8.1.3计数原理的应用（解析版）

8.1.3计数原理的应用同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有()A．24种 B．10种 C．9种 D．14种【答案】D【分析】分类讨论利用分步乘法和分类加法计数原理计算即可.【详解】分两类：第一类：选衬衣加裙子，共有4×3=12种选法；第二类：选连衣裙，共有2种选法，根据分类加法计数原理共有14种选法.故选：D2．音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（

）A．30种 B．75种 C．10种 D．20种【答案】D【分析】由简单计数原理求不同选法数.【详解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任选一首播放，不同的选法共有20种.故选：D3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（

）A．90种 B．80种 C．60种 D．50种【答案】D【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】根据题意，分2种情况讨论：①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有2×10=20种不同的选法：②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有3×10=30种不同的选法：则共有20+30=50种选法.故选：D4．某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有（）A．7种 B．14种 C．21种 D．49种【答案】D【分析】由分类计数原理和分步计数原理即可求解.【详解】学生进门有3＋4＝7（种）选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理知，进出门的方案有7×7＝49（种）．故选：D5．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24（个）；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36（个）.故选：D6．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．【详解】先涂E，有4种选择，接下来涂C，有3种选择，再涂F,有2种选择，①当C,D颜色相同时涂色方法数是：4×3×2×1×2=48，②当C,D颜色不相同时涂色方法数是：4×3×2×1×1+2∴满足题意的涂色方法总数是：48+72=120．故选：A．7．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种【答案】C【分析】先对图中不同的区域命名，分A与C布置相同的花卉、A与C布置不同的花卉两种情况，再运用分步计数和分类计数的方法从E开始计数即可.【详解】如图，不同的布置方案分两类：当A与C布置相同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5种不同的选择；再安排B，有4种不同的选择；最后安排D，有4种不同的选择，共有6×5×4×4=480种.当A与C布置不同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5×4种不同的选择；再安排B,有3种不同的选择；最后安排D，有3种不同的选择，共有6×5×4×3×3=1080种.所以不同的布置方案有480+1080=1560种.故选：C8．用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（）A．6个 B．18个 C．24个 D．12个【答案】D【分析】根据特殊位置优先安排的原则，结合乘法计数原理即可求解.【详解】先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由3×2=6种选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6=12个不重复的三位偶数，故选：D9．由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有（

）A．48个 B．60个 C．96个 D．120个【答案】B【分析】根据排列数的意义求解即可.【详解】根据题意，由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有：A5故选：B.10．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(

)A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】利用数形图将满足条件的四位数逐一列出即可.【详解】本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个符合题意的四位数．故选：B二、填空题11．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物9本，英语类读物8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有种．【答案】24【分析】由分类加法计数原理即可得.【详解】由分类加法计数原理可得7+9+8=24.故答案为：24.12．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，有种不同的冠军获得情况.【答案】64【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】由题意可知数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军各有4种情况，故有4×4×4=43故答案为：6413．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数，则可以组成不同的两位数的个数为．【答案】12【分析】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案.【详解】从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数，可以组成不同的两位数的个数为A4故答案为：1214．如图，西米组长需要到怀化五中竞辉楼的5楼上政治课，已知竞辉楼只有东和西两处楼梯，请问西米组长从1楼开始有种不同的路径到达5楼.【答案】16【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】每往上走一层楼有2种选择，从1楼到5楼需要经历4次上楼，故总的路径有2×2×2×2=16，故答案为：1615．乘积a1+a2【答案】24【分析】根据分步乘法计数原理可得答案.【详解】由a1,a2,a3中取一项共3种不同取法，从b由分步乘法计数原理知，该展开式共3×2×4＝24(项)故答案为：24．三、解答题16．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？【答案】(1)68(2)66【分析】利用分类加法计数原理进行求解【详解】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12+10+46=68个不同的节目．（2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道共有12+10+46-3个正在播放互不相同的节目，所以一台电视机共可以选看1+12+10+46-317．按序给出a，b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b两类中各取1个元素组成1个排列，求a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数．【答案】120【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】求排列个数需要两步：排首位有10种方法，排末位有12种方法，由分步乘法计数原理得：10×12=120，所以所求排列个数为120.18．在一种编码方式中，每个编码都是两位字符，规定第一位用数字0至9中之一，第二位用26个小写英文字母中之一．这种编码方式共可以产生多少个不同的编码？【答案】260【分析】利用分步乘法原理，即可得出结论.【详解】因为第一位用阿拉伯数字0-9，有10种方法，第二位用小写26个英文字中，有26种方法，这种编码方式共可以产生10×26=260种不同的编码.19．某服装厂为学校设计了4种样式的上衣、3种样式的裤子．若取其中的一件上衣和一条裤子配成校服，则可以配出多少种不同样式的校服？【答案】12【分析】根据分步乘法原理得出结果即可.【详解】第一步从4种样式的上衣中取一件，有4种办法；第二步从3种样式的裤子中取一件，有3种办法；所以共有4×3=12种不同的不同样式.能力进阶能力进阶20．在平面直角坐标系中，以l、2、3、4、5这五个数中的两个分别作为一个点的横坐标和纵坐标，可以组成多少个位于直线y=x下方的点？【答案】10【分析】根据分步乘法原理以及列举法得出结果即可.【详解】根据分步乘法原理，以l、2、3、4、5这五个数中的两个分别作为一个点的横坐标和纵坐标共有5×4=20个点，位于直线y=x下方的点有2,1，3,1，4,1，5,1，3,2，4,2，5,2，4,3，5,3，5,4，所以直线y=x下方的点共10个.21．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？

【答案】14种【分析】根据