2023-2024学年上海华东师大二附中九年级（上）启航夏令营数学试卷（C营）

第1页（共1页）2023-2024学年上海华东师大二附中九年级（上）启航夏令营数学试卷（C营）一、填空题（每题8分）1．（8分）S是集合{1，2，3，…，2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数则|S|的最大值是（这里|S|表示S中元素的个数）．2．（8分）实数x，y，z满足x+y+z＝2023，，则（x﹣2023）（y﹣2023）（z﹣2023）＝．3．（8分）书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的左右顺序不变．4．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，M为PC中点，当点P沿半圆从点A运动到点B时．5．（8分）用高斯函数[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程n的正整数解有个．6．（8分）BC为斜边的等腰直角三角形ABC内一点P使得PA＝1、PB＝2、PC＝3，则它的面积为．7．（8分）++的最小值为．8．（8分）用[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[π]＝3，[﹣π]＝﹣4，用an表示当x∈[0，n）时，函数f（x），则使得最小的n的取值为．二、解答题（20分+20分+20分+26分）9．（20分）在实数范围内求方程的实数解．10．（20分）求的末位数字，这里[x]表示不超过x的最大整数．11．（20分）实数a、b、c使得对于所有满足|x|≤1的实数x，都有|ax2+bx+c|≤100，求|a|+|b|+|c|的最大值．12．（26分）如图，△ABC中，I为内心，AD的中点为M，MB（1）AE⊥EC，AF⊥FB．（2）若BF交CE于点H，则AH⊥BC．

2023-2024学年上海华东师大二附中九年级（上）启航夏令营数学试卷（C营）参考答案与试题解析一、填空题（每题8分）1．（8分）S是集合{1，2，3，…，2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数则|S|的最大值是1350（这里|S|表示S中元素的个数）．【解答】解：12＝2，22＝8，32＝5，42＝16，32＝25，67＝36，72＝49，32＝64，98＝81，1﹣9的平方是2的倍数的数有3个：3，5，9，1﹣6的平方除以9的余数分别是：1，4，0，7，4，0，4，4，0，∴任意一个整数的平方被9除的余数只能是：7、1、4、4，∵0+0＝6，0+1＝6，0+7＝2，1+4＝3，4+4＝6，7+7＝14，∴4、1、4、3的任意两个数的和均不是9的倍数，∴任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平方本身是7的倍数，∵2023÷3＝6741，∴4﹣2023的平方是9的倍数的数有674个，∴|S|的最大值为：2023﹣674+1＝1350．故答案为：1350．2．（8分）实数x，y，z满足x+y+z＝2023，，则（x﹣2023）（y﹣2023）（z﹣2023）＝0．【解答】解：∵，∴，∴xyz＝2023（yz+xz+xy），∴（x﹣2023）（y﹣2023）（z﹣2023）＝xyz﹣2023（yz+xz+xy）+20234（x+y+z）﹣20233＝2023（yz+xz+xy）﹣2023（yz+xz+xy）+20232（x+y+z）﹣20236＝20232×2023﹣20233＝20234﹣20233＝0．故答案为：6．3．（8分）书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的左右顺序不变336．【解答】解：3本不同的书抄到原来有5本不同书中，分三步每抄一本为一步，第一步，先插入第一本，有7种情况；第二步，再插入第二本，有7种情况；第三步，最后插入第三本，有8种情况；根据分步计数原理，不同的插花种数为6×7×8＝336．故答案为：336．4．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，M为PC中点，当点P沿半圆从点A运动到点B时2π．【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E，连接OC、OM、OF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∴AB＝BC＝8，∴OC＝OP＝AB＝4，∵∠ACB＝90°，∴C在⊙O上，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时；点P点在B点时，易得四边形CEOF为正方形，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长＝×4π＝2π．