考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷11（共60题）

考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷11（共4套）（共60题）考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷第1套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设3阶矩阵A一1XA=XA+2A，求X．标准答案：A一1XA=XA+2A→A一1X=X+2E→X=AX+2A→(E—A)X=2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)连续可导，且f(0)=0，F(x)=∫0xtn－1f(xn－tn)dt，求．标准答案：令xn－tn=u，则F(x)=∫0xtn－1f(xn－tn)dt=，于是知识点解析：暂无解析3、证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关．标准答案：设α1，…，αn为一个向量组，且α1，…，αr(r＜n)线性相关，则存在不全为零的常数k1，…，kr，使得k1α1+…+krαr=0，于是k1α1+…+krαr+0αr+1+…+0αn=0，因为k1，…，kr，0，…，0不全为零，所以α1，…，αn线性相关．知识点解析：暂无解析4、设f(x)=a｜cosx｜+b｜sinx｜在x=一f2(x)dx=2，求常数a、b的值．标准答案：由f(x)为偶函数可知，f2(x)为偶函数．于是有知识点解析：暂无解析5、设且f(0)=0，求函数f(x)和f(lnx)．标准答案：令lnx=t或x=et，则上式积分得由f(x)在t=0处连续，即d(0+)=f(0-)=f(0)=0，得C1=0，C2=一1．故所求的函数为知识点解析：暂无解析6、某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为流入湖泊内不含A的水量为设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?标准答案：设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为任取时间元素[t，t+dt]，排入湖中污染物A的含量为流出湖的污染物A的含量为则在此时间元素内污染物A的改变量为于是令m=m0，得t=6ln3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0．知识点解析：暂无解析7、设z=z(x，y)是由方程xy+x+y-z=ex所确定的二元函数，求标准答案：将方程两边求全微分后求出出，由出可求得分别对x，y求导求得．将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变牲及全微分的四则运算法则，得ydz+xdy+dx+dy-dz=ezdz，解出dz=[(y+1)dx+(x+1)dy]．知识点解析：暂无解析8、在R4中求一个单位向量，使它与α1=(1，1，一1，1)T，α2=(1，一1，一1，1)T，α3=(2，1，1，3)T都正交．标准答案：设x=(x1，x2，x3，x4)T与αi(i=1，2，3)都正交，则αiTx=0(i=1，2，3)，即解此齐次线性方程组，得其基础解系为ξ=(4，0，1，一3)T，故与αi(i=1，2，3)都正交的向量全体为x=kξ(k为任意实数)．当k≠0时，将非零向量x=kξ单位化，得所求的单位向量为(4，0，1，一3)T．知识点解析：暂无解析9、设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若求f(x)．标准答案：将题设等式两边对x求导，得g[f(x)]f’(x)+f(x)=xex．由于g[f(x)]=x，于是，当x>0时有解得又f(x)在x=0处右连续且f(0)=0，于是由从而知识点解析：暂无解析10、假设目标出现在射程之内的概率为0．7，这时一次射击命中目标的概率为0．6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率．标准答案：设A={目标进入射程}，Bi={第i次射击命中目标}，i=1，2，B={两次独立射击至少有一次命中目标)．于是，所求概率P(B)=P(AB)+=P(AB)=P(A)P(B｜A)=P(A)P(B1｜∪B2｜A)=P(A)[P(B1｜A)+P(B2｜A)一P(B1B2｜A)]=0．7×(0．6+0．6—0．6×0．6)=0．588=[1一P(｜A)]P(A)=(1一0．42)×0．7=0．588．知识点解析：暂无解析11、求幂级数的收敛域与和函数，并求的和．标准答案：当|x|＜1时，幂级数收敛；当|x|＞1时，幂级数发散；当x=1时，级数为收敛；当x=-1时，级数为发散．所以，幂级数的收敛域为(-1，1]．知识点解析：暂无解析12、设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．(1)求方程组AX=0的通解；(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．标准答案：(1)因为r(A)=1，所以AX=0的基础解系含有n一1个线性无关的特征向量，其基础解系为则方程组AX=0的通解为k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1(k1，k2，…，kn—1为任意常数)．(2)因为A2=kA，其中k=(α，α)=＞0，所以A的非零特征值为k，因为Aα=ααTα=kα，所以非零特征值k对应的线性无关的特征向量为α．知识点解析：暂无解析13、设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间为5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间Y的分布．