人教高中数学A版必修一 第五章　章末整合 详细练习题

章末整合三角函数专题一专题二专题三专题一

三角函数的图象及其变换

专题四专题一专题二专题三

归纳总结由已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法.由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一的解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.专题四专题一专题二专题三(1)求f(x)的解析式;(2)将y=f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后再将所得的图象沿x轴向右平移

个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,写出函数y=g(x)的解析式;专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题二

三角函数的求值例2试求tan10°+4sin10°的值.分析:所求式中含有切函数和弦函数,应先将切化弦通分,然后根据角之间的关系求解.专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三归纳总结三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值,给值求值,给值求角.给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值,给值求值的关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角,给值求角的关键是确定角的范围.专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题三

三角函数的化简与证明

专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三例5求证:sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α).分析:右边较为复杂,可考虑从右边向左边证明.证明:右边=4sin

α(sin

60°cos

α-cos

60°sin

α)·(sin

60°cos

α+cos

60°sin

α)=sin

α(3cos2α-sin2α)=sin

α(2cos2α+cos2α-sin2α)=2sin

αcos2α+sin

α(cos2α-sin2α)=2sin

αcos

αcos

α+sin

αcos

2α=sin

2αcos

α+cos

2αsin

α=sin(2α+α)=sin

3α=左边.故等式成立.专题四专题一专题二专题三归纳总结用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法:(1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含的角的差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角等)、“消角”(如异角化同角,复角化单角,sin2α+cos2α=1等)来减少角的个数,消除角与角之间的差异.(2)变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种类的差异,借助于“切割化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换.(3)变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构式的差异,借助于以下几种途径进行变换:①常值代换,如“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan

45°.②变用公式,如sin

αcos

α=sin

2α,tan

A+tan

B=tan(A+B)(1-tan

Atan

B).专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题四

三角函数性质与变换公式的综合应用

专题一专题二专题三专题四答案:C专题一专题二专题三专题四分析:先将f(x)解析式中前两项进行降幂扩角,然后利用辅助角公式,将f(x)解析式化为Asin(ωx+φ)+b的形式,最后结合条件进行求解.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四归纳总结1.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域,若其定义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,函数为偶函数;当φ≠(k∈Z)时,函数为非奇非偶函数.2.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的单调区间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值).把ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调性.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四习题课

三角恒等变换的应用三角函数一二一、降幂和升幂公式1.填空一二一二答案:(1)C

(2)D一二二、辅助角公式1.填空一二答案:(1)C

(2)D探究一探究二探究三规范解答随堂演练利用三角恒等变换研究函数的性质例1已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;分析:先用降幂公式将函数化为一次式,再利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,最后再求周期和递增区间以及值域.探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练利用三角恒等变换解决求值与化简问题

探究一探究二探究三规范解答随堂演练反思感悟

1.非特殊角的求值问题,关键是通过利用各种三角函数公式,将非特殊角转化为特殊角,或者通过运用公式,使正负项抵消或分子分母约分,或通过整体代入达到求值的目的.2.三角函数式的化简,主要是通过公式的运用,进行弦切互化,异名化同名,异角化同角,升幂或降幂等,达到化简的目的.探究一探究二探究三规范解答随堂演练答案:-1探究一探究二探究三规范解答随堂演练利用三角恒等变换解决实际问题例3如图,某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD,现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草,其中P,Q分别为边BC,CD上的动点,∠PAQ=,其他区域安装健身器材,设∠BAP为θ弧度.(1)求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S(θ);(2)求面积S的最小值.探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练反思感悟

利用三角变换解决生活中的实际问题时,首先要认真分析,善于设参,找出关系,建立数学模型,将难以入手的实际问题化为较容易的数学问题,并且要注意参数的取值范围.探究一探究二探究三规范解答随堂演练延伸探究

本例中,条件不变,试证明:△PCQ的周长为2百米.探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练三角恒等变换与三角函数性质的综合应用【审题策略】

先利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后确定其性质.探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练【答题模板】第1步:利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式;↓第2步:求f(x)的最小正周期和最大值;↓失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式时出错;(2)将f(x)的最小正周期和最大值求错;(3)讨论f(x)的单调性时因忽视x的取值范围致错.探究一探究二探究三规范解答随堂演练答案:ACD探究一探究二探究三规范解答随堂演练答案:B探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练4.如图所示,半径为R的直角扇形(圆心角为90°)OMN内有一内接矩形OABC,则内接矩形OABC的最大面积为

.

解析:如图所示,连接OB,设∠BOA=α,则OA=Rcos

α,OC=Rsin

α,探究一探究二探究三规范解答随堂演练探究一探究二探究三规范解答随堂演练习题课

函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用三角函数函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.对于正弦函数y=sinx,我们研究过其定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性、单调区间等,那么对于形如y=Asin(ωx+φ)的函数,例如:函数,其定义域、值域、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心、单调区间如何求解呢?提示:以正弦函数的性质为基础,充分利用整体代换方法研究函数y=Asin(ωx+φ)的各种性质.2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的性质

答案:(1)D

(2)C

(3)A探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练三角函数图象变换的应用

答案:B探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练图象的综合应用

分析:本题提供的图象蕴含着丰富的信息,关键是如何利用这些信息.可以通过求函数解析式来解,也可以寻找解决问题的新途径,充分利用三角函数的性质来求解.探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练反思感悟

由图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)+k的一般步骤第一步:定A,k,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A,k的值.第二步:定周期,借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期.第三步:定ω,根据周期公式确定参数ω的值.第四步:定φ,利用函数图象及五点作图法中的“五点”,建立关于φ的方程,求之即得φ的值.探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练答案:0探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)分析可以根据图象逐一确定解析式中的参数值,从而得出解析式;也可根据图象经过的几个特殊点的坐标,代入解析式利用待定系数法求解;还可以根据图象变换求得解析式.探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练反思感悟

给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”),求得φ的值.(2)待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.但需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入解析式.(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin

ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练答案:D探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练函数y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用分析:(1)根据周期公式T=求解;(2)先根据x的取值范围求出2x-φ的范围,再结合正弦函数的单调性确定sin(2x-φ)的取值范围,从而得到f(x)的值域即可得到函数的最值.探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练反思感悟

研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的基本策略:(1)首先将所给函数的解析式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式;(2)熟记正弦函数y=sin

x的图象与基本性质;(3)充分利用整体代换思想解决问题;(4)熟记有关函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论.探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用典例

设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求函数y=f(x)的单调增区间;(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.探究一探究二探究三探究四规范解答随堂演练探究一探究二探究三探究四