高考数学一轮复习 8.1 空间几何体及其表面积、体积 理 苏教版

8.1空间几何体及其表面积、体积一、填空题1．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．答案②④2．在三棱锥S­ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S­ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则eq\r(2)a＝2，a＝eq\r(2)，侧面积为3×eq\f(1,2)×a2＝3，底面积为eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，表面积为3＋eq\r(3).答案3＋eq\r(3)3．给出下列四个命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线其中正确命题的个数为________个．解析①错误，如图(1)，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误，如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或如果是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误，若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确．答案14．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为eq\f(\r(3),2)，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为eq\f(\r(2),2)，所以体积V＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).答案eq\f(\r(2),6)5．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的喜好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余的酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系有下列四种表述：eq\a\vs4\al(①h2＞h1＞h4,②h1＞h2＞h4,③h3＞h2＞h4,④h2＞h4＞h1)其中表述一定正确的是________．解析本题若用公式推导将费时费力，只要把握住所剩酒为原来的一半以及酒杯的形状，h4为原来高度的一半应最小，第二个杯子为圆锥形，液面高度应该最高，故只有①正确．答案①6．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1m)．解析卫生纸总长度为eq\f(π602－202,0.1)≈3.14×32000＝100480(mm)≈100(m)．答案1007．如图，一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h，则h1∶h2∶h＝________.解析如图，设三棱锥P­ABE的各棱长为a，则四棱锥P­ABCD的各棱长也为a，于是h1＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)a，h2＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a×\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(6),3)a＝h，∴h1∶h2∶h＝eq\r(3)∶2∶2.答案eq\r(3)∶2∶28．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为eq\r(52＋122)＝13cm.答案139．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为________．解析设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则4(x＋y＋z)＝24，且2xy＋2yz＋2xz＝11.则x2＋y2＋z2＝(x＋y＋z)2－2xy－2yz－2xz＝36－11＝25，从而对角线长为5.答案510．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．解析如图，当AM＋MC1最小时，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，ACeq\o\al(2,1)＝14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝eq\f(AM2＋MC\o\al(2,1)－AC\o\al(2,1),2AM·MC1)＝－eq\f(1,2)，所以sin∠AMC1＝eq\f(\r(3),2)，S△AMC1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)11．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是________(填序号)．①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体；②该组合体仍然关于轴l对称；③该组合体中的圆锥和球只有一个公共点；④该组合体中的球和半球只有一个公共点．解析半圆绕l旋转后，可得半球，故组合体中只有一个球，所以①不正确，其余都正确．答案①12．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM＝2，P到直线A1D1的距离为eq\r(5)，则点P的轨迹是________．解析由PM＝2，知点P在以M为圆心，2为半径的圆上．又由P到直线A1D1的距离为eq\r(5)，知点P在与BC平行且过AB中点的直线上，故点P的轨迹是它们的交点，即为两点．答案两个点13．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD­A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．其中所有正确的命题的序号是________．解析观察图形并试验可知①正确，②不正确；③正确．④中AE＝B1F，BF＝A1E，所以AE＋BF＝AA1为定值，故正确命题是①③④答案①③④二、解答题14．直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面的面积是Q1和Q2，求它的侧面积．解析如图，设直平行六面体A1C的底面菱形边长为a，侧棱长为l，A1六面体⇒A1ACC1、B1BDD1是矩形，∴Q1＝l·AC⇒AC＝eq\f(Q1,l).同理BD＝eq\f(Q2,l)，又底面是菱形⇒a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq\f(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2),4l2)⇒2a·l＝eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2))，S侧＝4al＝2eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2)).15．给出一块边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积．解析取等边三角形三边的中点A、B、C，连结AB、BC、CA得正三角形的三条中位线，以中位线为折线折起三角形，使三角形三顶点重合，则得侧棱长与底面边长都等于1的三棱锥S­ABC，作SO⊥平面ABC，连结并延长CO交AB于E，则E是AB的中点，连结SE.因为O是△ABC的内心，所以OC＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)在Rt△SOC中，SC＝1，SO＝eq\r(SC2－OC2)＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3)，故VS­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC×SO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CE×AB×SO＝eq\f(1,6)×eq\f(\r(3),2)×1×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),12).16．在四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VABCD＝VABPC＋VDBPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·aeq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r(3a2－x2x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3(当且仅当x＝eq\f(\r(6),2)a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为eq\f(1,8)a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为eq\f(\r(6),2)a，∴S表＝2×eq\f(\r(3),4)a2＋2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)a×eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))2)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(6),2)a×eq\f(\r(10)a,4)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(15)a2,4)＝eq\f(2\r(3)＋\r(15),4)a2.17．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．解析利用三角形相似比，由底面积之比为1∶16.可设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.根据相似三角形的性质得eq\f