2025高考数学一轮复习-41.2-直线与椭圆-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-41.2-直线与椭圆-专项训练一、单项选择题1．椭圆x28+y22＝1与直线A．相离 B．相交C．相切 D．无法确定2．在椭圆x29+y24＝1上求一点M，使点M到直线xA．(－3，0) B．−C．−2，−23．已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4，0)，过点F且斜率为1的直线交椭圆于A．x245+y2C．x232+y24．椭圆C：x24+y23＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1A．38，34C．12，15．已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则A．23 B．C．－23 D．－6．直线x－2y＋2＝0经过椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于MA．17+58C．17−527．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200m，且内、外椭圆的离心率均为32，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为－1A．75m B．502mC．50m D．252m8．已知过椭圆C：x2＋y22＝1的上焦点F且斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线y＝2相交于M，N两点．若∠MON为锐角，则直线l的斜率A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．−C．−∞D．(－∞，－1)∪−22，二、多项选择题9．已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆A．直线AB的方程为y＝12(xB．a2＝2b2C．椭圆的标准方程为x2D．椭圆的离心率为210．在平面直角坐标系Oxy中，已知直线l：kx－y－k＝0，椭圆C：x2a2+yA．l恒过点(1，0)B．若l恒过C的焦点，则a2＋b2＝1C．若对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，则a≥1D．若a＜1，则一定存在实数k，使得l与C有且只有一个公共点三、填空题11．过椭圆C：x24+y23＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于12．已知椭圆x22＋y2＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝2x＋m对称，则实数m的取值范四、解答题13．已知动圆与圆C1：(x＋4)2＋y2＝1外切，同时与圆C2：(x－4)2＋y2＝81内切．(1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线；(2)若直线l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线l的最大距离．14．已知椭圆C：x216+y24＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，(1)直线l的方程；(2)△F1AB的面积．参考答案1．B[直线过定点M(1，0)且该定点在椭圆x22．B[如图所示：根据题意可知，当点M在第三象限且椭圆在点M处的切线与直线x＋2y－10＝0平行时，点M到直线x＋2y－10＝0的距离取得最大值，可设切线方程为x＋2y＋m＝0(m＞0)，联立x+2y+m=0消去x整理可得25y2＋16my＋4m2－36＝0，Δ＝162m2－100(4m2－36)＝0，因为m＞0，解得m＝5，所以椭圆x29+y24＝1在点因此，点M到直线x＋2y－10＝0的距离的最大值为5+1012+联立x+2y+5=0可得点M的坐标为−93．D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2，由已知有，x12a作差得x12a则y12−y22x所以a2＝3b2，又c＝4，a2＝b2＋c2＝3b2，解得b2＝8，a2＝24，则E的方程为x2故选D.]4．A[由题意，椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则y02＝344−x02，又由kPA1·kPA2＝y0x0+25．C[将直线方程y＝x＋m与椭圆方程联立y=x+m，x23+y2=1，消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2，设F1到AB的距离为d1，F2到AB距离为d2，易知F1(－2，0)，F2(2，0)，则d1＝−2+m2解得m＝－23或－326．C[对直线x－2y＋2＝0，令y＝0，解得x＝－2，令x＝0，解得y＝1,故F(－2，0)，M(0，1)，则FM＝(2，1)，设A(x0，y0)，则AM＝(－x0，1－y0)，而FM＝3AM，则2=3解得x则A−2又点A在椭圆上，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)，由2a＝|AF|＋|AF′|＝−23+2则a＝5+173，椭圆的离心率e＝ca＝7．B[内、外椭圆的离心率均为32，设内层椭圆的短半轴长为b，e＝ca＝1−b2a2＝32，所以a＝2b，则内层椭圆方程为x24b2+y代入内层椭圆方程可得：x2＋100x＋5000－2b2＝0，可得Δ＝10000－4×(5000－2b2)＝0，解得b2＝1250.所以b＝252.即内层椭圆的短轴长2b＝502m．故选B.]8．D[由题意可知，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C：x2＋y22＝1的上焦点为则直线l的方程为y＝kx＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y=kx+1，x2+y22=1，消去y所以x1＋x2＝−2k2+k2，x1x2由题设知，OA所在的直线方程为y＝y1x因为直线OA与直线y＝2相交于点M，所以M2x同理可得N2x所以OM＝2x1y因为∠MON为锐角，所以OM·所以OM·ON＝4x＝4x＝4×−1＝2k2−1即4k2−2k2−1＞0，解得k2所以－22＜k＜22，或k＞1，或故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪−22，9．ABD[因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2+y2b2＝1，消去y，得a24+b2x2－所以AB中点的横坐标为32a22a24又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝32，离心率为22所以椭圆E的方程为x210．ACD[方程kx－y－k＝0可化为y＝k(x－1)，所以直线l恒过点(1，0)，A正确；设椭圆的半焦距为c(c＞0)，则焦点F的坐标可能为(c，0)或(－c，0)，若直线恒过点(－c，0)，则0＝k(－c－1)，故c＝－1，矛盾，若直线恒过点(c，0)，则0＝k(c－1)，故c＝1，所以a2－b2＝1，B错误；联立x2a2+y2b2=1，y=kx−k，消y可得，(a2k2＋b2)x2－2a2k2由对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，可得方程(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0有2个不相等的实数解，所以Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＞0，所以k2(a2－1)＋b2＞0，所以a≥1，C正确；因为Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＝4a2b2[k2(a2－1)＋b2]，所以a＜1时，则k2＝b21−a2，即可得Δ＝0，此时方程组有且只有一组解，故l与C有且只有一个公共点，D正确．故选ACD.]11．43[由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝3(x由y=3(x+1)，x24+y23=1，得5设A(0，3)，B−8又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝65∴1AF+112．−63，63[∵椭圆x22＋y2＝1，设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝2x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)，则x12x22①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即2x0·(x1－x2)＋2×2y0·(y1－y2)＝0，∴kAB＝y1−y2x∴y0＝x0，代入直线方程y＝2x＋m得x0＝－m，y0＝－m.∵(x0，y0)在椭圆内部，∴m2＋2(－m)2＜2，解得－63＜m＜6即实数m的取值范围是−613．解：(1)设动圆M的半径为r.由动圆M与圆C1外切可知：|MC1|＝r＋1，①由动圆M与圆C2内切可知：|MC2|＝9－r，②则①＋②可得：|MC1|＋|MC2|＝10＞|C1C2|＝8.所以动圆M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(不含顶点(－5，0))．动圆M圆心的轨迹Γ的方程为x225+y(2)设与直线l平行的直线l0：4x－5y＋m＝0(m≠40)．由x225+y29=1，4x−5y+m=0Δ＝(8m)2－4×25×(m2－225)＝0.当Δ＝0，即m＝±25时，直线与椭圆相切．由图形(图略)可知，当m＝－25时，切点P到直线l的距离最大．设最大距离为d，则d＝−25−4042+所以曲线Γ上的点到直线l的最大距离为654114．解：(1)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，因为弦AB被点3，所以x1＋x2＝23，y1＋y2＝3，所以直线l的斜率k＝y1−y2x故直线l的方程为x＋2y－23＝0.(2)法一(常规方法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x+2y−23=0，x216+所以x1＋x2＝23，x1x2＝－2，所以|AB|＝1+−12由椭圆的