陕西省延安市2023学年高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）

.入境游客（万人次）

14132.73

13868.53

13604.33

13340.13

13075.93

12811.73一

I2013年2014年.2015年2I01年2I017年I201阵

A.2014年我国入境游客万人次最少

B.后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势

C.这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次

D.前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差

x-y+\>Q

2.已知实数x、）'满足约束条件<3无一》一340,则z=2x+y的最大值为（）

”0

A.-1B.2C.7D.8

3.已知函数/（x）=sin2&x—J5sin生xcos&x,则/⑴+/（2）+...+/（2020）的值等于（）

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

4.抛物线炉=3@的准线方程是y=l,则实数。=（）

3344

A.----B.-C.D.-

4433

5.以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样

的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量x与y的随机

变量攵2的观测值z来说，女越小，判断“x与y有关系”的把握越大；其中真命题的个数为()

A.3B.2C.1D.0

6.如图在直角坐标系尤Oy中，过原点。作曲线y=d+l(x20)的切线，切点为p,过点p分别作x、)，轴的垂线,

垂足分别为A、B,在矩形04PB中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为()

7.若函数.f(x)=2sin(x+28>cosx(0<^<|)的图象过点(0,2),则()

A.函数y=/(x)的值域是［0,2］B.点(5，。］是y=/(x)的一个对称中心

147

C.函数y=/(x)的最小正周期是2〃D.直线x=:是>=/(x)的一条对称轴

8.已知，“为实数，直线4：mx+y-\=0,/,；(3m-2)x+my'-2=0,则“加=1”是“4//夕的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9.在棱长为。的正方体ABC。—A4a〃中，E、尸、M分别是A3、40、A4的中点，又尸、。分别在线段Ag、

4A上，且AP=AQ=根(0<根<a),设平面平面MPQ=/，则下列结论中不成立的是()

A.///平面BOD4B.l±MC

C.当机=4时，平面D.当机变化时，直线/的位置不变

2

10.设全集U={X€Z|(X+1)(X—3)<0},集合A={0,l,2},则C°A=()

A.{-1,3}B.{-1,0}C.{0,3}D.{-1,0,3）

11.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为［0,+8）的是（）

A.^=|lg（x+l）|B.）,=%C.y=2*D.y=ln|x|

12.已知平面向量”，b>c满足：a-^=0,|c|=l,|<z-c|=|/?-c|=5,则。一人的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.抛物线J/=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为.

14.已知抛物线。：产=16》的对称轴与准线的交点为加，直线/：y=丘一4攵与。交于A,B两点,若

\AM\^4\BM\,则实数上=.

15-函数/（八通+3cos2/昌〈的值域为——•

16.在ABC中，角A，B,C所对的边分别边仇c,且2c，设角C的角平分线交A3于点。，贝！1cosc

的值最小时，丝=__•

AD

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在A/WC中，yfiasinC=ccosA.

（I）求角4的大小；

（II）若5MBe=6，b+c=2+26,求。的值.

18.（12分）已知在..49C中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且。=竺!”二W二.

sinsinC

（1）求角A的值；

（2）若。=百，设角B=e,周长为y,求y=/（8）的最大值.

19.（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环

保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下:

AQI[0,50](50,100](l(X),150](150,200](200,250](250,300]

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

天数61418272510

(1)从空气质量指数属于［0,50］,(50,1()0］的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

0,媛100,

(2)已知某企业每天的经济损失》(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y=220,100<%,250,,试估计该

1480,250c%,300,

企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.

20.(12分)已知函数/(x)=e*+sinx-ox2-2x.

(1)当。=0时，判断/(x)在上的单调性并加以证明；

(2)若xNO,求。的取值范围.

21.(12分)如图，在三棱锥中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90,平面PABL平面ABC,

D、E分别为A3、AC中点.

(1)求证：ABLPEi

(2)求二面角A-依一石的大小.

22.(10分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环

保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(4QQ的检测数据，结果统计如表：

AQI[0,50](5(),KM)](100,150](150,20()](20(),250](250,300]

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染

天数61418272510

(1)从空气质量指数属于［0,50］,(50,100］的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

0,94x4100

(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为y=<220,100<x<250,

1480,250Vx4300

假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为

，「，!，,，二J.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.

63612126

(0记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

(«)试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你

的理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.

【详解】

A.由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；

B.由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；

C.入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；

D.由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对

应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.

2.C

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点。时，二取得最大值.

【详解】

解：作出约束条件表示的可行域是以(-1,0),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部，如下图表示：

当目标函数经过点C(2,3)时，二取得最大值，最大值为7.

【点睛】

本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.

3.C

【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4,然后借助于三角函

数的周期性确定其值即可.

