四川省雅安市2023-2024学年高三三诊数学（文）试题（解析版）

雅安市高2021级第三次诊断性考试数学（文科）试题（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，再根据补集的运算，即可求得答案.【详解】由题意得，则，故选：B．2.已知复数，则（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：D3.已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的几何意义及坐标运算求解投影即可.【详解】因为向量，所以向量在向量方向上的投影是.故选：C.4.从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出组成无重复的三位数的个数，再求出是偶数的三位数的个数，根据古典概型求出概率即可.【详解】因为由1，2，3组成没有重复数字的三位数的个数为；，由1，2，3组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为：，所以由1，2，3组成没有重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为.故选：D5.在等差数列中，若，则（）A.21 B.24 C.27 D.29【答案】A【解析】【分析】由等差中项的性质、以及等差数列基本量的计算得公差，进一步即可得解.【详解】在等差数列an中，若，即则公差，所以.故选：A.6.已知如图中程序框图的输出结果为1275，则判断框里可填（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量，根据n的取值以及等差数列的知识即可得到判断框内的条件．【详解】模拟程序框图的运行过程，可知：输入，，进入循环体得：，，进入循环体得，，，进入循环体得，，，进入循环体得，由此推出，即，解得：，这说明最后一次执行循环体时，是进入循环体，由得，，由得，退出循环，因此判断框应填写：“”.故选：D.7.已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线经过点2,1，从而可得答案.【详解】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线的通径与轴垂直，所以圆的这条直径与轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的直径的上端点为2,1，即抛物线经过点2,1，则，即.故选：C8.已知函数是偶函数，则实数（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数定义，即可列关系式求解.【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，所以，即，则，解得.故选：B9.如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）中，P，E，F分别是，，AC的中点.则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先证明平面，从而得到P到平面的距离为，再利用四棱锥的体积公式，即可得到答案。【详解】因为，，，所以平面，所以P到平面的距离为，又因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查四棱锥体积的求解，求解时注意先证明线面垂直，找到高，再代入体积公式求得答案，考查空间想象能力和运算求解能力。10.设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】设，根据中点关系得，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得，根据点在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为的方程求解即可.【详解】由题意，，设，则，因为为线段的中点，所以，即，则，因为，所以，即，又在双曲线上，所以，结合整理得，所以，解得或（舍去），由，解得.故选：A11.已知函数，则下列说法中正确的个数是（）①当时，函数有且只有一个零点；②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为；③若函数在上单调递增，则的最小值为；④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，，函数，对于①：，令，即，作出函数和函数的图象，如图，观察图象知，两个函数在上只有一个零点，，当时，，当时，，因此函数与函数的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：为奇函数，则，，即正数的最小值为，②正确；对于③：当时，，由在上单调递增，得，解得，正数有最大值，③错误；对于④：当时，，而在上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得，解得，因此的取值范围是，④错误.综上，共2个正确，故选：B.12.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，作差比较得，令，利用导数判断的单调性得，进而利用函数单调性可得函数值的大小.【详解】因为，所以，当时，f'x<0，故函数在上单调递减，当时，f'x>0，故函数在上单调递增，因为，所以，令，则，即函数在上单调递减，故，即，所以，因为函数在上单调递减，所以，即.故选：D【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤：（1）作差或变形；（2）构造新的函数hx（3）利用导数研究hx（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）将答案填写在答题卡相应的横线上.13.等比数列an中，每项均为正数，且，则______.【答案】4【解析】【分析】根据等比数列性质和对数运算求解即可.【详解】由题意得.故答案为：4.14.已知点的坐标满足条件，则的最大值为__________.【答案】15【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，结合的几何意义计算即可得.【详解】如图所示，画出不等式组表示的可行域，令，则，则为直线的纵截距，由图象可知，直线过点时，截距最大，，解得，即，则.故答案为：.15.已知是奇函数，且当时，，若，则__________.【答案】3【解析】【分析】根据奇函数的性质，并结合指数以及对数的运算性质，代入求值，即可求得答案.【详解】由题意知是奇函数，且当时，，故，则，故答案为：316.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为__________.【答案】【解析】【分析】设，结合条件可求，根据三棱柱有内切球求出此三棱柱的内切球半径，再求外接球的半径，结合球的表面积公式求结论.【详解】设，因为，所以，设的内切圆的半径为，则，即，解得，因为三棱柱有内切球，所以，因为，，所以直三棱柱的外接球的直径就是以为棱的长方体的对角线，其长为，所以三棱锥的内切球的表面积为，三棱锥的外接球的表面积为，所以三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为.故答案为：.三､解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.在△中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．（1）求角；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理将，推导出，由此求出角.（2）由已知条件推导出，从而由余弦定理得出，最后利用基本不等式求出的最小值.【小问1详解】△中，，由正弦定理知，，∵，∴，∴，∴，∴，又∵,∴；【小问2详解】由（1）及得，所以,当且仅当时取等号，所以的最小值为.18.同城配送是随即时物流发展而出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用同城配送服务的主要目的.某同城配送服务公司随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用同城配送服务的次数，得到每月使用同城服务低于5次的有550人，并将每月使用同城配送服务次数不低于5次的消费者按照年龄进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计每月使用同城配送服务不低于5次消费者年龄的平均值和中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组区间的中点值代表）；（2）若年龄在内的人位于年龄段，年龄在内的人位于年龄段II，把每月使用同城配送服务低于5次的消费者称为“使用同城配送服务频率低”，否则称为“使用同城配送服务频率高”，若800名消费者中有400名在年龄段I，补全列联表，并判断是否有的把握认为消费者使用同城配送服务频率的高低与年龄段有关？

