2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一下学期期末调研考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一下学期期末调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设z=1+2i3−4i，则z的虚部为(

)A.−15 B.−15i 2.直线l1，l2互相平行的一个充分条件是A.l1，l2都平行于同一个平面 B.l1，l2与同一个平面所成的角相等

C.l1平行于l2所在的平面3.掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为(

)A.14 B.13 C.164.某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分数据如下：7.5,7.5,7.8,7.8,8.0,8.0,8.2,8.3,8.4,9.9若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是(

)A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差5.已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是(

)A.把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的

平均数

B.把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个

C.把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个

D.把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据6.在半径为r的⊙O中，弦AB的长为2，则AO⋅AB=A.4 B.2 C.1 D.与r有关7.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是(

)

A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:68.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为α，β，γ，则(

)A.cos2α+cos2β+cos2γ=2二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是(

)A.若复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，则a=0，b≠0

B.复数2−i在复平面内对应的点在第二象限

C.若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i

D.若z1=10.已知a=(cosα,sinA.a和b都是单位向量 B.若α=β+π，则a//b

C.若a⊥b，则11.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且cosA=−14,c=3,A.b=2 B.sinB=158

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是

．13.一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=16，则P(AB)=

．14.已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：

(1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；

(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．16.(本小题12分)已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且满足3(1)求A；(2)若b=2,S▵ABC=317.(本小题12分)BMI(身体质量指数)是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：BMI=体重(单位:kg)身高2单位:m2.中国成人的BMI数值参考标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；(2)估计该公司员工的BMI值的众数，中位数；(3)已知样本中60名男员工BMI值的平均数为u1=22.4，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工BMI值的平均数μ18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点．(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求PB与底面ABCD所成角的正切值；(3)设平面PAB∩平面PCD=l，求二面角B−l−C的大小．19.(本小题12分)如图，设Ox,Oy是平面内相交成60∘角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye2，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若(1)求：|OP(2)求OR,(3)若点M在线段AF上运动，设OM=(x,y)，求xy的最大值．

参考答案1.C

2.D

3.D

4.B

5.D

6.B

7.C

8.A

9.AD

10.ABD

11.ABC

12.π

13.1614.3.5或7215.解：(1)设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，

则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，

∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：16.(1)因为3由正弦定理得3在▵ABC中，sinB>0，则3cos而A∈(0,π)，可A=π(2)因b=2,S所以12bcsinA=3所以a=则a=2

17.(1)由题，2×(0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13)=1，解得：a=0.1，由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2×(0.01+0.03)×100%=8%；(2)由频率分布直方图可得，众数为18+202因为2×(0.08+0.13)=0.42<0.5，2×(0.08+0.13+0.1)=0.62>0.5，故中位数在20,22，设为m，则m=20+0.5−0.422×0.1设样本平均数为x，则由频率分布直方图可得；x=2×(17×0.08+19×0.13+21×0.1+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64又x=即60×22.4+40μ2100

18.(1)证明：因为侧面PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD，因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为AM⊂平面PAD，所以AM⊥CD，又PD⋂CD=D，PD、CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD．(2)解：取AD的中点O，连接OP，OB，因为侧面PAD是正三角形，所以OP⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD，所以∠PBO即为PB与底面ABCD所成角，设正方形ABCD的边长为2a，则OP=3a在Rt▵OPB中，tan∠PBO=所以PB与底面ABCD所成角的正切值为15(3)解：因为AB//CD，AB⊂平面PAB，CD⧸⊂平面所以CD//平面PAB，又平面PAB∩平面PCD=l，CD⊂平面PCD，所以CD//l，由(1)知CD⊥平面PAD，所以l⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥l，同理可得PD⊥l，所以∠APD即为二面角B−l−C的平面角，又侧面PAD是正三角形，所以∠APD=π故二面角B−l−C的大小为π3

19.(1)依题意，得e1,e2是所以e1而OP=OP2则OP=(2)因为OA=(3,0),所以OA=3e1所以OP=OA