新高考数学一轮复习讲义 第53讲 事件的独立性、条件概率和全概率公式（含解析）

第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、知识点梳理一、知识点梳理一、条件概率1.定义：一般地，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个事件，且SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为在事件SKIPIF1<0发生的条件下，事件SKIPIF1<0发生的条件概率．注：（1）条件概率SKIPIF1<0中“SKIPIF1<0”后面就是条件；（2）若SKIPIF1<0，表示条件SKIPIF1<0不可能发生，此时用条件概率公式计算SKIPIF1<0就没有意义了，所以条件概率计算必须在SKIPIF1<0的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在SKIPIF1<0和1之间，即SKIPIF1<0．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为SKIPIF1<0．（3）如果SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互斥，则SKIPIF1<0．注：已知SKIPIF1<0发生，在此条件下SKIPIF1<0发生，相当于SKIPIF1<0发生，要求SKIPIF1<0，相当于把SKIPIF1<0看作新的基本事件空间计算SKIPIF1<0发生的概率，即SKIPIF1<0．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，则意味着事件SKIPIF1<0的发生不影响事件SKIPIF1<0发生的概率．设SKIPIF1<0，根据条件概率的计算公式，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．由此我们可得：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个事件，若SKIPIF1<0，则称事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相独立，那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到SKIPIF1<0个事件的相互独立性，即若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0相互独立，则这SKIPIF1<0个事件同时发生的概率SKIPIF1<0．2.事件的独立性（1）事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立的充要条件是SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0独立的充要条件是SKIPIF1<0．（3）如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0独立，则SKIPIF1<0成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）SKIPIF1<0；（2）定理SKIPIF1<0若样本空间SKIPIF1<0中的事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0满足：①任意两个事件均互斥，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则对SKIPIF1<0中的任意事件SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．2.贝叶斯公式（1）一般地，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0（2）定理SKIPIF1<0若样本空间SKIPIF1<0中的事件SKIPIF1<0满足：①任意两个事件均互斥，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则对SKIPIF1<0中的任意概率非零的事件SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0注：贝叶斯公式体现了SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的关系，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一事件的相互独立性策略方法1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互独立⇔SKIPIF1<0．（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当SKIPIF1<0时，可用SKIPIF1<0判断．2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件之间是相互独立的．（2）求出每个事件的概率，再求积．注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．【典例1】（单选题）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项.【详解】由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以甲与丁相互独立．故选：B【典例2】（单选题）如图，三个元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正常工作的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由对立事件的概率性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0至少有一个正常工作的概率为SKIPIF1<0，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．【详解】记SKIPIF1<0正常工作为事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正常工作为事件SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0正常工作为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；电路不发生故障，即SKIPIF1<0正常工作且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0至少有一个正常工作，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不发生故障即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0至少有一个正常工作的概率SKIPIF1<0，所以整个电路不发生故障的概率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D【题型训练】一、单选题1．从甲口袋内摸出一个白球的概率是SKIPIF1<0，从乙口袋内摸出一个白球的概率是SKIPIF1<0，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为SKIPIF1<0的事件是（

）A．两个都不是白球 B．两个不全是白球C．两个都是白球 D．两个球中恰好有一个白球【答案】B【分析】由条件可直接求出两个球全是白球的概率为SKIPIF1<0，从而得到两个球不全是白球的概率为SKIPIF1<0，由此得出结论.【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是SKIPIF1<0，从乙口袋内摸出一个白球的概率是SKIPIF1<0，故两个球全是白球的概率为SKIPIF1<0，故两个球不全是白球的概率为SKIPIF1<0，故选：B.2．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为SKIPIF1<0，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】甲战胜乙包含两种情况：①甲连胜2局，②前两局甲一胜一负，第三局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲战胜乙的概率．【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：甲连胜2局，概率为SKIPIF1<0，前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为SKIPIF1<0，则甲战胜乙的概率为SKIPIF1<0．故选：D．3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．【详解】依题意可得P(甲)SKIPIF1<0，P(乙)SKIPIF1<0，两次取出的球的数字之和为8，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共5种情况，则P(丙)SKIPIF1<0，两次取出的球的数字之和为7，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共6种情况，则P(丁)SKIPIF1<0，对于A，P(甲丙)SKIPIF1<0P(甲)·P(丙)，A错误；对于B，P(甲丁)SKIPIF1<0P(甲)·P(丁)，B正确；对于C，P(乙丙)SKIPIF1<0P(乙)·P(丙)，C错误；对于D，P(丙丁)SKIPIF1<0P(丙)·P(丁)，D错误．故选：B．4．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互斥 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互对立C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据已知条件求出概率，结合互斥事件，相互独立及概率的乘法公式进行计算即可.【详解】依题得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对A，SKIPIF1<0有共同的样本点2,3，所以不互斥，A错误；对B，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共同的样本点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B错误；对C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则C错误；对D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D正确.故选：D5．现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则（

