2025届高三天枢杯第二届线上联考数学试题

第二次天枢杯线上联考一试数学本试卷共5页，20题．全卷满分150分，考试用时120分钟，注意事项：1．填空题，主观题请自备答题纸．并将答案提交到对应的答题区．请保持字迹工整．笔记清晰．字迹不清，提交错误的作答视为无效．2．考试期间，请考生独立作答，禁止考生查网书籍、使用计算器等辅助工具、或在考试期间与他人交流．试卷在考试期间禁止外传，考试结束后可以外传，但最好留下作者名称skyhgzsh．3．请使用高中课内知识答题，课外“超钢”知识请在答题纸上给出相应定理的证明，如果题目中不涉及复数的相关内容，则默认范围为实数．自然数默认包含，正整数用表示，不建议使用如“趋近于，足够大”等模棚性词语4．考试结束后．请在规定时间内以雨课堂或QQ私信（QQ：10691923）的途径，将答题纸以电子版，照片或扫描的方式在府课章的相应位置处提交，未在规定时间内发送的卷子视为未提交，不计人成绩．5．本比赛的最终解释权归作者所有．考试期间如对试卷内容等方面有问题，请先通读试题内容，如仍有疑间，请私信作者．6．题目顺序不代表难度，部分题目可能难度较高！7．已知：若均为非负实数，则．取等当且仅当一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（）A．，，，B．C．D．或2．设复数，．那么如下说法中错误的是（）A． B．在第二象限C．若，那么 D．3．称数列和“同增减”，如果，那么以下说法中正确的是（）A．两个单调递增数列和是同增减的B．和任意数列有和同增减C．和任意数列有和同增减D．和任意正数数列有和同增减4．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心5．已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（）A．设是半焦距到的其中一个焦点的距离），那么必然有B．到直线的距离不是定值C．和没有交点D．三角形面积的取值范围是6．如下图所示，边长为的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构．和等部分金属就属于这种结构．若将原子认为是如此分布的等大实心球，使得最近的两个原子球恰好相切，那么一个边长为的面心立方正方体品格内被原子球所占据的部分的体积是（）A． B． C． D．7．仍然考虑上面的图形，若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（）A．3 B．6 C．9 D．128．已知：，，，那么三者的关系是（）A． B． C． D．9．不是方程的解的选项是（）A． B． C． D．10．我们称两个正整数和互素，当且仅当和的最大公因数是1，我们定义是小于：的正整数中和互素的数的个数，例如．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么以下说法错误的是（）A．有无限多个正整数使 B．有无限多个正整数使C．的解只有1和2 D．对于任意正整数，都有使得二、填空题：本题共5小题．每小题6分，共30分11．定义．那么在上的取值范围是______．12．已知在平面上和单位圆交于那么的可能取值是函数的定义见上）______．13．若，的解从小到大排成那么若．则的整数部分是______．14．已知三角形中是直角，，若当变化时的最小值是．那么的可能取值是______．15．定义，那么以下说法正确的有（填序号）______．A．B．除了以外，都是奇数C．对于任章的n，D．以，，为三边的三角形是直角三角形三、解答题：本题共5小题共80分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．16．（13分）信息熵描述了一个事情的不确定度，或者说我知道某个信息所减少的不确定度．此处“度”代表我们可以度量不同的信息中“信息”的含量多少，熵的概念在信息学和通信领城用处颇多，若有一系列基本事件，以作为随机变量，则这些事件可以分别认为是，．则对于这些基本事件的总体的熵，我们用公式计算．（1）求抛一面质地均匀的六面骰子的熵（2）假设一枚硬币，其抛出正面的概率是，请计算当取值为何时其熵最大（3）在上一问中，假设．