新高考数学一轮复习讲义 第04讲 基本不等式（含解析）

第04讲基本不等式（精讲）题型目录一览①直接法求最值②常规凑配法求最值③消参法求最值④“1”的代换求最值⑤基本不等式及其应用⑥利用基本不等式解决实际问题⑦利用基本不等式证明一、知识点梳理一、知识点梳理1.基本不等式如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．其中，SKIPIF1<0叫作SKIPIF1<0的算术平均数，SKIPIF1<0叫作SKIPIF1<0的几何平均数．即正数SKIPIF1<0的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号；基本不等式2：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），当且仅当SKIPIF1<0时取等号.注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.（1）几个重要的不等式①SKIPIF1<0②基本不等式：如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“”).特例：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0同号）.（2）其他变形：①SKIPIF1<0(沟通两和SKIPIF1<0与两平方和SKIPIF1<0的不等关系式)②SKIPIF1<0(沟通两积SKIPIF1<0与两平方和SKIPIF1<0的不等关系式)③SKIPIF1<0(沟通两积SKIPIF1<0与两和SKIPIF1<0的不等关系式)④重要不等式串：SKIPIF1<0即调和平均值SKIPIF1<0几何平均值SKIPIF1<0算数平均值SKIPIF1<0平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知SKIPIF1<0.（1）如果SKIPIF1<0(定值)，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果SKIPIF1<0(定值)，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；模型二：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；模型三：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；模型四：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一直接法求最值策略方法直接利用基本不等式求解，注意取等条件【典例1】下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答.【详解】对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，A不正确；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B不正确；对于C，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即C不正确；对于D，当SKIPIF1<0时，由均值不等式得SKIPIF1<0成立，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，则D正确.故选：D【题型训练】一、单选题1．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断SKIPIF1<0选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出SKIPIF1<0不符合题意，SKIPIF1<0符合题意．【详解】对于A，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以其最小值为SKIPIF1<0，A不符合题意；对于B，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，等号取不到，所以其最小值不为SKIPIF1<0，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，所以其最小值为SKIPIF1<0，C符合题意；对于D，SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，如当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．2．（2021·全国·统考高考真题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到SKIPIF1<0，借助基本不等式SKIPIF1<0即可得到答案．【详解】由题，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立）．故选：C．【点睛】3．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由对数的运算性质对A进行化简，对B由基本不等式成立的条件即可判断，对C化成完全平方即可判断，对D由分式的运算即可求得.【详解】对于A：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0，故A错误；对于B：当SKIPIF1<0为负数时，SKIPIF1<0不成立，故B错误；对于C：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C正确；对于D：SKIPIF1<0，故D错误.故选：C.4．（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明SKIPIF1<0现有如图所示图形，点SKIPIF1<0在半圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直径SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该图形可以直接完成的无字证明为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由图形可知用a、b表示出OF、OC，在SKIPIF1<0中由勾股定理可求CF，根据SKIPIF1<0即可得出结论．【详解】由图形可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故选：C．5．（2023·陕西宝鸡·统考二模）设a，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0成立，当且仅当SKIPIF1<0时取等，若SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不成立，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件.故选：C.二、填空题6．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立．故答案为:SKIPIF1<07．（2023·高三课时练习）已知SKIPIF1<0，有下列不等式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．其中，恒成立的是______．（写出所有满足要求的不等式序号）【答案】①③⑤【分析】利用基本不等式对5个式子一一判断.【详解】因为SKIPIF1<0，所以利用基本不等式：对于①：SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立）.故①正确；对于②：SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）.故②错误；对于③：SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）.故③正确；对于④：SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）.故④错误；对于⑤：SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）.故⑤正确.故答案为：①③⑤题型二常规凑配法求最值策略方法1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．【典例1】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最大值时x的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由基本不等式求得最大值．【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立.故选：C．【典例2】已知实数x满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．4 D．8【答案】B【分析】由已知得到SKIPIF1<0，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值.【详解】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0上式取等号，则SKIPIF1<0的最大值为0.故选：B.【典例3】当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【分析】使用变量分离，将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，使用基本不等式解决.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立．故选：B．【题型训练】一、单选题1．（江西省赣州市十六县市二十校2023届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值9.故选：C2．已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求得答案.【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时等号成立，因此，函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0,故选：C．3．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，上式取得等号，SKIPIF1<0的最大值为2．故选：A．4．函数SKIPIF1<0的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，后由基本不等式可得答案.【详解】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号.故选：A5．（广东省湛江市2023届高三二模数学试题）当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】将左侧分式的分子因式分解成SKIPIF1<0的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.【详解】当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A.二、填空题6．（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）数学（文）试题）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】3【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.【详解】因为SKIPIF1<0，由基本不等式得：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立．故答案为：37．（第06讲基本不等式及应用-备战2023年高考数学一轮复习考点帮（新高考专用）【学科网名师堂】）（1）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取得最大值时SKIPIF1<0的值为________．（2）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为________．（3）函数SKIPIF1<0的最小值为________．【答案】SKIPIF1<01SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【详解】解：（1）SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号．故答案为：SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号．故SKIPIF1<0的最大值为1.故答案为：1.（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故答案为：SKIPIF1<0.8．（2021·天津·统考高考真题）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．（2020·天津·统考高考真题）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_________．【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求解.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0=4时取等号，结合SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，等号成立.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.10．（天津市红桥区2023届高三一模数学试题）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】将不等式变为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再由基本不等式即可得出答案.【详解】SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等.故答案为：SKIPIF1<0.11．（湖南省部分校2023届高三下学期4月月考数学试题）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为_________.【答案】0【分析】代数式凑配后利用二次函数性质和基本不等式求解．【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为0.故答案为：0.题型三消参法求最值策略方法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【典例1】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【分析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，从而将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值是13，故选：C【题型训练】一、单选题1．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】用SKIPIF1<0来表示SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，再利用基本不等式即可求出最小值.【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，此时SKIPIF1<0，故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）若正数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．3 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】依题意可得SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，再利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故选：B二、多选题3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（