）A．乙与丙相互独立 B．乙与丁相互独立C．甲与丙相互独立 D．甲与乙相互独立【答案】D【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意得，事件甲的概率SKIPIF1<0，事件乙的概率SKIPIF1<0，有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是SKIPIF1<0，显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为SKIPIF1<0，则事件丙的概率SKIPIF1<0，所以事件丁的概率SKIPIF1<0，对于A中，事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为SKIPIF1<0，其概率SKIPIF1<0，所以乙与丙不相互独立，所以A错误；对于B中，事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为SKIPIF1<0，其概率SKIPIF1<0，所以乙与丁不相互独立，所以B错误；对于C中，事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为SKIPIF1<0，其概率SKIPIF1<0，所以甲与丙不相互独立，所以C错误；对于D中，事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为SKIPIF1<0，其概率SKIPIF1<0，所以甲与乙相互独立，D正确．故选：D．6．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（

）①A与C互斥

②B与D对立

③A与D相互独立

④B与C相互独立A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐一判断即可.【详解】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A与C互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B与D同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以A与D不相互独立，所以本序号说法不正确；④：SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以B与C相互独立，所以本序号说法正确，故选：B7．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是SKIPIF1<0，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是SKIPIF1<0，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】可分类分别求出甲班在第一阶段获胜的局数对应的概率，最后各种情况概率相加即可求解.【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为SKIPIF1<0，则甲班经过SKIPIF1<0局比赛获胜的概率SKIPIF1<0．（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为SKIPIF1<0，则甲班经过SKIPIF1<0局比赛获胜的概率SKIPIF1<0．（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为SKIPIF1<0，则甲班经过SKIPIF1<0局比赛获胜的概率SKIPIF1<0．（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为SKIPIF1<0，则甲班经过SKIPIF1<0局比赛获胜的概率SKIPIF1<0．所以所求概率SKIPIF1<0，故A项正确.故选：A.8．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用SKIPIF1<0表示红色骰子的点数，SKIPIF1<0表示绿色骰子的点数，设事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0为奇数”，事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，则下列结论正确的是（

）A．A与SKIPIF1<0对立 B．SKIPIF1<0C．A与SKIPIF1<0相互独立 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立【答案】C【分析】对于A：根据对立事件概念分析判断；对于B：事件的运算结合古典概型运算求解；对于CD：根据古典概型结合独立事件的概念分析判断.【详解】由题意可知：SKIPIF1<0，对于选项A：事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0为奇数”，例如SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不为奇数，即A事件和SKIPIF1<0事件可以同时不发生，所以A事件与SKIPIF1<0事件不对立，故A错误；对于选项B：样本空间共SKIPIF1<0个样本点，且SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个样本点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个样本点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个样本点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B错误；对于选项C：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相互独立，故D错误；对于选项D：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，故C正确．故选：C．二、多选题9．甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为SKIPIF1<0的三个号签；乙袋有编号为SKIPIF1<0的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．事件SKIPIF1<0与事件C相互独立D．事件A与事件D相互独立【答案】ABD【分析】利用相互独立事件的定义及概率乘法公式判断A,C,D选项，根据古典概型判断B选项.【详解】对于A:A,B相互独立,SKIPIF1<0,A正确；对于B：基本事件共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<018种，事件C包括SKIPIF1<02种情况,SKIPIF1<0,B正确；对于C:由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0相互不独立，C错误；对于D:由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0相互独立，D正确；故选：ABD.10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“SKIPIF1<0”，B=“SKIPIF1<0为奇数”，C=“SKIPIF1<0”，则下列结论正确的是（

