高中高一数学各章知识点总结

中学高一数学各章学问点总结

中学高一数学必修1各章学问点总结

第一章集合和函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对

象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.

元素的无序性

说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或

者是或者不是这个给定的集合的元素。（2）任何一个给定的集合中，任何两

个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。（3）

集合中的元素是同等的，没有先后依次，因此判定两个集合是否一样，仅需

比较它们的元素是否一样，不需考查排列依次是否一样。（4）集合元素的三

个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：｛…｝如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋,大西洋，印度洋，

北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：｛我校的篮球队员｝｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：列举法和描述法。

留意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合

A的元素，就说a属于集合A记作a《A，相反,a不属于集合A记作a

A

举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集

合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条

件表示某些对象是否属于这个集合的方法。①语言描述法：例：{不是直角三

角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式3>2的解集是{x3>2}或

{3>2}

4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含

有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{2=-5）

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集留意：有两种可能（1）A是B的一部分,；（2）A和

B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2.“相等”关系（525,且5W5,贝！I5=5）实例：

设{27=0}{-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A和B,假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，

同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,

即：①任何一个集合是它本身的子集。AA②真子集:假如AB,且AB

那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）③假如AB,BC

那么AC④假如AB同时BA那么

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①规定：空集是任何集合的子

集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义：一般地，由全部属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做的

交集.

记作ACB（读作“A交B”），BPAH{GA,且xGB}.

2、并集的定义：一般地，由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,

叫做的并集。记作：AUB（读作"A并B"），即AU{GA,或XGB}.

3、交集和并集的性质：AAA=A,AA@=6,APB=BAA,AU

A=A,AU6=AUB=BUA.

4、全集和补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即）,由S中全部不属于A

的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记

作：即={xxS且xA}

（2）全集：假如集合S含有我们所要探讨的各个集合的全部元素，这个集合就

可以看作一个全集。通常用U来表示。（3）性质：⑴（C）⑵（C）n

①⑶0U

二、函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，假如依据某个确

定的对应关系f,使对于集合A中的随意一个数x,在集合B中都有唯一确定的

数f（x）和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数.记

作：（x）,xGA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

和x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x£A}叫做函数的

值域.留意：02假如只给出解析式（x）,而没有指明它的定义域，则函数的定

义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；03函数的定义域、值域要写

成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函

数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母不等

于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必需大于零;

（4）指数、对数式的底必需大于零且不等于1.（5）假如函数是由一些基本函

数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组

成的集合.（6）指数为零底不行以等于零（6）实际问题中的函数的定义域还要

保证明际问题有意义.（又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。）

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再留意：（1）构成函数三个

要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系确定的，所

以，假如两个函数的定义域和对应关系完全一样，即称这两个函数相等（或为

同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样，而

和表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的推断方法：①表达式相同；②

定义域一样（两点必需同时具备）（见课本21页相关例2）

值域补充（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论实行什么方法求函

数的值域都应先考虑其定义域.（2）.应熟识驾驭一次函数、二次函数、指数、

对数函数及各三角函数的值域，它是求解困难函数值域的基础。

3.函数图象学问归纳（1）定义：在平面直角坐标系中，以函数（x）,（x

WA）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x,y）的集合C,叫做函

数（X）,（xWA）的图象.C上每一点的坐标（x,y）均满意函数关系（x）,反

过来，以满意（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x,y）,均在C上.即

记为｛P（）If（x）,xGA｝图象C一般的是一条光滑的连续曲线

（或直线），也可能是由和随意平行和Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲

线或离散点组成。

（2）画法A、描点法：依据函数解析式和定义域，求出的一些对应值并列表，

以（）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x,y）,最终用平滑的曲线将这些点连

接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即

平移变换、伸缩变换和对称变换

（3）作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思

路。提高解题的速度。发觉解题中的错误。

4.快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示.

5.什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对

应法则f,使对于集合A中的随意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素

y和之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：

AB”给定一个集合A到B的映射，假如aweB.且元素a和元素b对应，那

么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一

种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；

②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它和从B到A的对

应关系一般是不同的；③对于映射f：A-B来说，则应满意：（I）集合A中的

每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（II）集合A中不同的元素,

在集合B中对应的象可以是同一个；（III）不要求集合B中的每一个元素在集合

A中都有原象。

6.常用的函数表示法及各自的优点：O1函数图象既可以是连续的曲线，

也可以是直线、折线、离散的点等等，留意推断一个图形是否是函数图象的依

据；02解析法：必需注明函数的定义域；。3图象法：描点法作图要留意:

确定函数的定义域；化简函数的解析式；视察函数的特征；04列表法：选取

的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.留意啊：解析法：便于算出函

数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数（参见课本P24-25）在定义域的不同部分上有不

同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必需把自变量代入相应的

表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同

的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值状

况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的

定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

补充二：复合函数假如(u),(u6M)(x),(xWA),贝[g(x)](x),(x@A)称

为f、g的复合函数。例如：22(X2+1)