【详解】

解：/(%)=sin2—x->/3sin—xcos-x.

444

1,,万、百.乃

=-(l-cos—%)---sin—x

2222

5呜令+(

/(X)=-Si呜X+£+；,

T2兀

・•・/(X)的周期为7T,

2

〃1)=?42)=1，〃3)=¥，"4)=0,

.41)+〃2)+〃3)+〃4)=2.

.••/(1)+/(2)++/(2020)

=505x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]

=505x2

=1010.

故选：c

【点睛】

本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于

中档题.

4.C

【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程，再对照系数求解即可.

【详解】

4

因为准线方程为y=1,所以抛物线方程为/=-4y,所以3a=-4,即«=

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.

5.C

【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③.

【详解】

①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接

近于0;故②为真命题；

③对分类变量x与y的随机变量K?的观测值攵来说，z越小，“x与y有关系”的把握程度越小，故③为假命题.

故选：c.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题.

6.A

【解析】

设所求切线的方程为y=丘，联立卜=丫（",°）,消去）'得出关于x的方程，可得出A=0,求出k的值，进而求得

切点P的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

设所求切线的方程为＞=h，则左＞0,

联立卜消去y得/—履+1=0①，由△=公一4=0,解得攵=2,

[y=x+1

方程①为x2—2x+l=0,解得x=l,则点尸(1,2),

1/1\1

所以，阴影部分区域的面积为5=]优+1-2x)心:二耳炉一炉+工1=

S1

矩形OAPB的面积为S'=1x2=2,因此，所求概率为尸=刀=7.

S6

故选：A.

【点睛】

本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

7.A

【解析】

根据函数“X)的图像过点(0,2),求出出可得"x)=cos2x+l,再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.

【详解】

由函数/(x)=2sin(x+26>cosx(0<^<|)的图象过点(0,2),

可得2sin26=2,即sin26=1,

0=-,

24

故/(x)=2sin(x+2(9)-cosx=2cos2x=cos2x+1,

对于A,由一1WCOS2XV1,则04_y(x)<2,故A正确；

对于B,当x=?时，=故B错误；

对于C,T=M=%，故C错误；

2

对于D,当》=七时，=故D错误；

414；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.

8.A

【解析】

根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

当m=l时，两直线方程分别为直线h：x+y-1=0,h：x+y-2=0满足h〃L,即充分性成立，

当m=0时，两直线方程分别为y-1=0,和-2x-2=0,不满足条件.

、“……，，3m-2m-2

当！11邦时，贝！Jh〃12n----------=一。—，

m1-1

3777—2

由------=一得m?-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

,tn-2..

由一本—得mr2,则m=l,

1—1

即“m=l”是“h〃L”的充要条件，

故答案为：A

【点睛】

(D本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能

力.(2)本题也可以利用下面的结论解答，直线4X+Zv+q=0和直线的X+为y+，2=。平行，则。倒一44=0且两

直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.

9.C

【解析】

根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.

【详解】

因为=AQ=加，所以。。//8Q,因为E、F分别是的中点，所以ER/ABO,所以PQ//EF,因为面例瓦丫)

面MPQ=/，所以PQ〃EF〃/.选项A、D显然成立；

因为BD//EF//1,或＞，平面ACGA，所以/，平面ACG4，因为MCu平面ACGA，所以/，MC，所以B项成

立；

易知AG，平面MEF,4。，平面MP0而直线AG与4。不垂直，所以C项不成立.

故选:C

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.

10.A

【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A的补集.

【详解】

由(x+l)(x—3)40解得—1«XK3,故。={—1,0,1,2,3},所以G/A={-1,3},故选A.

【点睛】

本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

11.B

【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.

【详解】

对于A,y=|ig(x+i)|图象如下图所示：

则函数y=|ig(x+i)|在定义域上不单调，A错误;

对于8,y=f=«的图象如下图所示：

则＞=«在定义域上单调递增，且值域为［0,”)，8正确;

对于C,y=2'的图象如下图所示：

则函数y=2、单调递增，但值域为(0,+力)，C错误;

对于。，y=ln|x|的图象如下图所示：

则函数y=In凶在定义域上不单调，。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.

12.B

【解析】

建立平面直角坐标系，将己知条件转化为所设未知量的关系式，再将（一彳的最小值转化为用该关系式表达的算式,

利用基本不等式求得最小值.

【详解】

建立平面直角坐标系如下图所示，设c=（cos&sin。），OA=a,OB=b,且A（m,0）,8（0,力），由于

|dJ-c|=|/?-c|=5,所以根,〃E[4,6].