）A．事件A与B互斥B．事件A与B是对立事件C．事件B与C相互独立D．事件A与C相互独立【答案】AD【分析】根据题意，利用列举法，结合互斥事件、对立事件的概念，可判定A正确，B不正确；再由相互独立事件的判定方法，可判定C不正确，D正确.【详解】抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“SKIPIF1<0”，B=“SKIPIF1<0为奇数”，C=“SKIPIF1<0”，对于A中，事件SKIPIF1<0包含的基本事件为SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0包含的基本事件为SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不能同时发生，所以事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为互斥事件，所以A正确；对于B中，事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以B错误；对于C中，事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相互独立，所以C错误；对于D中，由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0，所以事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，所以D正确.故选：AD.11．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（）A．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件;B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为SKIPIF1<0，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为SKIPIF1<0C．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为SKIPIF1<0D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为SKIPIF1<0，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】应用对立事件的定义判断A，密码被破解的对立事件是三个人同时没有破译密码，由此求出密码被破译的概率判断B，从每袋中各任取一个球，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求出取到相同球的概率判断C，利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式列方程，求SKIPIF1<0判断D.【详解】对于A，袋子中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A正确；对于B，密码被破译的概率为SKIPIF1<0，故B错误；对于C，设从甲袋中取到白球为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从乙袋中取到白球为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故取到同色球的概率为SKIPIF1<0，故C正确；对于D，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确，故选：ACD.12．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0为奇数”，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立【答案】ACD【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断AB，根据相互独立事件的定义结合概率的求法判断CD.【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，则基本事件总数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共36种情形，满足事件SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0，共4种情形，其概率SKIPIF1<0，故A正确；满足事件SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0，共2种情形，其概率SKIPIF1<0，B不正确；满足事件SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共18种情形，其概率SKIPIF1<0，满足事件SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0共2种情形，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，C正确；满足事件SKIPIF1<0的只有SKIPIF1<0一种情形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，D正确.故选：ACD.三、填空题13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0人进行射击比赛，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一次射击命中SKIPIF1<0环的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若他们每人射击一次，则至少有SKIPIF1<0人命中SKIPIF1<0环的概率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据独立事件的乘法公式直接求解.【详解】SKIPIF1<0人中至少有SKIPIF1<0人命中SKIPIF1<0环即SKIPIF1<0人命中SKIPIF1<0环或SKIPIF1<0人命中SKIPIF1<0环，故所求概率SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.14．若SKIPIF1<0两个事件相互独立，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据对立事件的概率公式，即可得答案.【详解】由于SKIPIF1<0两个事件相互独立，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<015．某公司招新面试中有3道难度相当的题目，小明答对每道题目的概率都是0.7.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，则小明最终通过面试的概率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据独立事件概率乘法公式可求得无法通过面试的概率，根据对立事件概率的求法可求得结果.【详解】SKIPIF1<0小明无法通过面试的概率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0小明最终通过面试的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.16．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为SKIPIF1<0，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加SKIPIF1<0，反之降低SKIPIF1<0．则独孤队不超过四局获胜的概率为．【答案】0.236【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设SKIPIF1<0SKIPIF1<0为独孤队第SKIPIF1<0局取胜，由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以独孤队取胜的概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<017．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据互斥事件、独立事件的概率公式求解即可.【详解】记“这名同学答对第SKIPIF1<0个问题”为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这名同学得300分包括两种情况，一是答对第一和第三两个题目，二是答对第二和第三两个题目，这两种情况是互斥的，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<018．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.①A与C互斥