标准答案：知识点解析：暂无解析某保险公司对多年来的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．[附表]设Φ(x)是标准正态分布函数．14、写出X的概率分布；标准答案：设事件A={被抽查到被盗索赔户}，则p=p(A)=0．2．由题意知，X～B(100，0．2)．因此，分布律P(X=k)=C100k0．2k0．8100-k(k=0，1，…，100)．知识点解析：暂无解析15、利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．标准答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1－p)=16．根据棣莫弗一拉普拉斯定理知，则知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷第2套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设证明：数列{an)有界．标准答案：取ε0=1，因为根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an－A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1}，则对一切的n，有｜an｜≤M．知识点解析：暂无解析2、设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n标准答案：方法一：对B按列分块，记B=(β1，β2，...，βn)，若k1β1+k2β2+…+knβn=0，即：(β1，β2，...，βn)两边左乘A，得所有β1，β2，...，βn线性无关.方法二：因为B是m×n矩阵，n1，β2，...，βn线性无关.知识点解析：暂无解析3、设函数f(x，y)满足=x，试求出函数f(x，y)的表达式．标准答案：知识点解析：由微分方程，通过求积分，即可得到相应的函数f(x，y)的表达式．4、讨论级数(p＞0)的敛散性．标准答案：根据比值判别法，因为由交错级数的莱布尼兹判别法与取绝对值后的正项级数判敛法知：知识点解析：本题首先要讨论常数a的取值情况．当｜a｜=1时，还要进一步讨论p的取值情况．5、已知曲线L的方程为1)讨论L的凹凸性；2)过点(一1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线方程；3)求此切线与L(对应x≤x0的部分)及x轴所围成平面图形的面积．标准答案：1)上凸．2)切点为(2，3)，切线方程为y=x+1,知识点解析：暂无解析6、二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2—6x2x3+6x1x3的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．标准答案：二次型矩阵由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有｜A｜=24(c一3)=0→c=3．用配方法求规范形和所作变换．=f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+3x32一2x1x2+6x1x3—6x2x3=3(x3+x1一x2)2一3(x1一x2)2+5x12+5x22一2x1x2=3(x1—x2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2=3(x1一x2+x3)2+2(x1+x2)2令则f(x1，x2，x3)=y12+y22，为规范二次型．所作变换为知识点解析：暂无解析7、在第一象限的椭圆上求一点，使原点到过该点的法线的距离最大．标准答案：椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为原点到该法线的距离为记f(x，y)=，x＞0，y＞0，约束条件为g(x，y)=，构造拉格朗日函数h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根据条件极值的求解方法，先求根据问题的实际意义，到原点距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可得出所求的点为知识点解析：暂无解析8、求二重积分，其中D是由曲线y=，直线y=2，y=x所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。（Ⅰ）求λ，a；（Ⅱ）求方程组Ax=b的通解。标准答案：（Ⅰ）因为线性方程组Ax=b有两个不同的解，所以r（A）=＜n。于是=（λ+1）（λ一1）2=0。解得λ=1或λ=一1。当λ=1时，r（A）=1，=2，此时线性方程组无解。当λ=一1时，若a=一2，则r（A）==2，方程组Ax=b有无穷多解。故λ=一1，a=一2。（Ⅱ）当λ=一1，a=一2时，所以方程组Ax=b的通解为+k（1，0，1）T，其中k是任意常数。知识点解析：暂无解析10、已知A，B为三阶非零矩阵，且β1=（0，1，一1）T，β2=（a，2，1）T，β3=（b，1，0）T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。求（Ⅰ）a，b的值；（Ⅱ）求Bx=0的通解。标准答案：（Ⅰ）由B≠O，且β1，β2，β3是齐次线性方程组Bx=O的三个解向量可知，向量组β1，β2，β3必线性相关，于是|β1，β2，β3|=解得a=3b。由Ax=β3有解可知，线性方程组Ax=β3的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得所以b=5，a=3b=15。（Ⅱ）因为B≠O，所以r（B）≥1，则3一r（B）≤2。