）A．SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0 B．a2+b2有最小值SKIPIF1<0C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln2【答案】BC【分析】根据基本不等式、配方法，结合指数运算、对数的运算性质逐一判断即可.【详解】因为实数a，b>0，2a+b=4，所以有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即当SKIPIF1<0时取等号，故选项A不正确；因为2a+b=4，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，a2+b2有最小值SKIPIF1<0，故选项B正确；SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0时取等号，故选项C正确；因为实数a，b>0，2a+b=4，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，lna+lnb有最大值ln2，因此选项D不正确，故选：BC4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】对于A选项对SKIPIF1<0直接利用基本不等式即可得证；对于B选项对SKIPIF1<0利用基本不等式可得SKIPIF1<0，由此即可判断；对于C选项由题意可知SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，易证函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则可得SKIPIF1<0；对于D选项易证SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【详解】对于A选项：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当“SKIPIF1<0”，即“SKIPIF1<0”时，等号成立，正确；对于B选项：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当“SKIPIF1<0”，即“SKIPIF1<0”时，等号成立，所以SKIPIF1<0，错误；对于C选项：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正确；对于D选项：记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正确；故选：ACD三、填空题5．（2020·江苏·统考高考真题）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题设条件可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求解.【详解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号.∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时等号能否同时成立）.6．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用消元法，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.7．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用等式SKIPIF1<0求解SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0计算，结合基本不等式，即可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】因为SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，“=”成立故答案为：SKIPIF1<0.题型四“1”的代换求最值策略方法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2．注意验证取得条件．【典例1】已知函数SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.【详解】由题意可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选:A．【题型训练】一、单选题1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】条件等式两边取对数后，得SKIPIF1<0，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为6.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出SKIPIF1<0的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】对SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号．故选：D．3．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】由题意可得SKIPIF1<0，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等.故选：C.二、多选题4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】BCD【分析】根据题意和基本不等式，求得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0恒成立，得到SKIPIF1<0，结合选项，即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，等号成立，又因为不等式SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，结合选项，可得选项B、C、D符合题意.故选：BCD.5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）下列能使式子SKIPIF1<0最小值为1的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【分析】由SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，结合不等式“1”的妙用，即可求出SKIPIF1<0的最小值为1，判断出A正确；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，结合基本不等式，即可判断出B错误；假设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即可判断出C错误；由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0化简，结合SKIPIF1<0的范围，即可得出当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，取得最小值1，即可判断D正确．【详解】对于A：当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，故A正确；对于B：由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，等号成立，故最小值为SKIPIF1<0，故B错误；对于C：假设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C错误；对于D：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，取得最小值1，故D正确，故选：AD．三、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据向量运算可得SKIPIF1<0，再由均值不等式求解即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.【答案】12【分析】根据导数的几何意义求得函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程，可推出SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由函数SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则由题意可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等号，即SKIPIF1<0的最小值为12，故答案为：128．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】变形条件等式得SKIPIF1<0，然后展开，利用基本不等式求最小值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．（2023·陕西渭南·统考二模）设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是___________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用基本不等式中“1”的代换法求最小值．【详解】∵SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，故答案为：SKIPIF1<0．题型五基本不等式及其应用策略方法熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.【典例1】已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由均值定理即可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.【题型训练】一、单选题1．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模）数学试题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则ab的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】运用对数运算及换底公式可得SKIPIF1<0，运用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，即：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0的最小值为16.故选：C.2．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（文）试题）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据基本不等式推出SKIPIF1<0，进而根据不等式可得SKIPIF1<0，即可得出答案.【详解】由已知可得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由基本不等式知SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为2.故选：D.3．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（理）试题）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式即可求出最值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.4．（江西省南昌市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知x，y为正实数，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用特值法、基本不等式，结合充分条件与必要条件的定义判断即可．【详解】当SKIPIF1<0时，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”不是“SKIPIF1<0”的充分条件；当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要条件，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件.故选：B.5．（安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模）数学试题）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则夹角SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】应用向量数量积运算律及题设可得SKIPIF1<0，注意等号成立条件，结合已知不等条件求SKIPIF1<0范围，即可得最小值.【详解】由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，前一个等号成立条件为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是夹角为SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C二、多选题6．（湖北省孝感市2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题）下列结论中，正确的结论有（

）A．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值是2B．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最大值为3C．函数SKIPIF1<0的最小值为2D．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值为2【答案】BD【分析】对A.如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，命题不成立；对B.使用基本不等式得SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0的最大值；对C.函数SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0无解；对D.根据题意构造SKIPIF1<0，将“1”替换为SKIPIF1<0，代入用基本不等式求解.【详解】对于A：如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，最小值是2不成立；对于B：如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0