2025高考数学一轮复习-7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练一、单项选择题1．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是()A．a∥α，b∥β，a⊥bB．α⊥γ，β⊥γC．a∥α，a⊥βD．α∩β＝a，a⊥b，b⊂β2．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PAB3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在()A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部4．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，F是PB上一点，则下列判断错误的是()A．BC⊥平面PACB．AE⊥EFC．AC⊥PBD．平面AEF⊥平面PBC5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列选项不正确的是()A．直线A1B与B1C所成的角为60°B．A1B⊥DB1C．DB1⊥平面ACD1D．B1C⊥B1D6．已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝22，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直二、多项选择题7．已知平面α∩平面β＝l，B，D是l上两点，直线AB⊂α且AB∩l＝B，直线CD⊂β且CD∩l＝D.下列结论中，错误的有()A．若AB⊥l，CD⊥l，且AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形B．若M是AB的中点，N是CD的中点，则MN∥ACC．若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BDD．直线AB，CD所成角的大小与二面角α-l-β的大小相等8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°三、填空题9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)10．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A-BD-C的余弦值为_________．11．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么点P到平面ABC的距离为________.12．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为23，PD⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________．四、解答题13．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．14．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P-BCDE的体积；(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.参考答案1．C[对于A，a∥α，b∥β，a⊥b时，α∥β也可能满足，如图1，故A错误；对于B，α⊥γ，β⊥γ时，α∥β也可能满足，如图2，故B错误；对于C，a∥α，a⊥β时，一定有α⊥β，故C正确；对于D，α∩β＝a，a⊥b，b⊂β时，α⊥β不一定成立，如图3，故D错误．故选C.]2．C[因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.]3．A[由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A.]4．C[对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；对于B，由A选项可知BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF⊂平面PCB，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，由B选项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B选项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正确．故选C.]5．D[正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，∵A1B∥D1C，∴直线D1C与B1C所成的角即为直线A1B与B1C所成的角．又△B1CD1为等边三角形，∴∠D1CB1＝60°，故A正确；∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.∵BD⊂平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.又B1D⊂平面BB1D1D，∴AC⊥DB1.同理AD1⊥DB1，又AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面ACD1，∴DB1⊥D1C.又A1B∥D1C，∴DB1⊥A1B，故B，C正确；设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则DC＝1，B1C＝2，DB1＝3，cos∠CB1D＝22+3故选D.]6．B[矩形在翻折前和翻折后的图形如图1，图2所示．在图1中，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合；在图2中，连接CE.若AC⊥BD，又知BD⊥AE，AE∩AC＝A，所以BD⊥平面ACE，所以BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，A错误；若AB⊥CD，又知AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，B正确；若AD⊥BC，又知DC⊥BC，AD∩DC＝D，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，由已知AB＝2，BC＝22，则BC>AB，所以不存在这样的直角三角形，C错误；由以上可知D错误．故选B.]7．ABD[由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，A错误；取BC的中点H，连接HM，则HM是△ABC的中位线，所以HM∥AC，因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；若AB⊥l，AC⊥l，所以由线面垂直的判定定理可得l⊥平面ABC，所以l⊥BC，由α⊥β结合面面垂直的性质可得BC⊥α，所以点C在平面α内的投影为点B，所以CD在平面α内的射影为BD，C正确；由二面角的定义可得当且仅当AB⊥l，CD⊥l时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，D错误．故选ABD.]8．ABD[如图，连接B1C，BC1，因为DA1∥B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1，因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，B正确；连接A1C1，B1D1，设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B，因为C1O⊥B1D1,B1D1∩B1B＝B1，所以C1O⊥平面BB1D1D，所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，则C1O＝22，BC1＝2，sin∠C1BO＝C1O所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，C错误；因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC＝45°，D正确．故选ABD.]9．DM⊥PC(或BM⊥PC等)[∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]10．－55[过A作AE⊥CB，交CB的延长线于点E，连接DE∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴点E即为点A在平面BCD内的射影，∴△EBD为△ABD在平面BCD内的射影，设AB＝a，则AE＝DE＝ABsin60°＝32a∴AD＝62a，cos∠ABD＝14，∴sin∠ABD＝∴S△ABD＝12a2×154＝15又BE＝12a∴S△BDE＝12×32a×12a设θ为射影面与原面所成的二面角的平面角，∴cosθ＝S△BDES△ABD∵所求的角θ是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-E互补，∴二面角A-BD-C的余弦值为－5511．2[如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO为点P到平面ABC的距离．再过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2−OE212．430°[过点C作CE⊥AB，垂足为点E，延长AD，BC，使得AD∩BC＝F，如图所示．由题意可得CE＝23，BE＝2，则BC＝12+4＝4．即邪田ABCD的邪长BC为4．由题意知AB⊥AD，CD∥AB，所以DFAF＝CDAB＝13，所以DF＝3.因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则∠AFBtan∠AFB＝ABAF＝333＝33，所以∠AFB＝30°.即邪所在直线与平面13．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H.由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1.又AA1＝2，∠ACA1＝90°，所以A1C1＝CA1＝2.法一：由S△CA1C1＝12·CA1·A1C1＝12·A1H·故四棱锥A1-BB1C1C的高为1.法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝12CC1故四棱锥A1-BB1C1C的高为1.14．解：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P-BC