新高考数学一轮复习知识总结 指数函数与对数函数（含解析）

第四章指数函数与对数函数知识点一、指数及指数幂的运算1.根式的概念SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根的定义：一般地，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根，其中SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为奇数时，正数的SKIPIF1<0次方根为正数，负数的SKIPIF1<0次方根是负数，表示为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，正数的SKIPIF1<0次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为SKIPIF1<0.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子SKIPIF1<0叫做根式，SKIPIF1<0叫做根指数，SKIPIF1<0叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<03.分数指数幂的意义：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0知识点二、指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数SKIPIF1<0叫做指数函数，其中SKIPIF1<0是自变量，函数的定义域为SKIPIF1<0.2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义0101函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0叫做指数函数0101图象SKIPIF1<0SKIPIF1<0定义域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0过定点图象过定点SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.奇偶性非奇非偶单调性在SKIPIF1<0上是增函数在SKIPIF1<0上是减函数函数值的变化情况SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，SKIPIF1<0逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，SKIPIF1<0逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做以SKIPIF1<0为底SKIPIF1<0的对数，记作SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫做底数，SKIPIF1<0叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：SKIPIF1<0.2.几个重要的对数恒等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3.常用对数与自然对数常用对数：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；自然对数：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0…).4.对数的运算性质如果SKIPIF1<0，那么①加法：SKIPIF1<0②减法：SKIPIF1<0③数乘：SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0⑥换底公式：SKIPIF1<0知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数SKIPIF1<0叫做对数函数，其中SKIPIF1<0是自变量，函数的定义域SKIPIF1<0.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0叫做对数函数图象SKIPIF1<0SKIPIF1<0001001定义域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0过定点图象过定点SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.奇偶性非奇非偶单调性在SKIPIF1<0上是增函数在SKIPIF1<0上是减函数函数值的变化情况SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，SKIPIF1<0逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，SKIPIF1<0逐渐减小.知识点五：函数、方程的有关问题1．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数SKIPIF1<0在一个区间SKIPIF1<0上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即SKIPIF1<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，这个SKIPIF1<0也就是方程SKIPIF1<0的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内也可能有零点，例如SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上就是这样的．故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有零点，不一定有SKIPIF1<0．③若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象不是连续不断的曲线，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内也可能是有零点，例如函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0无实根则函数无零点，方程SKIPIF1<0有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数SKIPIF1<0的零点就是方程SKIPIF1<0的实数根，也就是函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象交点的横坐标．2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数SKIPIF1<0定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异号，即SKIPIF1<0，零点位于区间SKIPIF1<0中.第二步：取区间SKIPIF1<0的中点，则此中点对应的坐标为SKIPIF1<0.计算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，并判断：①如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0的零点，计算终止；②如果SKIPIF1<0，则零点位于区间SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0；③如果SKIPIF1<0，则零点位于区间SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0第三步：取区间SKIPIF1<0的中点，则此中点对应的坐标为SKIPIF1<0.计算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，并判断：①如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0的零点，计算终止；②如果SKIPIF1<0，则零点位于区间SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0；③如果SKIPIF1<0，则零点位于区间SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0；……继续实施上述步骤，直到区间SKIPIF1<0，函数的零点总位于区间SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数SKIPIF1<0的近似零点，计算终止.这时函数SKIPIF1<0的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值比较容易计算且SKIPIF1<0．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程SKIPIF1<0的根，可以构造函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的零点即为方程SKIPIF1<0的根．知识点六：函数的实际应用求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)SKIPIF1<0数学问题(数量关系与函数模型)SKIPIF1<0建模(数学语言)SKIPIF1<0求模(求解数学问题)SKIPIF1<0反馈(还原成实际问题的解答).类型一：指数、对数运算例1.计算(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)1；(3)3；(4)14。