又因为β1，β2是Bx=0的两个线性无关的解，故3一r（B）≥2，综上，r（B）=1，所以β1，β2是Bx=0的一个基础解系，于是Bx=0的通解为x=k1β1+k1β2，其中k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析11、判断级数的敛散性．标准答案：因为所以级数收敛．知识点解析：暂无解析12、将函数(0≤x≤π)展开成正弦级数．标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别为α1=[－1，－1，1]T，α2=[1，－2，－1]T．14、求A的属于特征值3的特征向量；标准答案：设A的属于特征值3的特征向量为α3=[x1，x2，x3]T．因实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交，故α1Tα3=0，α2Tα3=0，即[x1，x2，x3]T为下列齐次方程组的非零解：由得到基础解系为ξ=[1，0，1]T．因此α的属于特征值3的特征向量为α3=k[1，0，1]T(k为任意非零常数)．知识点解析：暂无解析15、求矩阵A．标准答案：解一令矩阵则P-1AP=diag(1，2，3)，即A=Pdiag(1，2，3)P-1，易求得故解二由于α1，α2，ξ两两正交，为求正交矩阵Q只需将其单位化，即因此可取正交矩阵Q代替可逆矩阵P，即则有Q-1AQ=QTAQ=diag(1，2，3)，A=Pdiag(1，2，3)P-1=Qdiag(1，2，3)Q-1=Qdiag(1，2，3)QT=解二比解一虽然多了单位化的步骤，但免去了求逆的计算(因Q为正交矩阵，有Q-1=QT)．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷第3套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设常数x＞0，求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析2、设求f(x)，g(x)．标准答案：(I)需要对参数x用夹逼定理分段进行讨论．当0≤x≤1时，当1＜x＜2时，当2≤x＜+∞时，因为所以(Ⅱ)方法1方法2知识点解析：暂无解析3、设=10，试求α，β的值．标准答案：知识点解析：暂无解析4、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且又f(2)=f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f’’(ξ)=0．标准答案：由得f(1)=－1，又所以f’(1)=0．由积分中值定理得由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f’’(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析5、求的反函数的导数．标准答案：先求y’x，知识点解析：暂无解析6、设由曲线y=与直线y=a(其中常数a满足0＜a＜1)以及x=0．x=1围成的平面图形(如图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．标准答案：由曲线y=与直线y=a(其中0＜a＜1)以及x=0，x=1围成的平面图D1={(x，y)｜a≤y≤1，0≤x≤}，D2={(x，y)｜0≤y≤a，≤x≤1}．在D1绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状是圆形薄片，其半径厚度为dy，从而这个圆形薄片的体积dV=π(1一y2)dy，于是区域D1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V1(a)=f一π(1一y2)dy=π∫a1(1一y2)dy=π[1一a一．在D2绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状为圆环形薄片，其内半径为，外半径为1，厚度为dy，从而这个圆环形薄片的体积为dV=π[1一(1一y2)]dy=πy2dy，故区域D2绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积V2(a)=∫0aπy2dy=a3．把V1(a)与V2(a)相加，就得到了V(a)=V1(a)+V2(a)=π(a3)．由于V’(a)=π(2a2—1)=知识点解析：暂无解析7、证明曲线上任一点的切线的横截距与纵截距之和为2．标准答案：对两边关于x求导得知识点解析：暂无解析8、设f(x)=∫1xe一t2dt，求∫01x2f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析9、讨论下列函数在点(0，0)处的①偏导数的存在性；②函数的连续性；③函数的可微性．标准答案：(1)①按定义易知fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在．②当(x，y)→(0，0)时，|f(x，y)一f(0，0)|=，所以f(x，y)在点(0，0)处连续．③△f=f(0+△x，0+△y)-f(0，0)=按可微定义，若可微，则但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左边为)，故不可微．(2)以下直接证明③成立，由此可推知①，②均成立．事实上，按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析10、设A为n阶矩阵（n≥2），A*为A的伴随矩阵，证明标准答案：（1）当r（A）=n时，|A|≠0，则有|A*|=|A|n—1≠0，从而A*可逆，即r（A*）=n。（2）当r（A）=n—1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n—1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r（A*）≥1。