新高考数学一轮复习讲义 第40讲 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（原卷版）

第40讲圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精讲）题型目录一览①圆与圆的位置关系②圆的公共弦问题③圆的公切线问题④圆的综合性问题一、知识点梳理一、知识点梳理一、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆SKIPIF1<0的半径分别是SKIPIF1<0，（不妨设SKIPIF1<0），且两圆的圆心距为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0两圆相交；SKIPIF1<0两圆外切；SKIPIF1<0两圆相离；SKIPIF1<0两圆内切；SKIPIF1<0两圆内含（SKIPIF1<0时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆心距为SKIPIF1<0，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【常用结论】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0．（2）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0（3）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0（4）求过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为SKIPIF1<0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0值．若求出的SKIPIF1<0值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的SKIPIF1<0值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一圆与圆的位置关系策略方法几何法判断圆与圆的位置的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．【典例1】已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0．试求SKIPIF1<0为何值时，两圆SKIPIF1<0：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．【题型训练】一、单选题1．两圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切2．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为（

）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含3．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，则实数a的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0或2 D．1或SKIPIF1<04．若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，过点SKIPIF1<0的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相外切，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．47．已知点P，Q分别为圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．108．“SKIPIF1<0”是“圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0存在公切线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知圆SKIPIF1<0和两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若圆C上至少存在一点P，使得SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A为线段SKIPIF1<0中点，P为圆SKIPIF1<0任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题11．下列圆中与圆SKIPIF1<0相切的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知圆SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．圆C的半径为18B．圆C截x轴所得的弦长为SKIPIF1<0C．圆C与圆SKIPIF1<0相外切D．若圆C上有且仅有两点到直线SKIPIF1<0的距离为1，则实数m的取值范围是SKIPIF1<013．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交B．若SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外离C．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，则SKIPIF1<0D．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<014．已知圆SKIPIF1<0和两点SKIPIF1<0，若圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可能的取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题15．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相内切，则实数m的值为．16．写出一个与两坐标轴和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0都相切的一个圆的标准方程为．17．满足圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交的一个a值为．18．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，此时直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截的弦长为．19．若圆SKIPIF1<0上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆SKIPIF1<0上，则r的取值范围是.20．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，且圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，则圆SKIPIF1<0的圆心的轨迹方程为．四、解答题21．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0、圆SKIPIF1<0外切，求圆心SKIPIF1<0的轨迹方程SKIPIF1<022．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切.(1)求实数SKIPIF1<0的值；(2)若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0两点，求弦SKIPIF1<0的长.题型二圆的公共弦问题策略方法两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．【典例1】已知圆C的圆心为SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0相切．(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆SKIPIF1<0的公共弦的长．【题型训练】一、单选题1．过圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交点的直线方程为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于A，B两点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦恰为圆SKIPIF1<0的直径，则圆SKIPIF1<0的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知圆C过圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共点．若圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0引圆SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为切点，则直线SKIPIF1<0经过定点（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线恒过点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题8．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则（

）A．两圆的圆心的距离为25B．两圆相交C．两圆的公共弦所在直线方程为SKIPIF1<0D．两圆的公共弦长为SKIPIF1<09．已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0有两条公切线B．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0C．圆SKIPIF1<0上存在两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0D．圆SKIPIF1<0上的点到直线SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<010．圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的交点为A，B，则（）A．公共弦AB所在直线的方程为SKIPIF1<0B．线段AB中垂线方程为SKIPIF1<0C．公共弦AB的长为SKIPIF1<0D．P为圆SKIPIF1<0上一动点，则P到直线AB距离的最大值为SKIPIF1<011．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，则（

）A．若SKIPIF1<0的半径为1，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交弦所在的直线为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0截SKIPIF1<0所得的最短弦长为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0三、填空题12．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线的方程为．13．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦经过点M，则SKIPIF1<0．14．若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，且公共弦长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.15．过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线,切点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0的方程为.题型三圆的公切线问题策略方法圆的切线问题（1）圆的切线方程的求法=1\*GB3①点SKIPIF1<0在圆上，法一：利用切线的斜率SKIPIF1<0与圆心和该点连线的斜率SKIPIF1<0的乘积等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．法二：圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于半径SKIPIF1<0．=2\*GB3②点SKIPIF1<0在圆外，则设切线方程：SKIPIF1<0，变成一般式：SKIPIF1<0，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出SKIPIF1<0．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0；过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0．过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为SKIPIF1<0过曲线上SKIPIF1<0，做曲线的切线，只需把SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0即可，因此可得到上面的结论．【典例1】证明圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，并求它们的公切线方程．【题型训练】一、单选题1．圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，则两圆的一条公切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知直线SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的切线，并且点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是2，这样的直线SKIPIF1<0有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则满足条件的直线l的条数为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．已知圆心均在SKIPIF1<0轴的两圆外切，半径分别为SKIPIF1<0，则两圆公切线的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．“SKIPIF1<0”是“圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公切线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条8．若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有且仅有3条公切线，则m=（

）A．14 B．28 C．9 D．SKIPIF1<09．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恰好有4条公切线，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题10．与圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的直线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0B．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有四条公切线C．点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则线段SKIPIF1<0长的最大值为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0一定相交，且相交的弦长最小值为SKIPIF1<012．已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0有两条公切线B．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0C．圆SKIPIF1<0上存在两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0D．圆SKIPIF1<0上的点到直线SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0三、填空题13．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公切线方程为.14．已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都相切的直线方程为．15．已知圆SKIPIF1<0.若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有三条公切线，则SKIPIF1<0的值为.16．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则SKIPIF1<0为.题型四圆的综合性问题策略方法几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．【典例1】已知直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点对称，若直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．过点SKIPIF1<0作圆C：SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为A，B，则直线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，一条光线从点SKIPIF1<0射出，经SKIPIF1<0轴反射后的光线所在的直线与圆SKIPIF1<0相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或1 C．1 D．23．已知点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的交点，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上一动点，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如图，在SKIPIF1<0平面上有一系列点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0…，对每个正整数SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0位于函数SKIPIF1<0的图像上，以点SKIPIF1<0为圆心的SKIPIF1<0都与SKIPIF1<0轴相切，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0外切.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项之和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴分别交于两点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．已知直线SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的最短弦长为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0上存在无数对点关于直线SKIPIF1<0