2025高考数学一轮复习-第38讲-直线的方程及位置关系-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-第38讲-直线的方程及位置关系-专项训练基础巩固练1.直线x+3y-2=0的倾斜角为()A.π6 B.C.π3 D.2.已知经过P(a,2),Q(-2,1)两点的直线的斜率为1,则a=()A.-3 B.3C.1 D.-13.M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是()A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=04.直线l:kx-y+1-2k=0过的定点是()A.(2,-1) B.(1,-2)C.(2,1) D.(-1,-2)5.(多选题)如图所示,下列四条直线l1,l2,l3,l4的斜率分别是k1,k2,k3,k4,倾斜角分别是α1,α2,α3,α4,则下列关系正确的是()A.k2<k1<k4<k3B.k3<k2<k1<k4C.α2<α1<α4<α3D.α3<α2<α1<α46.(多选题)对于直线l:x=my+1,下列说法错误的是()A.直线l过定点(1,0)B.直线l的斜率必定存在C.当m=2时,直线l与两坐标轴所围成三角形的面积为1D.当m=3时,直线l的倾斜角为60°7.已知直线l的斜率为16,且和坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的方程为.8.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围为.9.已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0.(1)证明直线过定点,并求出定点P的坐标;(2)若直线不经过第二象限,求m的取值范围;(3)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的面积为6,求直线的方程.综合提升练10.直线x·sinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是()A.[0,π) B.0C.0,π4 11.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过的象限为()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12.(2023连云港期中)直线2x+3y-6=0分别交x轴和y轴于A,B两点,P是直线y=-x上的一点,要使|PA|+|PB|的值最小,则点P的坐标是()A.(-1,1) B.(1,-1)C.(0,0) D.113.若正方形一条对角线所在直线的斜率为3,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为,.

14.已知直线l过点M(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点.求:(1)当|MA|·|MB|取最小值时,直线l的方程;(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.创新应用练15.为了绿化城市,准备在如图1所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪,其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°,点Q在AB上,且PQ∥CD,QR⊥CD.经测量,BC=70m,CD=80m,DE=100m,AE=60m.(1)如图2,建立平面直角坐标系,求线段AB所在直线的方程;(2)在(1)的基础上,应如何设计才能使草坪的占地面积最大?确定此时点Q的坐标并求出此最大面积(精确到1m2).图1图2参考答案1.D2.D3.D4.C5.BC6.BD7.x-6y+6=0或x-6y-6=08.(-∞,-1)∪9.解(1)整理直线方程得(3x+y-6)m+3x-y-2=0.由3x+故直线过定点P4(2)由(1)知,直线过定点P43当直线与y轴没有交点时,m-1=0,即m=1,此时直线方程为x=43,符合题意当直线与y轴有交点时,m≠1,求出直线的纵截距,其小于或等于零即可满足题意.令x=0,则(m-1)y-6m-2=0,y=6若直线不经过第二象限,则6m+2m-1≤0,所以m的取值范围为-(3)设直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),由题意得,43a+由①②整理得a2-6a+8=0,解得a=4或a=2,则b=3或b=6,当a=2,b=6时,直线方程为3x+y-6=0,即有3(m+1)m-1=3,且-6∴所求直线的方程为x4+y3=1,即3x+4y-10.B11.C12.C13.12,14.解(1)方法一:如图,设∠BAO=θ,则sinθ=1|MA|,cosθ=2|MB|,∴|MA|·|MB|=2sinθcosθ=4sin2θ,显然当θ=π4时,|MA|·|MB|取得最小值4,此时kl方法二:设A(a,0),B(0,b),则|MA|·|MB|=-MA·MB=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2a+b-5=(2a+b)2a+1b-5=2ba+2ab≥4,当且仅当a=b=3时取等号,∴方法三:若设直线l的方程为y-1=k(x-2),则A2k-1k,0,B(0,1-2k),∴|MA|·|MB|=1k2+1·4+4k2=2-1k+(-k)≥4,当且仅当-k=-1(2)同(1)中方法一可知|MA|=1sinθ,|MB|=∴|MA|2+|MB|2=1=(sin2θ+cos2θ)1=5+cos2θsin2θ+4sin2θcos2θ≥9当且仅当cos∴|MA|2+|MB|2的最小值为9,此时直线的斜率k=-22故所求直线的方程为y-1=-22·(x-2),即2x+2y-2(2+1)=注:本题也可设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)求解.15.解(1)由题意得AO=80-60=20,OB=100-70=30,∴A(0,20),B(30,0),∴线段AB所在直线的方程为x30+y(2)设Q(x,y),由(1)知线段AB的方程为x30+y20=1(0∵RQ=100-x,PQ=80-y,y=201-x30=20-∴草坪的占地