【解析】(1)原式=SKIPIF1<0；(2)原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=1-SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=1(3)原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2+SKIPIF1<0=3；(4)令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，两边取常用对数得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0=14。【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.类型二：指数函数、对数函数的图象与性质例2.已知函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）．A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】依题意SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选A。例3.设函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是()．A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0。②若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0由①②可知SKIPIF1<0解法二：特殊值验证令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，故排除A、D。令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不满足SKIPIF1<0，故排除B。【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用.例4．函数SKIPIF1<0的单调递增区间是（）A．（3，+∞）B．（－∞，3）C．（4，+∞）D．（－∞，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。【答案】D【解析】函数SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0复合而成的，SKIPIF1<0是减函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以原函数的单调递增区间是SKIPIF1<0，故选D。例5．已知函数y=(SKIPIF1<0)|x+1|。作出图象；由图象指出其单调区间；由图象指出当x取什么值时函数有最值。【思路点拨】思路一：化去绝对值符号SKIPIF1<0将函数写成分段函数的形式SKIPIF1<0作图象SKIPIF1<0写出单调区间SKIPIF1<0写出x的取值；思路二：利用函数图象的变换作函数图象SKIPIF1<0写出单调区间SKIPIF1<0写出x的取值。【解析】（1）图象作法一：由已知可得SKIPIF1<0其图象由两部分组成：一部分是：SKIPIF1<0另一部分是：SKIPIF1<0图象如图：图象作法二：先作函数SKIPIF1<0的图象，再作函数SKIPIF1<0图象。作法：将函数SKIPIF1<0图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数SKIPIF1<0图象（上图中虚线），再将函数SKIPIF1<0图象向左平移1个单位得到函数SKIPIF1<0图象。（2）由图象知函数在SKIPIF1<0上是增函数，在SKIPIF1<0上是减函数。（3）由图象知当SKIPIF1<0时，函数有最大值1，无最小值。例6.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性.【思路点拨】(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性.【解析】(1)使f(x)=loga(ax-1)有意义，则ax-1>0，即ax>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0；∴当a>1时，函数的定义域为{x|x>0}；当0<a<1时，函数的定义域为{x|x<0}.(2)当a>1时，设0<x1<x2，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴f(x1)<f(x2)，∴当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数；当0<a<1时，设x1<x2<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴f(x1)<f(x2)，∴当0＜a＜1时，函数f(x)在(-∞,0)上为增函数；综上可知：函数f(x)=loga(ax-1)在其定义域上为增函数.方法提示：利用复合函数（只限由两个函数复合而成的）判断函数单调性的方法找出已知函数是由哪两个函数复合而成的；当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域；分别求出两函数的单调区间；按照“同增异减”确定函数的单调区间；研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。类型三：关于函数的零点与方程根的关系问题例7．若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若SKIPIF1<0，不存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；B．若SKIPIF1<0，存在且只存在一个实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；C．若SKIPIF1<0，有可能存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；D．若SKIPIF1<0，有可能不存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．【答案】C【解析】对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一例8．求函数SKIPIF1<0零点的个数．【思路点拨】此题考查函数零点个数问题，方法一：数形结合法，注意到函数SKIPIF1<0的图像不易作，舍之；方法二：转化为相应方程的解的个数问题．而方程SKIPIF1<0不易解，舍之．若将方程SKIPIF1<0变形为：SKIPIF1<0．构造函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的根即为方程组SKIPIF1<0的解，函数SKIPIF1<0的零点个数即为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像的交点的个数．【答案】0【解析】函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像如图所示：由此易知，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像交点个数为0，即得：函数SKIPIF1<0的零点个数为0．【总结升华】函数SKIPIF1<0零点个数的求法之一是：数形结合法，将方程SKIPIF1<0变形为：SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，这两个函数的交点个数即为函数SKIPIF1<0的零点的个数．这种方法数形结合，直观性强．例9．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别是实系数一元二次方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的一个根，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：方程SKIPIF1<0有且仅有一根介于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间．证明：令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别是实系数一元二次方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的一个根，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有且仅有一根介于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否满足SKIPIF1<0，还要看函数SKIPIF1<0的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．例10．借助计算器或计算机用二分法求方程SKIPIF1<0的一个近似解．（精确到0.01）【思路点拨】利用二分法求方程近似解的实质为求相应函数的近似零点，本题转化为求函数SKIPIF1<0的近似零点．注意到SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0在[-l，0]内有实根，再用二分法求近似解．【解析】考查函数SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0在[-l，9]内有实数解．如此，得到方程SKIPIF1<0的实数解所在区间的表：1左端点右端点第1次-10第2次-10.5第3次-0.75-0.5第4次-0.75-0.625第5次-0.6875-0.625第6次-0.6875-0.65625第7次-0.6875-0.671875第8次-0.6875-0.6796875第9次-0.6875-0.68359735第10次-0.6875-0.685546875至此，可以看出，区间[-0.6875，-0.685