

L4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)

【学习目标】

1.掌握正弦、余弦函数单调区间；

2.掌握正弦、余弦函数最值；

3.会求三角函数的单调区间与最值.

预习案

自主学习：阅读教材P37~P40

正、余弦函数的性质

y=sinxy=cosx

定义域RR

相同点值域[-UJ[-1,1]

周期性2"

图像

奇偶性奇函数偶函数

不同点在上递增；在上递增；

单调性

在____________________t递减.在_______________________上递减.

X=-------------时，Nmax=1；X=---------------时，Xnax=1；

最值

X=------------时，＞min=-1•X=--------------时，Jmin=T.

探究案

探究1：比较大小

1.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小:

,、15-14

(1)COS——不与COS——71;

89

(2)sin(一弓〃)与sin(一晟乃).

探究2：求单调区间

19YTT

1.求函数y=；sin(子一：)的单调区间.

TTY

2.求函数y=2sin(J—])的单调区间.

探究3：正弦、余弦函数的最值(值域)

求下列函数的值域：

(1)y-cos(x+—),xe；

(2)y=sin2x-4cosx+5；

1.4.3正切函数的性质与图象

【学习目标】

1.掌握正切函数的性质及其应用;

2.理解并掌握作正切函数图象的方法;

3.体会类比、换元、数形结合等思想方法.

预习案

自主学习：请阅读教材P42-P45

1.正切函数的定义域.(强调：定义域必须写成集合或区间的形式)

2.正切函数的周期性

由诱导公式tar(x+〃)=,xeR且1+上乃次eZ,可知函=

(x^-+k7r,k€Z)是函数，且它的周期是,最小正周期是.

2

3.正切函数的奇偶性

JF

因为tan(—x)=,7?且x工耳+左肛AcZ,所以正切函数y=tanx

jr

(xw—+eZ)是函数.

2

4.正切函数的单调性

正切函数在(-三，至)内是函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开

22

区间内都是增函数.

5.正切函数的值域

y=tanx在(-楙,5)内没有最大值、最小值.因此，正切函数的值域是.

6.正切函数的图像

正切函数丁=1孤》，xeR且+的图象，称“正切曲线”.

7.正切函数的对称中心.由图可得正切函数的对称中心是.

探究案

探究1:正切函数的定义域

1.求下列函数的定义域：

(1)y=tan(-^x+-1-)(2)y=lg(V3-tanx)

探究2：正切函数的单调性

1.比较下列每组数的大小.

(1)tan167°,tan173°

、，11不、/13万、

(2)tan(---),tan(———)

2.求y=tan(gx+£)的单调区间与周期.

探窕3：正切函数图象与性质的综合应用

设函数/(x)=tan(|--).

(1)求函数/(无)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;

(2)求不等式4百的解集.

1.5函数y=Asin（G%+0）的图象

【学习目标】

1.通过探究理解参数夕,@A对y=Asin（勿¥+e）（A>0,G>0）的图象的影响.

2.会用两种方法叙述由丁=$皿％到y=Asin（0r+e）+Z的图象的变换过程.会用“五点

法”画出y=Asin（勿x+0）图象的简图.

预习案

自主学习：阅读教材P49~P55

1、探究0对丁=5皿（1+0）,尤eR的图像的影响（函数图象的左右平移变换）.

函数y=sin（r+e）（其中0H0）的图像，可以看作将函数y=sinx的图像上所有的点

（当9>0）或（当e<0）平移个单位长度而得到.

2、探究⑸>>0）对丁=5皿5+0）的图像影响（函数图象横向伸缩变换一一周期变换）.

一般地，函数y=sin（«yx+°）（。>0）的图象可以看作将函数丁=$1110+0）的图象上所

有的点的横坐标（）或（）到原来的一倍（纵坐标不

变）而得到.

3、探究A（A>0）对丁=45亩（6+。）的图像的影响（函数图象的纵向伸缩变换）.

新知：一般地，函数y=Asin@+0）（<y>0,A>0）的图象可以看作将函数

y=sinmx+Q的图象上所有点的纵坐标（）或（）到原来的倍

（横坐标不变）而得到.

小结：丁=5m工到丁=45111（3：+0）的变换流程图.

（1）y=sinA:—>y=sin（x+0）—>y=sin（3x+0）—>y—Asin（3x+0）

（2）y=sinx—>y=sinwy=sin（dyx+0）―>y=Asm^cox+（p）

4、对于函数y=Asin（m+°）,x&R（其中A>0,（u>0）

241

A称为_，T=—称为称为一，姐+°称为_x=0

coT

时的相位0称为初相.

探究案

探究1:用五点法作图及图象换

1万

1.作出函数y=2sin(±x-土)简图，并说明该图象可由y=sin尤的图像经过怎样变化得

36

到.

2.试描述由y=sinx的图像经过怎样变化得到y=2cos(2x+T1T)的图象.

探究2：求函数的解析式…请同学们读懂教材P54的例2,然后完成下题

TT

函数/(x)=4sin(a(x+e)(A>0,69>0,|°|<5)的部分图象如图.

(1)求这个函数的解析式；

(2)求/(x)取最小值时x的取值集合.