。一°=（加一cos。，一sin6）,b-c=（-cos九一sin.所以

nr-2mcos0+cos2。+sin?。=25

即JV1+/=48+2mcos6+2〃sin6・

n2-2nsin+sin2O+cos?8=25

卜一〃卜（〃_c）_（b一〈j=>/48+2mcos^+2/?sin0

=J%?+*之.当且仅当m-n时取得最小值，此时由m2+/=48+2mcos6+2〃sin6得

2m2=48+2m(sin<9+cos6^)=48+2V2msinJ,当夕=子时，2〃/有最小值为48—2及“，即

l5乃rr

2m2=48—2\/2m>m2+>/2m-24=0，解得〃2=3，5•所以当且仅当根=力=3\/2,8=1•时a—b有最小值为

,2x(3可=6.

故选：B

本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为（毛,%），根据抛物线的定义求得.%，并求出对应的即可得出结果.

【详解】

设抛物线上任意一点的坐标为（事,为），

抛物线y2=4x的准线方程为x=-l,由抛物线的定义得X。+1=1,解得.%=0,此时%=0.

因此，抛物线y2=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.

4

14.±-

3

【解析】

由于直线/：》=依-4〃过抛物线。的焦点，因此过A,B分别作。的准线的垂线，垂足分别为P,Q,由抛物线的

IAFl

定义及平行线性质可得匕4=4,从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率.注

\BF\

意对称性，问题应该有两解.

【详解】

直线/：丁=履一4"过抛物线。的焦点少(4,0),p=8,过A，B分别作C的准线的垂线，垂足分别为尸，Q,由抛

物线的定义知|AP|=|AE|,\BQ\=\BF\.

IpMIIAFIIAPI

因为AP//MFV/5Q,所以扁^=篇=篇.因为NAPM=NBQM=90°,

IIIIII

所以AAPMMO"'从而盟=^=需="

设直线/的倾斜角为a,不妨设04a＜：,如图，贝（IIAFITAHT^I+IA耳cosa=p+|AF|cosa,

|AF|=—B_,同理忸耳=一-,

1-cosa1+cosa

P

则|A万|_l—cosa一l+cosa=4,

|BF|E1-coscz

1+cosa

343

解得cosa=—,Z:=tantz=-,由对称性还有Z=--满足题意.

534

,4

,综上，k=±—.

3

【点睛】

本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起

来是解题关键.

氏七金］

8

【解析】

利用换元法，得到g(t)=P-3t2+3,tw-白，1，利用导数求得函数g(t)的单调性和最值，即可得到函数的值域,

得到答案.

【详解】

7T兀

由题意，可得f(x)=sin、+3cos2x=sin、一3sin2x+3,x£-y,

rnr

☆t=sinx,tG——,1,即g(t)=t"—3t?+3,tG——,1

则g(t)=3t2_6t=3t(t-2),

当—#<t<0时，g'(t)>o,当0<t<l时，g'(t)>0,

即y=g(t)在-等,0为增函数，在［0,1］为减函数,

又4-亭)=^^g(0)=3,g(l)=l，

故函数的值域为：呼8,3.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数g(r),

再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题.

16仇

10.---

3

【解析】

根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出cosC2巫二史，再利用正弦定理，即可得出殷.

4AD

【详解】

因为4+x/2h=2c，则c=a*®。,

由余弦定理得：

222

a+b-c/+/_；(〃+伍)23Q2+2h2_2亿人

cosC=--------------=---------------------------=-----------------------

2ab2abSab

、246ab-2y/2abV6-V2

——,

8ab4

当且仅当岛=y[2b时取等号，

又因为——_----,———=--一,

sinZBCDsinZCDBsinZACDsinZCDA

%a。V2。V6

故答案为：巫.

3

【点睛】

本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)A=-；(2)a=2.

6

【解析】

试题分析：(1)由正弦定理得到、QsinA-sinC=sinC-cosA.消去公因式得到所以tanA=@.

3

进而得到角A；(2)结合三角形的面积公式，和余弦定理得到8+0=2+26,联立两式得到。=2.

解析:

(I)因为gasinC=ccosA，所以cosAwO,

tab

由正弦定理mr一；=二一

sinAsinBsinC

得GsinA-sinC=sinC-cosA.

又因为Ce(O,^),sinCwO,

所以tanA=.

3

又因为Ae(O,不)，

TT

所以A=J.

6

(II)由S1MBe=g〃csinA=；Z?c=G,得尻=46,

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA>

得/=/+c2-2/?ccos—,

6

即/二伍+4—2bc-屉c=(O+c)2-8g-12,

因为b+c=2+2g.

解得a2=4.

因为a>(),

所以a=2.

18.(1)J；(2)>max=3"

【解析】

71

(D利用正弦定理，结合题中条件，可以得到6+,2=合+历，之后应用余弦定理即可求得A=§

(2)利用正弦定理求得匕=2sin6,求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.

