新高考数学一轮复习讲义 第07讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（原卷版）

第07讲函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精讲）题型目录一览①函数单调性的判断与证明②求函数的单调区间③复合函数的单调性④函数单调性的应用⑤函数的最值（值域）★【文末附录-函数的单调性与最值思维导图】一、知识点梳理一、知识点梳理1.函数的单调性

（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.（3）【特别提醒】①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：=1\*GB3①对于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.（2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：=1\*GB3①对于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.（3）函数最值存在的两个结论①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【常用结论】1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，SKIPIF1<0⇔f(x)在D上是增函数；SKIPIF1<0⇔f(x)在D上是减函数．2.对勾函数y＝SKIPIF1<0(a＞0)的增区间为(－∞，－SKIPIF1<0]和[SKIPIF1<0，＋∞)，减区间为[－SKIPIF1<0，0)和(0，SKIPIF1<0]．3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝SKIPIF1<0的单调性相反．6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一函数单调性的判断与证明策略方法1.定义法证明函数单调性的步骤2.判断函数单调性的四种方法(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．3.证明函数单调性的两种方法(1)定义法；(2)导数法．【典例1】设函数SKIPIF1<0，指出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性，并证明你的结论．【题型训练】一、单选题1．设函数SKIPIF1<0满足：对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件SKIPIF1<0二、填空题3．若SKIPIF1<0，则函数在SKIPIF1<0上的值域是______________．4．对于函数SKIPIF1<0定义域内的任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，给出下列结论：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0其中正确结论为：__．三、解答题5．根据定义证明函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.6．已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的解析式;(2)判断并证明函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性.7．设SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求证SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值.题型二求函数的单调区间策略方法求复合函数单调区间的一般步骤(1)求函数的定义域(定义域先行)．(2)求简单函数的单调区间．(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．【典例1】已知函数SKIPIF1<0(1)画出函数图象(2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.【题型训练】一、单选题1．函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调减区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．函数SKIPIF1<0的单调增区间是（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<03．如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，且函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，那么称函数SKIPIF1<0是区间SKIPIF1<0上的“可变函数”，区间SKIPIF1<0叫做“可变区间”.若函数SKIPIF1<0是区间SKIPIF1<0上的“可变函数”，则“可变区间”SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题4．函数SKIPIF1<0的单调减区间为___________.5．函数SKIPIF1<0的单调增区间是___________.三、解答题6．已知二次函数SKIPIF1<0的最小值为1，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在幂函数SKIPIF1<0的图像上．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的解析式；(2)定义函数SKIPIF1<0试画出函数SKIPIF1<0的图象，并求函数SKIPIF1<0的定义域、值域和单调区间．7．已知函数SKIPIF1<0．（其中SKIPIF1<0）(1)求函数SKIPIF1<0的单调增区间；(2)若对任意SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立，求实数a的取值范围．8．已知函数SKIPIF1<0（a为正常数），且函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在y轴上的截距相等．(1)求a的值；(2)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；题型三复合函数的单调性策略方法集合运算三步骤【典例1】函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．函数SKIPIF1<0的单调递增区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知函数SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的大致图像是（

）A．B．C． D．二、填空题4．函数SKIPIF1<0的单调递减区间是____________.5．已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.6．已知函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则实数a的取值范围是___________.三、解答题7．已知函数SKIPIF1<0为奇函数．(1)求常数SKIPIF1<0的值；(2)判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性．8．已知函数SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定义域.(2)若函数在区间SKIPIF1<0上是减函数，求实数a的取值范围.题型四函数单调性的应用策略方法1．比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．2．求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．【典例1】已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则实数k的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则实数SKIPIF1<0的范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知函数SKIPIF1<0满足对任意SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时都有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知函数SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的减函数，若SKIPIF1<0，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足SKIPIF1<0的实数x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知偶函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且对于任意SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0成立，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题10．已知函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上都是减函数，那么SKIPIF1<0__________.11．已知函数SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0为单调函数，则实数a的取值范围为______．12．已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是_________．13．奇函数f(x)是定义域为(－1，1)上的减函数，且f(2a－1)＋f(a－1)>0，则a的取值范围是________．三、解答题14．已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数.(1)该函数在SKIPIF1<0严格单调，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若对任意的SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；15．设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0是奇函数，求SKIPIF1<0的值；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是严格减函数，求SKIPIF1<0的取值范围．16．已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为奇函数．(1)判断函数SKIPIF1<0的单调性并证明；(2)解不等式：SKIPIF1<0．题型五函数的最值（值域）策略方法求函数最值的五种常用方法【典例1】已知二次函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值域．【典例2】函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】已知SKIPIF1<0为正的常数，若不等式SKIPIF1<0对一切非负实数SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值为________.【题型训练】一、单选题1．函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．以上都不对2．已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为28，则实数k的值可以是（