新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题12 数列通项及数列前n项和求法（原卷版）

第第④SKIPIF1<02、分组转化法求和（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．（2）常见类型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，SKIPIF1<0．4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.一、已知Sn求an的三个步骤（1）利用a1＝S1求出a1.（2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．【典例1】已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．20B．19C．18D．17【典例2】已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、累加法求通项公式形如SKIPIF1<0型的递推数列（其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数）可构造：SKIPIF1<0【典例1】若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．【典例2】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【典例3】若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．三、累乘法求通项公式形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推数列（其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数）可构造：SKIPIF1<0【典例1】若SKIPIF1<0，则通项公式SKIPIF1<0.【典例2】在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.四、形如SKIPIF1<0的构造法形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的递推式，可构造SKIPIF1<0，转化为等比数列求解．也可以与类比式SKIPIF1<0作差，由SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0为等比数列，然后利用叠加法求通项．【典例1】若数列SKIPIF1<0满足，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【典例2】已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0），则数列SKIPIF1<0的通项公式为．【典例3】已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.五、形如SKIPIF1<0的构造法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的递推式，当SKIPIF1<0时，两边同除以SKIPIF1<0转化为关于SKIPIF1<0的等差数列；当SKIPIF1<0时，两边人可以同除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，转化为SKIPIF1<0．【典例1】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【典例2】设数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式．六、形如SKIPIF1<0的构造法通过配凑转化为SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0【典例1】已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式．【典例2】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；【典例3】设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.七、取倒数法求通项对于SKIPIF1<0，取倒数得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0是等差数列；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可用待定系数法求解．【典例1】已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】在数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为．八、裂项相消法求数列的前n项和1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．97B．98C．99D．100【典例3】设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证数列SKIPIF1<0为等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．（2）若数列SKIPIF1<0的前m项和SKIPIF1<0，求m的值，九、错位相减法求数列的前n项和1、解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令SKIPIF1<0，可以用错位相减法．SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．整理得：SKIPIF1<0．【典例1】设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列.（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【典例2】记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【典例3】已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0.（1）证明数列SKIPIF1<0是等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.易错点1由SKIPIF1<0求SKIPIF1<0时忽略对“SKIPIF1<0”检验点拨：在数列问题中，数列的通项SKIPIF1<0与其前n项和SKIPIF1<0之间关系如下SKIPIF1<0，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛SKIPIF1<0｝的SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系时，先令SKIPIF1<0求出首项SKIPIF1<0，然后令SKIPIF1<0求出通项SKIPIF1<0，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令SKIPIF1<0求出通项SKIPIF1<0，也不对SKIPIF1<0进行检验。【典例1】已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【典例3】已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0