探究3：三角函数图象性质的综合应用

已知函数丁=4411(0犬+9)(4>0,啰>0,|0|<IT1)的图象过点「(当7T,0),图象上与P点最

近的一个最高点坐标为(二7T,5).

3

(1)求函数的解析式；

(2)指出该函数的增区间;

(3)求使y<0的x的取值范围.

2.1平面向量的实际背景及基本概念

【学习目标】

1.了解向量的实际背景，抽象出向量；

2.理解向量、相等向量的概念及向量的几何表示；

3.掌握向量的概念及共线向量的概念.

预习案

自主学习：

L向量的定义：位移是既有大小，又有方向的量.力既有大小，又有方向.

数学中，我们把,的量叫做向量.（物理学中称为矢量）

而把那些的量称为数量.（物理学中称为标量）

2.有向线段：带有的线段叫做有向线段，它包含三个要

素.:、、•

3.向量的表示：向量可以用有向线段表示，如4%，也可以用字母表示.

向量的模：向量A%的大小，就是向量A%的长度（或称模），记作.

零向量：长度为0的向量叫做，记作；（它的方向是任意的）

单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做.若W是单位向量，贝»：|=.

平行向量：方向的向量叫做平行向量.向量71平行，记作.

->—>—>

①我们规定：与任一向量平行，即对任意向量。，都有0〃a.

②任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也叫做，它们的方向

是.

相等向量：长度且方向的向量叫做相等向量.记作.

4.向量的记法：黑体（印刷体）；字母上面打箭头（手写体）

5.向量和有向线段的区别：向量既有大小又有方向；有向线段除了大小，方向之外还规定了

起点.

探究案

探究1:向量的概念：

给出下列命题：

~>->—>―>—>—>

①|a1=1%|,则或。=一人；

②量的模一定是正数；

③点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

④向量A%与是共线向量，则四点在一条直线上.

其中正确命题的序号是.

探究2：向量的几何表示：

一辆汽车从A点出发向西行驶了1()0千米到达8点，然后又改变方向向北偏西40°走了

200千米到达。点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达。点.

(1)作出向量AB,3C,CO；(2)求|AD|.

探究3：相等向量与共线向量：

如图，四边形ABCO和A3OE都是平行四边形.

(1)与向量七3相等的向量有哪些？

(2)若|A%|=2,求向量七"的模.

(3)与向量后3共线的向量有哪些？

2.2.1向量加法运算及其几何意义

【学习目标】

1.掌握向量加法的定义，会用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量；

2.理解向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行简单的向量运算.

预习案

自主学习：

1.实数加法的交换律和结合律

a,b,cGR,Wa+b=，(a+b)+c=.

2.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做.

(1)向量加法的三角形法则

已知非零向量1、b,在平面内任取一点A,作通=Z,前1=3,则向量三叫做Z

与3的和，记作Z+3,即Z+3==.位移的合成可以看作

向量加法三角形法则的物理模型.

(2)向量加法的平行四边形法则

已知非零向量"、b,在平面内任取一点0,作豆=Z,丽=3,以0A为邻边

作平行四边形。4CB,则向量历就是［与右的和.力的合成可以看作向量加法平行四边形

法则的物理模型.

对于零向量与任一向量我们规定1+6==.

3.向量加法的运算律

(1)交换律：a+b=

(2)结合律：(〃+B)+c=

4.一般地，有\\a\-\b\\<\a^b\^a\+\b\

(1)当|〃+$|=|4|+|3|时，;

(2)当|〃+川=|4|一|加时，.

探究案

探究1:根据已知向量作和向量:

(1)如图所示,已知向量a,4c,试作出向量a+6+c.

(2)如图，己知分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出〃

(3)如图，已知。为，用向量加法的三角形法则作出a+〃.

aa

b，,b

探究2：向量的加法运算及其几何意义：

化简：(1)BC+AB；

(2)DB+CD+BC；

(3)AB+DF+CD+J3C+FA

探究3：向量加法的应用：

如图所示，在平行四边形A8CD的对角线03的延长线

及反向延长线上取点瓦/，使BE=DF.

求证：四边形AECF是平行四边形.

2.2.2向量减法运算及其几何意义

【学习目标】

1.了解相反向量.

2.理解向量减法法则及其几何意义.

3.能正确作出两个向量的差.

预习案

自主学习：

1.相反向量:规定：与々长度相等，方向的向量，叫做々的相反向量，记作.

(1)零向量的相反向量仍是;

(2)—(-Q)=:

(3)a+(—a)==；AB+BA=.

(4)若。与［互为相反向量，则。=；b=；.

2.向量的减法

(1)定义：a-b=a+,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

(2)几何意义：以。为起点，作赤=［丽=B,则=a-h,即Z—B可以

表示为从向量______的终点指向向量________的终点的向量.

3.一般地,^\\a\-\b\^a-b^a\+\b\

探究案

探究1：根据已知向量作出差向量：

(1)如图，已知向量”,Ac不共线，求作向量。+力一c.

