新高考数学一轮复习讲义 第51讲 二项式定理（原卷版）

第51讲二项式定理（精讲）题型目录一览①二项展开式中的特定项问题②二项式系数问题③二项展开式中各项系数的和问题④三项展开式的问题⑤两个二项式乘积展开式的系数⑥赋值法一、知识点梳理一、知识点梳理一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题1.二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：SKIPIF1<0，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的SKIPIF1<0做二项展开式的通项，用SKIPIF1<0表示，即通项为展开式的第SKIPIF1<0项：SKIPIF1<0，其中的系数SKIPIF1<0（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，2.二项式SKIPIF1<0的展开式的特点：①项数：共有SKIPIF1<0项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第SKIPIF1<0项的二项式系数为SKIPIF1<0，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数SKIPIF1<0．字母SKIPIF1<0降幂排列，次数由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0；字母SKIPIF1<0升幂排列，次数从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，每一项中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0次数和均为SKIPIF1<0；④项的系数：二项式系数依次是SKIPIF1<0，项的系数是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的系数（包括二项式系数）．3.两个常用的二项展开式：①（）②4.二项展开式的通项公式二项展开式的通项：SKIPIF1<0SKIPIF1<0公式特点：①它表示二项展开式的第SKIPIF1<0项，该项的二项式系数是；②字母SKIPIF1<0的次数和组合数的上标相同；③SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的次数之和为SKIPIF1<0．注意：①二项式SKIPIF1<0的二项展开式的第r+1项和SKIPIF1<0的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是不能随便交换位置的．②通项是针对在SKIPIF1<0这个标准形式下而言的，如SKIPIF1<0的二项展开式的通项是（只需把SKIPIF1<0看成SKIPIF1<0代入二项式定理）．二、二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质=1\*GB3①每一行两端都是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即SKIPIF1<0．=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即SKIPIF1<0．=3\*GB3③二项式系数和令SKIPIF1<0，则二项式系数的和为SKIPIF1<0，变形式SKIPIF1<0．=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而得到：SKIPIF1<0．=5\*GB3⑤最大值：如果二项式的幂指数SKIPIF1<0是偶数，则中间一项SKIPIF1<0的二项式系数SKIPIF1<0最大；如果二项式的幂指数SKIPIF1<0是奇数，则中间两项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二项式系数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相等且最大．2.系数的最大项求SKIPIF1<0展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为SKIPIF1<0，设第SKIPIF1<0项系数最大，应有SKIPIF1<0，从而解出SKIPIF1<0来．三、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．①令，可得：②令SKIPIF1<0，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若SKIPIF1<0，则①常数项：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．②各项系数和：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．注意：常见的赋值为令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【常用结论】奇数项的系数和与偶数项的系数和①5当SKIPIF1<0为偶数时，奇数项的系数和为SKIPIF1<0；偶数项的系数和为SKIPIF1<0．（可简记为：SKIPIF1<0为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）②当SKIPIF1<0为奇数时，奇数项的系数和为SKIPIF1<0；偶数项的系数和为SKIPIF1<0．（可简记为：SKIPIF1<0为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若SKIPIF1<0，同理可得．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一二项展开式中的特定项问题策略方法形如(a＋b)n的展开式问题二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．【典例1】（单选题）已知SKIPIF1<0的展开式中的常数项为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．2 B．-2 C．8 D．-8【典例2】（单选题）二项式SKIPIF1<0展开式中含x项的系数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．在SKIPIF1<0的展开式中，第四项为（

）A．160 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．SKIPIF1<0展开式中的常数项为－160，则a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．23．SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．40 B．SKIPIF1<0 C．80 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0的展开式中的常数项是672，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．15．二项式SKIPIF1<0的展开式中的常数项为（

）A．1792 B．－1792 C．1120 D．－11206．若SKIPIF1<0展开式中含有常数项，则n的最小值是（

）A．2 B．3 C．12 D．107．SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是126，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．1 D．3二、填空题8．二项式SKIPIF1<0的展开式中的常数项为.9．SKIPIF1<0的展开式的第8项的系数为（结果用数值表示）.10．二项式SKIPIF1<0的展开式中的常数项是.11．若在SKIPIF1<0的展开式中，第4项是常数项，则SKIPIF1<0．12．设常数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的二项展开式中SKIPIF1<0的系数为144，则SKIPIF1<0．13．已知SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型二二项式系数问题策略方法二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n．【典例1】（单选题）SKIPIF1<0展开式中的各二项式系数之和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（单选题）．若SKIPIF1<0二项展开式中的各项的二项式系数只有第SKIPIF1<0项最大，则展开式的常数项的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．SKIPIF1<0的展开式中二项式系数最大的项是（

