2024-2025新教材高中数学第八章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验素养检测含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE十八列联表与独立性检验(20分钟45分)一、选择题(每小题5分,共25分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)在一次恶劣气候的飞行航程中,调查男女乘客在机上晕机的状况,如下表所示:性别晕机合计晕机不晕机男ab=15a+b女c=6dc+d合计a+c2846则下列说法正确的是 ()附:参考公式:χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d.独立性检验临界值表α0.10.050.01xα2.7063.8416.635A.QUOTE>QUOTEB.χ2<2.706C.在犯错误的概率不大于0.1,推断恶劣气候飞行中,晕机跟男女性别有关D.没有理由认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关【解析】选ABD.由列联表数据,知QUOTE,得QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE>QUOTE=QUOTE,即A正确.性别晕机合计晕机不晕机男121527女61319合计182846所以χ2=QUOTE≈0.775<2.706,即B正确,且没有理由认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关,即D正确.2.支付宝和微信支付已经成为现如今流行的电子支付方式,某市通过随机询问100名居民(男女居民各50名)喜爱支付宝支付还是微信支付,得到如下的2×2列联表:性别支付方式合计支付宝支付微信支付男401050女252550合计6535100附表及公式:χ2=QUOTE,n=a+b+c+d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828则χ2约为 ()A.9.89 B.8 C.0.013 D.0.099【解析】选A.由2×2列联表得到a=40,b=10,c=25,d=25,则代入χ2=QUOTE,得χ2=QUOTE≈9.89.3.某高校为调查毕业学生的就业状况,抽查了100名学生毕业一个月能否就业的状况,得到2×2列联表如下:性别就业合计能就业不能就业男生401050女生302050合计7030100假如该高校认为毕业学生一个月能否找到工作与性别有关,那么犯错误的概率不会超过 ()附:χ2=QUOTEα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.1B.0.05C.0.005D.0.01【解析】选B.由列联表数据可得:χ2=QUOTE≈4.762>3.841=x0.05,故犯错误的概率不会超过0.05.4.在一次独立性检验中,得出列联表如下:A合计B2008001000180a180+a合计380800+a1180+a且最终发觉,两个分类变量A和B没有任何关系,则a的可能值是 ()A.200 B.720 C.100 D.180【解析】选B.由题意χ2=QUOTE,a=200时,χ2=QUOTE≈130.37>3.841,此时两个分类变量A和B有关系,a=720时,χ2=QUOTE=0,此时两个分类变量A和B没有关系.5.有甲、乙两个班级进行数学考试,依据大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成果,得到如表所示的列联表:班级成果合计优秀非优秀甲班10b乙班c30合计105已知在全部105人中随机抽取1人,成果优秀的概率为QUOTE,则下列说法正确的是 ()参考公式:χ2=QUOTE附表:α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828A.列联表中c的值为30,b的值为35B.列联表中c的值为15,b的值为50C.依据列联表中的数据,若按犯错误的概率不大于0.05的要求,能认为“成果与班级有关系”D.依据列联表中的数据,若犯错误的概率不大于0.05要求,不能认为“成果与班级有关系”【解析】选C.由题意知,成果优秀的学生数是105×QUOTE=30,成果非优秀的学生数是105-30=75,所以c=20,b=45,选项A,B错误;依据列联表中的数据,得到χ2=QUOTE≈6.109>3.841=x0.05,因此在犯错误的概率不大于0.05的要求下,认为“成果与班级有关系”,选项C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)6.某医疗机构为了了解肝病与酗酒是否有关,对成年人进行了一次随机抽样调查,调查结果如表:酗酒肝病合计患肝病未患肝病酗酒30170200不酗酒20280300合计50450500从直观上你能得到的结论是,依据最小概率值α=的独立性检验,认为患肝病与酗酒有关.

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】由已知数据可求得χ2=QUOTE≈9.26>7.879=x0.005,所以在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为患肝病与酗酒有关系.答案:患肝病与酗酒有关系0.0057.为了探讨常常运用手机是否对数学学习成果有影响,某校高二数学探讨性学习小组进行了调查,随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成果,并制成下面的2×2列联表:手机成果合计及格不及格很少运用手机20525常常运用手机101525合计302050依据小概率值α的独立性检验认为常常运用手机对数学学习成果有影响犯错误的概率不大于.