年龄段I年龄段II合计使用同城配送服务频率高

使用同城配送服务频率低

合计

参考公式：，其中.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）平均数为33.4，中位数为32.3（2）表格见解析，有的把握认为同城配送服务的使用频率高低与年龄段有关.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中的平均数和中位数求解公式求解即可；（2）根据题目数据完善列联表，计算卡方，与临界值比较即可判断.【小问1详解】每月使用同城配送服务不低于5次的消费者年龄的平均数为设每月使用同城配送服务不低于5的消费者年龄的中位数为，则，解得.【小问2详解】补全的列联表如下：

年龄段I年龄段II合计使用同城配送服务频率高145105250使用同城配送服务频率低255295550合计400400800所以.所以，有的把握认为同城配送服务的使用频率高低与年龄段有关.19.四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）分析题意，利用线面垂直的判定定理求解即可.（2）利用线面垂直找到线面角，放到三角形中求解正弦值即可.【小问1详解】因为为线段的中点，所以，在等腰梯形中，作于，则由得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，平面，所以平面，因为在平面内，所以，因为在平面内，所以平面.【小问2详解】因为，所以，取的中点，连接，则，因为平面，平面PCA，所以，又，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，在正中，，又因为，在中，，所以，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.20.设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线上除外的任意一点，且直线的斜率与直线的斜率之比为3.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，判断是否成等差数列？并说明理由.【答案】（1）（2）成等差数列，理由见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的短轴长为,求出，再由是直线上除(2,0)外的任意一点，且,求出，进而得到椭圆标准方程；（2）①当直线的斜率为时，不妨设，表达斜率，推出结论；②当直线的斜率不为时，设的方程：.联立方程，求出，表达出来斜率，得到结论.【小问1详解】由已知得.设，则，,所以椭圆的方程为.【小问2详解】①当直线的斜率为时，的方程：，不妨设，，所以②当直线的斜率不为0时，如图，设的方程：.由，得.则又，所以.综上，.所以成等差数列.21.已知函数.（1）若函数有极值，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，结合函数单调性与极值的关系即可求解.（2）由已知变形为恒成立，构造函数，分类讨论研究函数的单调性，利用最值列不等式求解即可.【小问1详解】依题意，，令，得，因为，所以当时，在上单调递减；当时，，故在上单调递增；当时，有变号零点，此时函数存在极值；综上.【小问2详解】依题意，由，得，即，设，则，设，则，当时，单调递增；所以在上，，且，当，即时，在上单调递减，则，不符合题意，舍去，当，即时，（i）若，即，，使得，当时，在内单调递减，，不符合题意，舍去，（ii）若，即恒成立，在上单调递增，则，符合题意.综上，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.选做题：请考生在22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将