新高考数学一轮复习讲义 第27讲 数列的概念（原卷版）

第27讲数列的概念（精讲）题型目录一览①数列的概念与通项公式②数列的性质③与的关系一、知识点梳理一、知识点梳理一、数列的概念1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项，一般记为数列.2.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N＋递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数，使摆动数列的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…三、数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.四、数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．五、an与Sn的关系数列的前项和和通项的关系：则二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一数列的概念与通项公式策略方法数列的概念与通项公式1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．2.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.【典例1】将1，5，12，22等称为五边形数，如下图所示，把所有的五边形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列SKIPIF1<0，则该数列的第6项SKIPIF1<0（

）

A．49 B．50 C．51 D．52【题型训练】一、单选题1．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（

）个球．

A．12 B．20 C．55 D．1102．分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第SKIPIF1<0行黑圈的个数为SKIPIF1<0，白圈的个数为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）

A．34 B．35 C．88 D．893．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数SKIPIF1<0，按照上述规则实施第SKIPIF1<0次运算的结果为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0均不为1，则SKIPIF1<0（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或44．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题6．如图，第SKIPIF1<0个图形由第SKIPIF1<0边形“扩展”而来的.记第SKIPIF1<0个图形的顶点数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.

7．Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过SKIPIF1<0的最简分数及0（视为SKIPIF1<0）和1（视为：SKIPIF1<0）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是SKIPIF1<0．则F－7的项数为．8．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数），则SKIPIF1<0.9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：SKIPIF1<0其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．那么SKIPIF1<0

是斐波那契数列中的第项．题型二数列的性质策略方法1．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．2．判断数列单调性的两种方法(1)作差(或商)法．(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．3．求数列中最大(小)项的两种方法(1)根据数列的单调性判断．(2)在数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0最大，则SKIPIF1<0若SKIPIF1<0最小，则SKIPIF1<0【典例1】若数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为递增数列，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．在数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的个位数，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．12．若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0最小时的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最小值时n的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．95．设SKIPIF1<0是等比数列，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为递增数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则“对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为递增数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件7．在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，对所有的正整数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<08．已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0（

）A．9 B．10 C．11 D．129．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列结论成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0，则该数列中的最大项和最小项依次为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．412．已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．－1 B．SKIPIF1<0 C．0 D．SKIPIF1<013．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．斐波那契数列SKIPIF1<0可以用如下方法定义：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的第100项为（

）A．0 B．1 C．2 D．315．在数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．已知无穷实数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．若数列SKIPIF1<0既有最大项，也有最小项，则在：①“SKIPIF1<0且数列SKIPIF1<0严格减”和②“SKIPIF1<0且数列SKIPIF1<0严格增”中，SKIPIF1<0可能满足的条件是（

）A．不存在 B．只有①

C．只有② D．①和②二、多选题18．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列SKIPIF1<0是等积数列，且SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，则下列结论不正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．公积为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0是等比数列 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果SKIPIF1<0某同学据此改编，研究如下问题：在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（

）A．SKIPIF1<0是单调递增数列，SKIPIF1<0是单调递减数列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空题22．）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.23．在数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.24．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.25．若数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），记数列SKIPIF1<0的前n项积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．26．设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.若存在常数SKIPIF1<0，对于任意SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.27．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.28．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0为递增数列，则实数SKIPIF1<0的取值范围为．29．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．30．已知SKIPIF1<0是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．给出下列四个结论：①SKIPIF1<0；②数列SKIPIF1<0有最大值，无最小值；③SKIPIF1<0；④存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.其中所有正确结论的序号是．题型三与的关系策略方法已知Sn求an的三个步骤(1)利用a1＝S1求出a1．(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【典例1】已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．16 B．18 C．20 D．25【题型训练】一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．7 D．82．已知数列SKIPIF1<0的前n项和是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．9 B．16 C．31 D．333．若数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．7 B．8 C．15 D．164．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列SKIPIF1<0满足:SKIPIF1<0，记其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．1011 D．20226．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则下列结论中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知首项为3的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1435 B．1436 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列各式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0为单调递增数列，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题11．设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列