2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第五章三角函数5.7三角函数的应用考点1函数式y=Asin(ωx+φ)描述简谐运动时的基本概念问题1.(2024·重庆第一中学高二期末)已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ|φ|<π2的图像经过点A.T=6,φ=π6 B.T=6,φ=π3C.T=6π,φ=π6 D.T=6π,答案:A解析:T=2πω=2ππ3=6。∵f(x)的图像过点(0,1),∴sinφ=12。∵-π2<φ2.(2024·安徽滁州高二期末)最大值为12,最小正周期为2π3,初相为π6的函数表达式是A.y=12sinx3+π6 B.y=12sinx3-π6C.y=1答案:D解析:由最小正周期为2π3,解除A,B;由初相为π6,3.y=-2sin3x-π3的频率为,周期为,初相答案:32π23π解析:y=-2sin3x-π3=2sinπ+3x-π3=2sin3x4.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:ωx+φ0ππ32πxππ573y020-20则振幅是,相位是。

答案:23x-π解析:由表格得A=2,34π-π12=2πω,∴ω=3。∴ωx+φ=3x+φ。当x=π12时,3x+φ=π4+考点2知模型求参数问题5.(2024·福建闽侯第六中学高三上期末)如图5-7-1为一半径为3m的水轮,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满意关系式y=Asin(ωx+φ)+2,则有()。图5-7-1A.ω=5π12,A=5 B.ω=2π15,A=3C.ω=5π12,A=3 D.答案:B解析:∵水轮的半径为3m,水轮圆心O距离水面2m,∴A=3。又水轮每分钟旋转4圈,故转1圈须要15s,∴T=15=2πω,∴ω=2π156.(2024·四川泸州高三上期末)某商品一年内每件出厂价在5万元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价7万元,7月份达到最低价3万元A.f(x)=2sinπB.f(x)=7sinπ4x-π4+5(1≤x≤12,C.f(x)=7sinπ4x+π4+5(1≤x≤12,D.f(x)=2sinπ4x-π4+5(1≤x≤12,答案:D解析:依据题意,得T=2×(7-3)=8,则ω=2πT=π4。由A+B=7,-A+B=3,得A=2,B=5。当x=3时,2sinπ4×3+φ+5=7,得7.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据。t/时03691215182124y/米1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+B。(1)依据上表数据,求函数y=Acosωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式;答案:由表中数据知周期T=12,∴ω=2πT=由t=0,y=1.5,得A+B=1.5。由t=3,y=1.0,得B=1.0。∴A=0.5,B=1。∴y=12cosπ6t+1,t∈(2)依据规定,当海浪高度等于或高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,推断一天内8时至20时之间,有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。答案:∵y≥1,∴12cosπ6t+1≥1。∴cosπ6t∴2kπ-π2≤π6t≤2kπ+π2(k∴12k-3≤t≤12k+3(k∈Z)。又∵8≤t≤20,∴k=1,9≤t≤15。∴冲浪爱好者从9时到15时,有6小时可进行运动。考点3建立三角函数模型问题8.如图5-7-2,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为()。图5-7-2图5-7-3答案:C解析:∵P0(2,-2),∴∠P0Ox=π4。按逆时针转时间t后得∠POP0=t,∠POx=t-π4,此时P点纵坐标为2sint-π4,∴d=2sint-π4。当t=0时,d=2,解除A,D项;当t=π4时9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针匀称地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=,t∈[0,60]。