参考公式:χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】由题意,可得:χ2=QUOTE=QUOTE≈8.333>7.879=x0.005,依据小概率值α=0.005的独立性检验,认为常常运用手机对数学学习成果有影响犯错误的概率不大于0.005.答案:0.005三、解答题8.(10分)为了推断中学二年级学生选读文科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得如下2×2列联表:性别科类合计理科文科男1124女9合计2850完成该2×2列联表,试依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析选读文科与性别是否有关系?α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】列联表如下性别科类合计理科文科男131124女91726合计222850依据表中数据,经计算得到:χ2=QUOTE≈1.936<3.841=x0.05,依据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分的证据推断H0不成立,因此认为选读文科与性别无关.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.在一个2×2列联表中,由其数据计算得到χ2=13.097,临界值表为:α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.846.6357.87910.828则认为两个变量间有关系犯错误的概率不大于 ()A.0.001 C.0.1 D.0【解析】选A.因为χ2=13.097>10.83=x0.001,所以认为两个变量有关系犯错误的概率不大于0.001.2.在一次调查中,依据所得数据绘制成如图所示的等高条形图,则 ()A.两个分类变量关系较强B.两个分类变量关系较弱C.两个分类变量无关系D.两个分类变量关系难以推断【解析】选A.从等高条形图中可以看出,在x1中y2的比重明显大于x2中y2的比重,所以两个分类变量的关系较强.3.(多选题)某校安排在课外活动中新增攀岩项目,为了解学生喜爱攀岩和性别是否有关,面对学生开展了一次随机调查,其中参与调查的男女生人数相同,并绘制如下等高条形图,则 ()参考公式:χ2=QUOTE,n=a+b+c+d.α0.050.01xα3.8416.635A.参与调查的学生中喜爱攀岩的男生人数比喜爱攀岩的女生人数多B.参与调查的女生中喜爱攀岩的人数比不喜爱攀岩的人数多C.若参与调查的男女生人数均为100人,则认为喜爱攀岩和性别有关犯错误的概率不大于0.01D.无论参与调查的男女生人数为多少,认为喜爱攀岩和性别有关犯错误的概率都不大于0.01【解析】选AC.由题意设参与调查的男女生人数均为m人,则性别攀岩合计喜爱攀岩不喜爱攀岩男生0.8m0.2mm女生0.3m0.7mm合计1.1m0.9m2m所以参与调查的学生中喜爱攀岩的男生人数比喜爱攀岩的女生人数多,A对B错;χ2=QUOTE=QUOTE,当m=100时,χ2=QUOTE=QUOTE≈50.505>6.635,所以当参与调查的男女生人数均为100人,认为喜爱攀岩和性别有关,C对D错.4.针对当下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜爱抖音是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜爱抖音的人数占男生人数的QUOTE,女生喜爱抖音的人数占女生人数的QUOTE,若认为喜爱抖音和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则调查人数中男生可能有人 ()

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附:χ2=QUOTE.A.25或45 B.45C.45或60 D.75或60【解析】选C.设男生的人数为5nQUOTE,依据题意列出2×2列联表如表所示:抖音性别合计男生女生喜爱抖音4n3n7n不喜爱抖音n2n3n合计5n5n10n则χ2=QUOTE=QUOTE,因为认为喜爱抖音和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则3.841≤χ2<6.635,即3.841≤QUOTE<6.635,得8.0661≤n<13.9335,因为n∈N*,则n的可能取值有9,10,11,12,因此,调查人数中男生人数的可能值为45或50或55或60.二、填空题(每小题5分,共10分)5.在西非,“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威逼,为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:疫苗感染合计感染未感染服用104050未服用203050合计3070100附:χ2=QUOTE.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635依据上表,依据小概率值α=的独立性检验,认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.

【解析】由题中数据可得:χ2=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈4.762>3.841=x0.05,所以认为小动物是否感染与服用疫苗有关犯错误的概率不大于0.05.答案:0.056.有两个分类变量X和Y,其中一组观测值为如下的2×2列联表:XY合计y1y2x1a15-a15x220-a30+a50合计204565其中a,15-a均为大于5的整数,则a=时,认为变量X与Y有关犯错误的概率不大于0.01.

附:χ2=QUOTE.α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879【解析】由题意知:χ2≥6.635,则QUOTE=QUOTE≥6.635,解得:a≥8.65或a≤0.58,因为a>5且15-a>5,a∈Z,综上得:8.65≤a<10,a∈Z,所以:a=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)7.第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的固体废物污染环境防治法(修订草案)中,提出推行生活垃圾分类制度,这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣扬普及的关系,对某试点社区抽取50户居民进行调查,得到如下的2×2列联表.试点分类意识合计分类意识强分类意识弱试点后5试点前9合计50已知在抽取的50户居民中随机抽取1户,抽到分类意识强的概率为0.58.(1)请将上面的2×2列联表补充完整;(2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析试点后分类意识是否比试点前分类意识强.参考公式:χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d.下面的临界值表仅供参考α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】(1)依据在抽取的50户居民中随机抽取1户,抽到分类意识强的概率为0.58,可得分类意识强的居民有29户,故可得2×2列联表如下:试点分类意识合计分类意识强分类意识弱试点后20525试点前91625合计292150(2)χ2=QUOTE=QUOTE≈9.934≥7.879=x0.005,依据小概率值α=0.005的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此认为H0成立,即认为试点后分类意识比试点前分类意识强.8.(2024·新高考全国Ⅰ卷改编)为加强环境爱护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:PM2.5SO2[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事务“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)依据所给数据,完成下面2×2列联表:PM2.5SO2[0,150](150,475][0,75](75,115](3)依据(2)中的列联表,依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.附:χ2=QUOTE.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【解析】(1)依据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为QUOTE=0.64.(2)依据抽查数据,可得2×2列联表:PM2.5SO2[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)依据(2)的列联表得χ2=QUOTE≈7.484.由于7.484>6.635,故依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.【补偿训练】十九大以来,某贫困地区扶贫办主动实行国家精准扶贫的政策要求,带领广