【详解】

,、.,asinA-csmC一工，.„,....八

(1)由己知。=-------------可得l)smB-bsme=asinA-csmC,

sinfi-sinC

b242_21

结合正弦定理可得从+=/+A，・・・cosA=

2bc2

又A£(0,万),・•,A=(.

bca

(2)由。=G，A=。及正弦定理得---=-：----=-----=2

sinBsinCsinA9

24

AZ?=2sinB=2sin6>,c=2sinC=2sin

-^y=a+b+c=V3+2sin^+2sin^^--^j,即y=2百sin[e+/)+百，

由o<e<竽,得〈着，，当6+看=会即。时，»=3技

【点睛】

该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.

23-

19.(1)——(2)9060元

114

【解析】

(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，分别求出

P(X=0),P(X=220),尸(X=1480),进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.

【详解】

解：(1)设自为选取的3天中空气质量为优的天数，则

P(O.2)=P(J=2)+尸值=3)=-^±+宣=甯

^20^20―

(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为0,220,1480,

701

P(X=O)=P((Mioo)=五=,

707

P(X=220)=P(100<^,250)=—=—,

P(X=1480)=P(250<%,300)=需=*,

171

所以EX=0x-+220x—+1480x—=302(元)，

51010

故该企业一个月的经济损失的数学期望为30EX=9060(元).

【点睛】

本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.

20.(1)/(x)在［0,+8)为增函数；证明见解析(2)

【解析】

(1)令g(x)=r(x)="+cosx-2,求出g'(x),可推得g(x)N0,故/(X)在［0,+8)为增函数;

(2)令g(x)=/'(x),则g'(x)=e'-sinx-2a,由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数。的取值范围.

【详解】

(1)当。=0时，(x)=ex+cosx-2.

记g(x)=/'(%),贝!jg'(x)=e"-sinx,

当xNO时，ex>1»-l<sinx<l.

所以g'(x)=e*-sinxN0,所以g(x)在［0,卡)。)单调递增，所以g(x)Ng(0)=0.

因为g(x)=r(x)，所以尸(幻NO,所以/(X)在［0,+8)为增函数.

(2)由题意，得/'(%)="+cos%-2ax-2,记g(%)=/'(%),贝!jg'(x)=e'-sinx-2〃，

令〃(x)=g'(x),贝U〃'(x)=e"-cosx,

当x20时，ev>1，所以/O)=e"-cosxNO,

所以h(x)在［0,为增函数，即g'(x)=e*-sin犬-2〃在［0,4w)单调递增，

所以gr(x)>g'(0)=e°-sin0-2a=l-2a.

①当1一2"20,a<1,g〈x)20恒成立，所以g(x)为增函数，即f(x)在［0,+8)单调递增，

又/'(0)=0,所以/'(x)NO,所以f(x)在［0,+s)为增函数，所以f(x)2/(0)=1

所以。4,满足题意.

2

②当a>g,g'(0)=l-2a<0,令“(x)=e*-尤-1,x〉0,

因为x>0,所以“'(x)=e'-l>0,故”(x)在(0,+°。)单调递增，

故M(X)>〃(0)=0,即e*>x+l.

故g'(2a)=e?"-sin2a-2a>2a+1-sin2a-2a>0,

又g，Q)=e*-sinx-2。在(0,+oo)单调递增，

由零点存在性定理知，存在唯一实数机e(0,y),g'(m)=0,

当xe(0,⑼时，g'(x)<0,g(x)单调递减，即/'(x)单调递减，

所以fXx)<八0)=()，此时八x)在(0,⑼为减函数，

所以/(x)</(0)=l，不合题意，应舍去.

综上所述，。的取值范围是。4」.

2

【点睛】

本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化

思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题.

21.(1)证明见解析；(2)60。.

【解析】

试题分析：

(1)连结产。，由题意可得以)_143,£：。，48,则45_1平面尸。封，ABLPEx

(2)法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为石，故二面角的A-PB-E大小为60。;

法二：以。为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面尸3E的法向量勺=9,2,6).平面的法向量为

%=(0,1,0).据此计算可得二面角的A—依—E大小为60。.

试题解析：

(1)连结PD,-：PA=PB,PDAB.vDEIIBC,BCAB,DEAB.

又YPDcDE=D,平面P〃E,〈PEu平面POE,

：.ABPE.

(2)法一：

PAB平面ABC,平面弘8'、平面PDAB,PD平面ABC.

贝！JOEPD,又EDA8,P£)n平面48=0,OEj平面

过。做。F垂直PB与F,连接EF,则EFPB,NDFE为所求二面角的平面角，

则：OE=|,。尸=乎，则相"NOF