）A．160 B．240 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知二项式SKIPIF1<0的展开式中仅有第SKIPIF1<0项的二项式系数最大，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的SKIPIF1<0项的系数为（

）A．―4 B．84 C．―280 D．5604．若SKIPIF1<0的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则SKIPIF1<0的展开式中的常数项为（

）A．6 B．8 C．28 D．565．若SKIPIF1<0的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项6．二项式SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0项的二项式系数为（

）A．84 B．56 C．35 D．21二、填空题7．若SKIPIF1<0展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为.8．若SKIPIF1<0的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中SKIPIF1<0的系数为.9．SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的二项式系数为.10．SKIPIF1<0的展开式中二项式系数最大的项是.11．已知SKIPIF1<0的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含SKIPIF1<0的系数为.12．已知SKIPIF1<0的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则SKIPIF1<0.题型三二项展开式中各项系数的和问题策略方法常用赋值法，参考题型六【典例1】（单选题）已知SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数之和为256，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．6 D．8【题型训练】一、单选题1．若SKIPIF1<0的展开式中常数项等于SKIPIF1<0，则其展开式各项系数之和为（

）A．1 B．32 C．0 D．642．已知SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（

）A．－756 B．756 C．－2268 D．22683．已知SKIPIF1<0的展开式中各项系数之和为0，则展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．28 B．-28 C．45 D．-454．已知SKIPIF1<0的二项展开式中，第SKIPIF1<0项与第SKIPIF1<0项的系数相等，则所有项的系数之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题5．已知SKIPIF1<0的展开式中，各项系数之和为SKIPIF1<0，则二项式系数之和为.6．在SKIPIF1<0的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为．7．已知SKIPIF1<0的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为．8．已知SKIPIF1<0的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中SKIPIF1<0的系数为．9．在SKIPIF1<0的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为SKIPIF1<0，则二项展开式中的常数项为.10．在SKIPIF1<0的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为．题型四三项展开式的问题策略方法求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．【典例1】（单选题）SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为（

）A．80 B．60 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．SKIPIF1<0的展开式共（

）A．10项 B．15项 C．20项 D．21项2．在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数是（

）A．24 B．32 C．36 D．403．SKIPIF1<0的展开式中的常数项为（

）A．588 B．589 C．798 D．7994．SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为（

）A．SKIPIF1<0 B．60 C．SKIPIF1<0 D．305．已知SKIPIF1<0展开式的各项系数之和为SKIPIF1<0，则展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．270 B．SKIPIF1<0 C．330 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为12，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题8．SKIPIF1<0展开式中，SKIPIF1<0项的系数为.9．在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为．10．SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0的项的系数为．11．SKIPIF1<0展开式中常数项是.（答案用数字作答）12．已知二项式SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．13．在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0项的系数为.题型五两个二项式乘积展开式的系数策略方法求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．【典例1】（单选题）SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的系数为（

）A．10 B．12 C．4 D．5【题型训练】一、单选题1．SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为（

）A．200 B．40 C．120 D．802．SKIPIF1<0的展开式中各项系数之和为SKIPIF1<0，则该展开式中常数项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为48，则实数SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<04．SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的系数为（

）A．1872 B．792 C．495 D．SKIPIF1<05．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数为n，则SKIPIF1<0展开式中的常数项为（

）A．12 B．SKIPIF1<0 C．8 D．106．已知SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为80，则a的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．27．SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．18 B．135 C．540 D．12158．SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题9．在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为．10．在SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的系数是.11．已知SKIPIF1<0的展开式中的常数项为240，则SKIPIF1<0．12．已知SKIPIF1<0的展开式中的常数项为240，则展开式中SKIPIF1<0项的系数为.13．已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）的展开式中各项系数之和为SKIPIF1<0，则展开式中SKIPIF1<0的系数为．14．SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数是.15．在SKIPIF1<0的展开式中，系数最大的项为.题型六赋值法策略方法赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．③求值，根据题意，得出指定项的系数和．【典例1】（单选题）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．41 B．40 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．41 B．40 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．513 C．512 D．5113．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．-1 C．15 D．-154．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．257 B．129 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0