若想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构建的字符串（如“0”、“11011”、“1010110”传递给，并满足以下条件：·A和B事先商量好个对应法则·A连续3次抛掷该硬币，将这三次的正反面通过对应法则编码成，将发送给B·B可以通过唯一地确定A抛掷的硬币分别在第1，2，3次时的正反面·的长度的期望尽量小．例如，可以直接用每一位的数表示那一次硬币抛掷的结果，如表：正正正111正正反110正反正101反正正011正反反100反正反010反反正001反反反000从而显然无论如何．都有成立．从而请设计一种方案，使得：（a）（b）并证明．（你不需要分别给出方案，的方案自动满足17．（13分）已知一个平行六面体的最长体对角线长度是，证明：该平行六面体的体积．并指出取等条件．18．（17分）我们定义的函数使得在上，证明：当且仅当过程提示（若不按本过程，证明成功亦为满分）：设，，．得到关于，的表达式（提示：，利用递推式得到矛盾，由此证明原命题．19．（17分）已知的两个焦点和两个顶点四点共圆，且和，均相切（1）求的表达式和离心率（2）已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于。设右焦点为，证明是常量，并计算其正切值．20．（20分）设（1）若．求的单调区间，并分析是何种单调．（2）分析的零点数量和的关系．第二次天枢杯线上联考一试数学答案1．C解答A的意思是不存在偶数是哥猜的反例B的意思是两个质数的和作为集合包含了所有大于2的偶数的集合C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空，也就是两个质数的和都是偶数D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数．综上，只有C和哥猜无关，而且C实际上是错的，因为是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾．2．A解答A注意到从而A错误B注意到，，从而设，则，从而在第二象限．B正确．C代入就发现，从而C正确D化简就是，而后者是，从而两个都是有理数，差也是有理数．从而D正确从而答案是A．3．B解答A注意到两个数列都是单调递增的，从而两个差都是正的，它们的积也是正数．A正确B考虑和，注意到其积是—1，和“同增减”矛盾．B正确．C代入就发现积是，从而必然非负．C正确D注意到的时候，反之亦然．从而从而D正确．从而答案是B．4．D解答首先，考虑和分别垂直直线于和，注意到题设等价于，也就是重合，从而，也就是过三角形的垂心．从而答案是D．5．C解答通过带入，注意到，不妨设，，那么，A注意到当的时候，但是，从而A错误B从而直线是，计算，B错误．C注意到，从而有，同理．从而，和没有交点．C正确·D注意到，从而，也就是1取不到，D错误从而答案是C．6．B解答题目创意和部分描述来自《暗杀教室》122话，有改动．由图可得两个原子间最短距离是，从而球半径，带入公式得到一个球的体积是．同时，一个晶体内包含6个半球和8个，也就是4个球，从而总体积是，答案为B．7．A解答我们首先假设正方体的一对对顶点是在和，若将染成色，那么，，三个点必然都是色，而，，必然都是色．如此递推可以恰好染完整个正方体．而当色固定的时候通过旋转就可以得到互换的正方体．从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色．8．C解答先比较和，注意到，，从而再比较和，注意到，而又有．从而只需要证明，这是显然的，因为有常用不等式从而答案是C9．B解答注意到带入可以发现方程是，其中是答案中的选项．从而只有B带入发现符号相反，从而答案是B．10．D解答A是因为对于任意的奇质数，有B是因为对于任意的正整数，有C是因为当的时候1和都和互素，从而至少是2D错误是因为是无解的．因为显然对于任意的．若和互素则也和互素，反之亦然．而当为偶数时自己和自己对应的和不互质．而的时候．从而该方程无解．综上，D选项是错误的，从而选D二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分．