(2)如图所示，。为△ABC内一点，OA=a,OB=b,OC=c,求作：h+c-a.

o

出c

探究2：向量的减法运算：

化简下列各式：

(1)AB+MB-OB-MO；

(2)AB-AD-DC-,

(3)AB-BC+BD-AD；

(4)AB+DA+BD-BC-CA；

(5)(AB-CD)-(AC-BD).

探究3：向量减法的应用：

1.平行四边形ABCD中，AB^a,AD^b,用a,8表示向量AC,03,并回答:

(1)当a,。满足什么条件时，a+b与。一人垂直?

(2)当满足什么条件时，肘+b|=|a-力|?

2.设点M是线段8c的中点，点A在直线8c外，|BC|=4,\AB+AC\=\AB-AC\,

则IAM|=

A.8B.4C.2D.1

3.已知0为平行四边形ABC。内一点，OA=a,OB=b,OC=c,用a,6,c表示。。.

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

【学习目标】

1.掌握向量的数乘运算，并理解数乘运算的几何意义：

2.能用数乘运算的几何意义的应用解决一些简单的问题.

预习案

自主学习：

1.向量的数乘：实数丸与向量々的积是一个向量，记作,它的长度与方向规定如下:

(1)|A,a|=；

(2)当力>0时，的方向与Z的方向；

当4<0时，的方向与Z的方向；

当2=0时，Aa=0,它的方向是.

2.数乘运算的运算律：

(1)交换律：Aa-a-A；

(2)结合律：:(9)=(办)a；

(3)分配律：(％+4)a=+,A(a+b)-Aa+Ab.

3.向量共线定理：

向量g与非零向量［共线O有且只有一个实数力,使得g=.

探究案

探究1：向量的线性运算：

1.计算：(1)6(3丁-20+9(-2a+2)；

127137

(2)_[(3a+2①一一a-b]一一[-a+-(b+-a)].

236276

2.已知向量a,8,且3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,求x.

探究2：向量共线定理及其应用：

1.已知A,8,0三点不共线，且OP=mOA+nOB(m,neR).

(1)若加+〃=1,求证：AP,8三点共线；

(2)若A,P,6三点共线，求证：m+n^l.

2.己知两非零向量和［不共线.

(1)若A》=J+],BC=2e,+8^,c3=3(3-[),求证：A,B,D三点共线.

f——>T

(2)如果人^=勺+g，BC-2e,-3e2,CD-2et-ke2,且A,C,。三点共线，求左

的值.

探究3：用已知向量表示其他向量：

2

在AABC中，AD=-AB,DEHBC交AC千E,AA7是BC边上的中线，交。石于N.

3

设A6=a,AC=b,用Z,3分别表示向量荏，BC,DE,DN,AM,AN.

2.3.1平面向量基本定理

【学习目标】

1.了解基底的含义：

2.理解向量的夹角及垂直的定义；

3.掌握平面向量的基本定理及其应用.

预习案

自主学习：

1.平面向量基本定理

(1)定理：如果［、［是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向

量”，有且只有一对实数4、A,,使。=.

(2)我们把不共线的向量［、1叫做表示这一平面内所有向量的一组.

想一想：判断两个向量能否做为基底的关键是什么？

2.向量的夹角

(1)定义：已知两个向量a、b,作O4=Z,OB=b,则=氏叫做向

量Z与各的夹角.

(2)范围：.

(3)当6=0°时，Z与X；当6=180°时，々与B.

3.垂直：如果Z与B的夹角是,则称Z与X垂直，记作.

探究案

探究1：对基底的理解：

1.若是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是

A.q—2与与q+24B.q与34

C.2q+3%与~4q-6e2D.q+6与q

2.若是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是

A.若实数4,友使+4/=0,则4=4=0

B.空间任意向量〃都可以表示为，4，4£尺

c.4,+4/（4,4£R）不一定表示平面内一个向量

D.对于这一平面内的任一向量。，使a=4q+41的实数对4,“2有无数对

探究2：用基底表示平面向量:

.[,.|—•

1.如图所示，在AOAB中，OC=-OA,OD=—OB,AD与BC交于点M,

42

设丽=々，OB^b,以「与分为基底表示的.

—>—>—>

3.在平行四边形ABCD中，E和尸分别是边C。和BC的中点，若AC=4AE+〃AE,

其中则九+〃=.

探究3：向量的夹角：

1.己知E|=|百=2且I与彘勺夹角为60°,则；与京•族的夹角为,1与

a-b的夹角为,a+b与a-b的夹角为.

3.平面内有三个向量04、OB、0C,其中。4与。8的夹角为120P,。4与0C的夹

角为30°,而与历的夹角为90°,且|而|=而|=1,|1|=2百，若

OC=WA+pOB（A,求4、〃的值.

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3平面向量的坐标运算

【学习目标】

（1）理解平面向量的坐标的概念：

（2）掌握平面向量的坐标运算;

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

预习案

自主学习：

1.平面向量的正交分解：把一个向量，叫做把向量正交分解.

2.平面向量的坐标表示：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两

个单位向量;、]作为基底.对于平面内的一个向量由平面向量

基本定理可知，有且只有一对实数x、y,使得

->

CI—.

这样，平面内的任一向量W都可由X、y