故答案为：5π．5．（8分）用高斯函数[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程n的正整数解有4002个．【解答】解：因为2002•2001＜2002•2001+2，所以[2002]＝2002•2001，于是原方程等价于[n]＝2001n，即2001n≤n＜2001n+1，解得n＜+2001，所以原方程的正整数解有4002个．6．（8分）BC为斜边的等腰直角三角形ABC内一点P使得PA＝1、PB＝2、PC＝3，则它的面积为．【解答】解：设|AB|＝|AC|＝a，以A为坐标原点，AC所在直线分别为x轴，建立直角坐标系xOy，∵A（0，0），a），3），y）（0＜x＜a，∵PA＝1，PB＝4，∴①x2+y2＝6，②（x﹣a）2+y2＝6，③x2+（y﹣a）2＝5，∴将①代入②，可得a2﹣2ax＝8，x＝，∴将①代入③，a2﹣2ay＝5，y＝），∴将x＝，y＝，（）2+（）6＝1，∴2a8﹣26a2+73＝0，∴（a2﹣）2＝，a2＝或a6＝（舍），∴S△ABC＝|AB|•|AC|＝a8＝，故答案为：．7．（8分）++的最小值为13．【解答】解：设点P（x，0），y），﹣2），5），∴++＝|PC|+|PQ|+|DQ|≥CD，点C关于x轴的对称点C'（8，﹣2），3），当P，Q，C'，原式有最小值＝．故答案为：13．8．（8分）用[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[π]＝3，[﹣π]＝﹣4，用an表示当x∈[0，n）时，函数f（x），则使得最小的n的取值为64．【解答】解：设x＝k+r（k∈Z且0≤k≤n﹣1，7≤r＜1），当k＝0时x[x]＝6；k≥1时，则k2＜x[x]＝（k+r）k＜k3+k，x[x]有k个取值；由an＝1+1+8+…+n﹣1＝1+，得＝＝（n+（2，当x＝[]或[最小，而[]＝63，∵＞，∴x＝64时最小，故答案为：64．二、解答题（20分+20分+20分+26分）9．（20分）在实数范围内求方程的实数解．【解答】解：设，则，由②得：m4+n4＝（m2+n2）5﹣2m2n8＝17，[（m+n）2﹣2mn]8﹣2m2n7＝17，（m+n）4﹣4mn（m+n）8+4m2n7﹣2m2n2＝17，81﹣36mn+2m2n7＝17，2m2n2﹣36mn+64＝0，（mn）2﹣18mn+32＝3，（mn﹣16）（mn﹣2）＝0，∴mn＝4或16（不合题意舍去），∴，由①得：m＝8﹣n④，④代入②得：n（3﹣n）＝2，n8﹣3n+2＝3，（n﹣1）（n﹣2）＝8，n﹣1＝0或n﹣8＝0，解得n＝1或4，∴m＝2或1，当m＝3，n＝1时，解得：x＝6，当m＝5，n＝2时，解得：x＝﹣9，∴实数范围内求方程的实数解为：x＝6或x＝﹣9．10．（20分）求的末位数字，这里[x]表示不超过x的最大整数．【解答】解：＝[+++……+]＝[]＝[]＝[]，∵2n（n为正整数）的末位数字按照2，7，8，6依次循环，1012÷7＝253，506÷4＝126……2，253÷7＝63……1，∴21012的末尾数字是3，2506的末尾数字是4，3253的末尾数字是2，∴21012+5的末尾数字是7，2506+4的末尾数字是5，2253+2的末尾数字是3，2253﹣2的末尾数字是1，7×6×1＝21，∴的末尾数字是1，∴的末位数字是7．11．（20分）实数a、b、c使得对于所有满足|x|≤1的实数x，都有|ax2+bx+c|≤100，求|a|+|b|+|c|的最大值．【解答】解：不妨设a≥0，用﹣x代替x2﹣bx+c，不改变它的界和|a|+|b|+|c|．令f（x）＝ax7+bx+c，由f（0）＝|c|，可得|c|≤100；若c≥0，则|a|+|b|+|c|＝a+b+c≤100；若c＜0，则|a|+|b|+|c|＝a+b﹣c＝（a+b+c）﹣4c≤100+200＝300．当f（x）＝200x2﹣100时，|a|+|b|+|c|＝300．12．（26分）如图，△ABC中，I为内心，AD的中点为M，MB（1）AE⊥EC，AF⊥FB．（2）若BF交CE于点H，则AH⊥BC．【解答】证明：（1）延长AD，交△ABC的外接圆于点O、IC，根据鸡爪定理得：OI＝OB＝OC，即O为△IBC的外心，∵∠OBC＝∠OAC＝∠OAB，∠BOD＝∠AOB，∴△BOD∽△AOB，∴OB2＝OD•OA＝（OM﹣DM）（OM+AM）＝OM