又因r（A）=n—1时，有|A|=0，且由AA*=|A|E知AA*=0。根据矩阵秩的性质得r（A）+r（A*）≤n，把r（A）=n—1代入上式，得r（A*）≤1。综上所述，有r（A*）=1。（3）当r（A）≤n—2时，A的所有n—1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=0，从而r（A*）=0。知识点解析：暂无解析11、求y"+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数；标准答案：由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为=C1cosax+C2sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论：①当a≠b时，特解的形式应为Acosba+Bsinba，将其代入原方程可得所以通解为其中C1与C2是两个任意常数．②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得A=0．所以原方程的通解为y(x)=xsinax+C1cosax+C2sinax，其中C1与C2是两个任意常数．知识点解析：暂无解析箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个．现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数．12、求随机变量(X，Y)的概率分布；标准答案：(X，Y)足二维离散型随机变量，X只能取0和1，而Y可以取0，1，2各值，由于知识点解析：暂无解析13、求cov(X，Y)．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设X和Y相互独立都服从0—1分布：P{X=1}=P{Y=1}=0．6，试证明：U=X+Y，V=X—Y不相关，但是不独立．标准答案：(1)由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见Cov(U，V)=E(UY)=E(UV)=E(X2一Y2)一E(X+Y)E(X—Y)=E(X2)一E(Y2)=0．于是，U=X+Y，V=X—Y不相关．(2)现在证明U=X+Y，V=X—Y不独立．事实上，由P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P(X=0}P{Y=0}=0．16，P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P(Y=1}=0．52，P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P(Y=0}=0．16≠0．16×0．52=P{U=0}P{V=0}，可见U和V不独立．知识点解析：暂无解析15、已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为X1，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量标准答案：记EX=μ，DX=σ2，则知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷第4套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、确定常数a，b，c的值，使=4．标准答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1一e—2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=—2，c=0．知识点解析：暂无解析2、设函数y=f(x)由参数方程(t＞－1)所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且已知，证明：函数φ(t)满足方程φˊˊ(t)－φˊ(t)=3(1+t)．标准答案：因为，有知识点解析：暂无解析3、质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1min后的速度是多少?标准答案：由题意得因为当t=10时，v=50，F=39．2，所以k=196，从而分离变量得vdv=196tdt，所以由v｜t=10=50，得C=－8550，于是知识点解析：暂无解析4、过曲线y＝x2(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积．标准答案：设切点坐标为(a，a2)(a＞0)，则切线方程为y－a2＝2a(x－a)，即y＝2ax－a2，由题意得S＝，解得a＝1，则切线方程为y＝2x－1，旋转体的体积为V＝π∫01x4dx－π．知识点解析：暂无解析5、设z=yf(x2一y2)，其中f可导，证明：标准答案：=2xyf’(x2一y2)，=f(x2一y2)一2y2f’(x2一y2)，则=2yf’(x2一y2)，f(x2一y2)一2yf’(x2一y2)=f’(x2一y2)=知识点解析：暂无解析6、将函数f(x)＝arctan展开成x的幂级数．标准答案：f(0)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐项可积性得f(x)－f(0)＝∫0xf’(x)dx＝，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知识点解析：暂无解析7、某商品市场价格p=p(t)随时间变化，p(0)=p0．而需求函数QA=b一ap(a，b＞0)，供给函数QB=一d+cp(c，d＞0)，且p随时间变化率与超额需求QA—QB成正比．求价格函数p=p(t)．标准答案：由题设=一k(a+c)p+k(b+d)．+k(a+c)p=k(b+d)，p(0)=p0，故p=e-∫k(a+c)dt[∫k(b+d)e∫k(a+c)dtd