11．（0，1）解答求导发现，而因为，从而分子为负，必然单调减少．又因为它连续，所以只需要算端点取值即可，右侧，从而是左开0，极大值注意到以下放缩，从而，也就是其取不到1但是可以无限接近．从而是右开1，从而范围是12．1解答显然，注意到从而，．又因为可以证明这个交点满足，从而，，从而13．101解答首先，解就是解并且，从而可以得到，结合可得从而，取对数后就是注意到从而我们要证明我们把左边放大到并证明其小于，注意到，而（也可以是）从而命题成立．也是整数部分是101．14．解答题目创意来自AntonioCaminhaMunizNeto的“AnExcursionthroughElementaryMathematics，VolumeII’”的第275页，有改动．设，，那么从而设，那么有从而，因为，，从而，，而也就是，解出，也就是，带入得到．因为取正，从而，此时注意到仍然能取到，从而答案就是．15．BCD解答本题创意来自第15届大学生数学竞赛初赛A卷第六大题和OEIS的数列A000058A就是计算：，，，．所以A错误B注意到显然都是整数，从而必然是偶数，从而+1必然是奇数，B正确C首先可以注意到，从而，，从而，从而可以证明，C正确．D注意到，从而命题成立从而答案是BCD．三、解答题：本题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．16．解答第一问：因为六个面，每个面的概率都是，从而第二问：注意到，记录其为，从而，，从而有下表———0 1从而时熵最大．第三问：（a），我们的思路是尽量让更可能的事件用更短的表示．从而考虑在例子的基础上作如下替换：11代表三面正，100代表正正反，0001代表正反反，0000代表三面反．从而有的概率是，有的概率是．计算可得．从而方案满足要求．（b），我们直接给出编码：正正正1正正反011正反正010反正正001正反反00011反正反00010反反正00001反反反00000计算可得从而方案满足要求．17．解答首先，设三个边是，那么对于任意的体对角线，，，从而可以设和反向、和反向，和反向．则四个体对角线的平方和就是的对应部分）+的对应部分）注意到实际上等于0（因为正负相消），从而其他两个对应部分也是0，四个体对角线的平方和就是因为是最长的，从而其不小于平均值（取等条件是四个都相等，也就是每个角都是直角，也就是它是长方体），从而而此时注意到，不妨设是对应的平面，是对应的高．那么（取等条件是）而本身作为垂线高，也有（取等条件是和平面垂直，也就是，，，从而注意到，从而（此处三边相等的时候取等）取等条件是该平行六面体就是立方体．18．解答本题源自《数学天书中的证明》第五版首先，显然，，．注意到，从而也就是．因为，．若，其中是大于1的奇数递归初始有不是的倍数．若，不是的倍数，那么不是的倍数，而是．从而也不是的倍数．从而总不是的倍数，从而总不是的倍数．若（其中是整数），那么，从而．但是不是的倍数，从而不是整数，更不可能是1，矛盾若，，定义而初始有是奇数若是奇数，那么是偶数和奇数的和，从而是奇数从而当时总是奇数．如上，类似地有，但是是奇数除以偶数，从而必然不是整数，矛盾．综上，命题成立．19．第一问：首先，注意到焦点和长轴顶点贡献，从而不会共圆．从而焦点和短轴顶点共圆．因为焦点到短轴顶点的距离就是，结合对角互补，可得它们实际上构成了一个正方形，从而，也就是，从而，代入，也就是恰好有一个解，也就是，．也就是，．第二问：设从而斜率必然存在且非0，设切线代入得到因为在上，从而，从而．因为解只有，从而第二个因素的解也是，也就会，或者说是，从而，也就是联立和，解出，同理有从而，，，，注意到因为，从而．从而写出所求角度的正切值表达式．（1）（2）（3）（4）先处理分子： 再处理分母： 当时候注意到能解出，此时和重合，与它们只有交点相矛盾．而不可能是0．从而，又注意到通过画图可知该角度在变化的时候恒为锐角，从而其是定角．20．解答第一问：在本问中．注意到，从而的正负只和有关，从而可作出下表： +0—0+从而的单调递增区间是，单调递减区间是．第二问：时注意到恒成立，从而没有零点．时，注意到所求可以化为的解的数量．而此时若设，，则，从而可以作下图： 0+++0——0 001——0+++00当时，注意到，注意到，从而单调递增，零点