答案:0sinπ解析:如图所示,经过t秒钟,秒针转过的角度为∠AOB=πt30。取AB的中点C,则∠AOC=πt60,d=|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sinπt10.如图5-7-4所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离为h。图5-7-4(1)求h与θ间关系的函数解析式;答案:过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于点M。当π2<θ≤π时,∠BOM=θ-πh=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sinθ-当0≤θ≤π2,π<θ≤2π时,综上所述,h=5.6+4.8sinθ-(2)设从OA起先转动,经过ts到达OB,求h与t间关系的函数解析式。答案:因为点A在☉O上逆时针运动的角速度是π30rad/s,所以ts转过的弧度数为π30t,所以h=4.8sinπ30t-π2考点4三角函数模型的应用问题11.(2024·辽宁师范高校附属中学高三上期末)如图5-7-5,某港口一天6时到18时的水深改变曲线近似满意函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为图5-7-5A.5 B.6 C.8 D.10答案:C解析:由图像知ymin=2。因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8,故选C。12.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满意函数F(t)=50+4sint2(t≥0),则人流量增加的时间段是()A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20]答案:C解析:由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z。当k=1时,t∈[3π,5π]。因为[10,15]⊆[3π,5π],13.已知某种沟通电电流i(A)随时间t(s)的改变规律可以用函数i=52sin100πt-π2,t∈[0,+∞)表示,则这种沟通电电流在0.答案:25解析:∵周期T=2π100π=150(s),∴频率为每秒∴0.5s往复运行25次。14.已知某地一天从4~16时的温度改变曲线近似满意函数y=10sinπ8x-5π4(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差。答案:由函数易知,当x=14时,函数取得最大值,此时最高温度为30℃,当x=6时,函数取得最小值,此时最低温度为10℃,所以最大温差为30℃-10℃=20(℃)。(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存,则在这段时间内,该细菌最多能存活多长时间?答案:令10sinπ8x-5π4+20=15,得sinπ8x-5π4=-1令10sinπ8x-5π4+20=25,得因为x∈[4,16],所以x=343故该细菌能存活的最长时间为343-263=83(考点5三角函数模型的综合问题15.如图5-7-6所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满意函数关系式θ=12sin2t+π2,t∈[0,+∞),则当t=0时,角θ图5-7-6A.2,1π B.12,1πC.1答案:B解析:当t=0时,θ=12sinπ2=12,由函数解析式易知单摆周期为2π216.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24。下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:t/时03691215182124y/米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期视察,函数y=f(t)的图像可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图像。下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()。A.y=12+3sinπB.y=12+3sinπ6t+π,tC.y=12+3sinπ12t,t∈D.y=12+3sinπ12t+π答案:A解析:在给定的四个选项中,我们不妨代入t=0及t=3,简单看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A,故选A。17.(2024·江西赣州高三上期末)如图5-7-7,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0起先按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是()。图5-7-7A.h(t)=-8sinπ6t+10B.h(t)=-8cosC.h(t)=-8sinπ6t+8D.h(t)=-8cosπ6答案:B解析:以风车的中心为坐标原点,过风车中心水平方向的直线为x轴(向右为x轴的正方向),过风车中心竖直方向的直线为y轴(向上为y轴的正方向)建立平面直角坐标系。由题意得,地面对应的直线的纵坐标为-10,点P0的坐标为(0,-8);点P转动的速度为2π12=π6(rad/min)。∵点P从点P0起先转动,∴点P的纵坐标y与其转过的角度π6t满意余弦关系。设y=Acosπ6t。∵点(0,-8)在函数y=Acosπ6t的图像上,∴-8=Acosπ6×0。解得A=-8。∴y=-8cosπ6t。∵风车上翼片的端点P始终在地面上方,∴点P离地面的距离h=y-(-10)=-8cosπ6t+10,∴点P离地面的距离h(m)与时间t(min)的函数关系式是h18.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周。已知当时间t=0时,点A的坐标是12,32,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是A.[0,1] B.[1,7]C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]答案:D解析:由已知可得该函数的周期T=12,∴ω=2πT=π又∵当t=0时,A12,32,∴y=sinπ6t+π19.如图5-7-8,半圆的直径为2,A为直径MN的延长线上一点,且OA=2,B为半圆上随意一点,以AB为边作等边三角形ABC。当∠AOB=x时,S四边形OACB等于()。图5-7-8A.sinx B.sinx-3cosx+534C.-3cosx+534 D.sinx+3答案:B解析:如图,S四边形OACB=S△AOB+S△ABC。过点B作BD⊥MN,垂足为D,则BD=BOsin(π-x),即BD=sinx。∴S△AOB=12×2sinx=sinx∵OD=BOcos(π-x)=-cosx,∴AB2=BD2+AD2=sin2x+(-cosx+2)2=5-4cosx。∴S△ABC=12AB·ABsin60°=534-3∴S四边形OACB=sinx-3cosx+5320.(2024·黄冈调考)为了探讨钟表与三角函数的关系,建立如图5-7-9所示的坐标系,设秒针位置P(x,y)。若初始位置为P01,32,当秒针从P0(注:此时t=0)起先走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(图5-7-9A.y=sinπ30t+π3 B.y=sin-π60t-答案:C解析:由题意知,函数的周期为T=60,∴ω=2π60=π30。设函数解析式为y=sin∵初始位置为P01,32,∴t=0时,y∴sinφ=32,∴φ可取π3,∴函数解析式为y=sin-π21.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间的关系的一个三角函数关系式为。

t/s00.10.20.30.40.50.60.70.8y/cm-4.0-2.80.02.84.02.80.0-2.8-4.0答案:y=-4cos5π2t,t≥解析:设y=Asin(ωt+φ),则从表中可以得到A=4,T=0.8,∴ω=2πT=2π0.8=5π2又由4sinφ=-4.0,得sinφ=-1,取φ=-π2故y=4sin5π2t-π2=-4cos5π222.示波器上显示的曲线是正弦曲线形态,记录到两个坐标M(2,4)和P(6,0),已知M,P是曲线上相邻的最高点和平衡位置,则得曲线的方程是。

答案:y=4sinπ解析:由题意可设曲线方程为y=4sin(ωx+φ)(ω>0)。因为T4=4,所以T=16,所以ω=2π16=π8,所以y=4sinπ8x+φ。又曲线经过最高点M(2,4),所以π8×2+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=π4+2kπ,k∈Z,23.(2024·山东东营四校高三期末联考)某试验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的改变近似满意函数关系:f(t)=10-2sinπ12t+π3,t∈[0,24),答案:4℃解析:因为f(t)=10-2sinπ12t+π3,t∈[0,24),所以π3≤π12t+π3<7π3,当π12t+π3=3π2,即t=14时,函数f(t)取得最大值,最大值为10+2=12,当π12t+π3=π2,即t=2时24.(2024·西北工大附中单元测试)已知电流I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图像如图5-7-10所示。图5-7-10(1)依据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式。答案:由图像可知,A=300,周期T=2×11900-1∴ω=2πT=150π。又由300sin150π×1180+φ=0,得φ=π6(2)假如t在随意一段1150s的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少答案:由题意T≤1150,即2πω≤又∵ω>0,∴ω≥300π>942,∴ω的最小正整数值是943。25.(2024·山西大同模块统考)某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是水深数据:t/时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图5-7-11所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦型函数y=Asinωt+B(A>0,ω>0)的图像。图5-7-11(1)试依据数据和曲线,求出y=Asinωt+B的解析式。答案:从拟合的曲线可知,函数y=Asinωt+B的一个周期为12小时,因此ω=2πT=π又∵ymin=7,ymax=13,∴A=12(ymax-ymin)=3,B=12(ymax+ymin∴函数的解析式为y=3sinπ6t+10(0≤t≤24)(2)一般状况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是平安的,假如某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够平安进港?若该船欲当天平安离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽视离港所用