②B与D对立

③A与D相互独立

④B与C相互独立则上述说法中正确的为.【答案】①④【分析】列举出所有可能组合，根据各事件的描述列出对应的组合，结合互斥、对立、独立事件的定义或性质判断事件间的关系即可.【详解】若SKIPIF1<0表示(红,蓝)的点数组合，则所有可能组合有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.事件A的组合有SKIPIF1<0，共4种；事件B的组合有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共18种；事件C的组合有SKIPIF1<0，共6种；事件D的组合有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共27种；事件SKIPIF1<0的组合有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；事件SKIPIF1<0的组合有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0；综上，A与C互斥，B与D不对立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.A与D不相互独立、B与C相互独立.故答案为：①④四、解答题19．为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为SKIPIF1<0，乙教师晋级决赛的概率为SKIPIF1<0.若甲､乙能进入决赛，在决赛中甲､乙两人能胜出的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.假设甲､乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.(1)若甲､乙有且只有一人能晋级决赛的概率为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)在（1）的条件下，求甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可分别计算甲、乙赢得比赛的概率，可得到结论；（2）根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】（1）设事件SKIPIF1<0表示“甲在初赛中晋级”，事件SKIPIF1<0表示“乙在初赛中晋级”，由题意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）设事件SKIPIF1<0为“甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，SKIPIF1<0为“甲能参加市级比赛”，SKIPIF1<0为“乙能参加市级比赛”，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.20．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且各轮问题能否回答正确互不影响．求：(1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；(2)该选手至多进入第二轮考核的概率．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得.（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得.【详解】（1）记“该选手正确回答第SKIPIF1<0轮问题”为事件SKIPIF1<0，则事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互独立，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰，所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为SKIPIF1<0.（2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互斥.所以该选手至多进入第二轮考核的概率为SKIPIF1<0.21．甲、乙两位同学参加某项知识竞赛，比赛共有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为SKIPIF1<0，乙同学答对每道题的概率都为SKIPIF1<0，且在比赛中每人各题答题结果互不影响．已知同一道题甲、乙至少一人答对的概率为SKIPIF1<0，两人都答对的概率为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)求本次知识竞赛甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率．【答案】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据设SKIPIF1<0“甲同学答对该题”，SKIPIF1<0“乙甲同学答对该题”，再根据所给概率列式求解即可；（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得所求概率为SKIPIF1<0，再分别计算求和即可.【详解】（1）设SKIPIF1<0“甲同学答对该题”，SKIPIF1<0“乙甲同学答对该题”，则SKIPIF1<0．由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得，所求概率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．22．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为SKIPIF1<0，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求小红不能正确解答本题的概率；(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.【详解】（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，所以小红不能正确解答本题的概率是SKIPIF1<0．（3）记事件SKIPIF1<0为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为SKIPIF1<0．23．在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为SKIPIF1<0，乙每次中靶的概率为SKIPIF1<0，每次射击结果相互独立．(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率；(2)求第n次射击的人是乙的概率．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据题意，把3次射击后甲得20分的情况，第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶和第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，结合相互独立的概率乘法公式，即可求解；（2）设“第n次射击的人是乙”为事件SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0为等比数列，得到数列的通项公式SKIPIF1<0，即可求解.【详解】（1）解：由题意，3次射击后甲得20分的情况有以下两种：第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶，其概率SKIPIF1<0；第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，其概率SKIPIF1<0．所以3次射击后甲得20分的概率SKIPIF1<0．（2）解：设“第n次射击的人是乙”为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故第n次射击的人是乙的概率为SKIPIF1<0．题型二条件概率策略方法1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．2.求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得SKIPIF1<0，这是求条件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得SKIPIF1<0.【典例1】（单选题）连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设第一次出现奇数为事件SKIPIF1<0，3次出现的点数之积为偶数为事件SKIPIF1<0，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】设第一次出现奇数为事件SKIPIF1<0，3次出现的点数之积为偶数为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%【答案】A【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.【详解】记感染新冠病毒为事件SKIPIF1<0,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：A2．某高铁动车检修基地库房内有SKIPIF1<0共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车SKIPIF1<0、高铁SKIPIF1<0共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车SKIPIF1<0停放在SKIPIF1<0道的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据条件概型以及排列数的计算求得正确答案.【详解】记SKIPIF1<0“两动车相邻”，SKIPIF1<0“动车SKIPIF1<0停在SKIPIF1<0道”，则SKIPIF1<0.故选：C3．有首歌道“大理三月好风光，蝴蝶泉边好梳妆”，近年来大理州一直致力开发旅游事业，吸引着大批的游客前往大理旅游.现有甲、乙两位游客慕名来到大理，准备从苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五个景点中随机选择一个景点游玩，记事件SKIPIF1<0为“甲和乙至少一人选择蝴蝶泉”，事件SKIPIF1<0为“甲和乙选择的景点不同”，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】使用列举法，利用古典概型和条件概率公式可得.【详解】分别记景点苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉分别为a，b，c，d，e.则事件A包含的样本点有SKIPIF1<0，共9种情况，其中“甲和乙选择的景点不同”有SKIPIF1<0，共8种情况，所以SKIPIF1<0.故选：B4．小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4”为事件B，根据古典概型公式求出SKIPIF1<0的值，进而根据条件概率公式求解即可得出答案.【详解】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，包含27种情况，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4”为事件B，包含11种情况.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：B.5．2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有SKIPIF1<0的人喜欢吃肠旺面，有SKIPIF1<0的人喜欢吃丝娃娃，还有SKIPIF1<0的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设出事件，求出既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃的概率，从而利用条件概率公式求出答案.【详解】设喜欢吃肠旺面设为SKIPIF1<0事件，喜欢吃丝娃娃设为SKIPIF1<0事件，喜欢肠旺面或丝娃娃为事件SKIPIF1<0，既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃为SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，因此由条件概率的公式得SKIPIF1<0.故选：B.6．箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，已知其中一人摸到的是白球，则另外一人摸到的也是白球的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，设事件SKIPIF1<0为“其中一人摸到的是白球”，事件SKIPIF1<0为“另一人摸到的是白球”因为两人先后从中有放回地随机摸取1个球，可得SKIPIF1<0，所以所求概率为SKIPIF1<0.故选：A.7．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用全概率公式进行求解.【详解】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.由题意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以两次都取到红球的概率为SKIPIF1<0.故选：C.8．一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】运用分类加法与分步乘法分别求得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，再结合条件概率的公式计算即可.【详解】由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.9．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用古典概率求出事件SKIPIF1<0的概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有SKIPIF