7.函数单调性

(1).增函数设函数(x)的定义域为I,假如对于定义域I内的某个区间D内

的随意两个自变量xl,x2,当xl〈x2时，都有f(xl)<f(x2),那么就说f(x)在

区间D上是增函数。区间D称为(x)的单调增区间(睇清晰课本单调区间的概

念)假如对于区间D上的随意两个自变量的值xl,x2,当xl<x2时，都有

f(xl)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为(x)的单调减

区间.留意：O1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的

局部性质；02必需是对于区间D内的随意两个自变量xl,x2；当xl〈x2时,

总有f(xl)<f(x2)o

(2)图象的特点假如函数(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数(x)

在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上

升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间和单调性的判定方法

(A)定义法：

O1任取xLx2£D,且xl〈x2；02作差f(xl)—f(x2)；03变形(通常

是因式分解和配方)；04定号(即推断差f(xl)—f(x2)的正负)；05下结

论(指出函数f(X)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性复合函数f［g(x)］的单调性和构成它的函数(x),(u)

的单调性亲密相关，其规律如下：函数单调性(x)增增减减(u)增减

增减：g(x)］增减减增留意：1、函数的单调区间只能是其定义域的

子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选

修里学习简洁易行的导数法判定单调性吗？

8.函数的奇偶性

(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x,都有f(—x)(x),

那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x,都有f(—x)=

-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.留意：O1函数是奇函数或是偶函数称为

函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能

既是奇函数又是偶函数。02由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的

一个必要条件是，对于定义域内的随意一个x,则一x也肯定是定义域内的一个

自变量(即定义域关于原点对称).(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶

函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义推断

函数奇偶性的格式步骤：O1首先确定函数的定义域，并推断其定义域是否关

于原点对称；02确定f(-x)和f(x)的关系；03作出相应结论：若f(一

x)=f(x)或f(―x)—f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(―x)=—

f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.留意啊：函数定义域关

于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点

对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再依据定义判定；(2)有

时判定f()=±f(x)比较困难,可考虑依据是否有f()±f(x)=0或f(x)()=±1

来判定；（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个

变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的

定义域.（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法

等，假如已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f［g（x）］

的表达式时，可用换元法，这时要留意元的取值范围；当已知表达式较简洁时,

也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）

10.函数最大（小）值（定义见课本p36页）O1利用二次函数的性质（配

方法）求函数的最大（小）值02利用图象求函数的最大（小）值03利用

函数单调性的推断函数的最大（小）值：假如函数（x）在区间［a,b］上单调递增,

在区间［b,c］上单调递减则函数（x）在处有最大值f（b）；假如函数（x）在区间［a,

b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数（x）在处有最小值f（b）；

其次章基本初等函数

一、指数函数

（-）指数和指数塞的运算

1.根式的概念：一般地，假如，那么叫做的次方根（n），其中>1,

且£*.

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此

时，的次方根用符号表示.式子叫做根式（），这里叫做根指数

（）,叫做被开方数（）.当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个

数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用

符号一表示.正的次方根和负的次方根可以合并成土（>0）.由此可

得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作。

留意：当是奇数时，，当是偶数时，

2.分数指数幕

正数的分数指数幕的意义，规定：0的正分数指数塞等于0,0的负分数指数

幕没有意义

指出：规定了分数指数累的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数

指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕.

3.实数指数幕的运算性质

(1)•；

(2)；

(3)

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数()，其中x是自变量，

函数的定义域为R.留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零

和1.

2、指数函数的图象和性质a>l0<a<l

图象特征函数性质

向x、y轴正负方向无限延长函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非

奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为函数图象都过定点(0,

1)自左向右看，

图象渐渐上升自左向右看，图象渐渐下降增函数减函数在第一象

限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在其次象限内的图象纵坐标都小于1在其次象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值起先增长较慢，到

了某一值后增长速度极快；函数值起先减小极快，到了某一值后减小速度较慢;

留意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在［a,b］上，值域

是或；（2）若，则；取遍全部正数当且仅当；（3）对于指数

函数，总有；（4）当时，若，则；

二、对数函数

（一）对数

1.对数的概念：一般地，假如，那么数叫做以为底的对数，记

作：（一底数，一真数，一对数式）说明：O1留意底数的

限制，且；02；03留意对数的书写格式.两个重要对数：O1常

用对数：以10为底的对数；02自然对数：以无理数为底的对数的对

数.

2、对数式和指数式的互化对数式指数式对数底数-一募底数

对数-一指数真数一一暴

（二）对数的运算性质

假如，且，，,那么：

O1•+

02-

03.

留意：换底公式

（，且；，且；）.

利用换底公式推导下面的结论（1）（2）.

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定

义域是（0,+°°）.

留意：O1对数函数的定义和指数函数类似，都是形式定义，留意辨别。

如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

02对数函数对底数的限制：，且.

2、对数函数的性质：

a>l0<a<l

图象特征函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0,+8）图象

关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延长函数的值域为

R函数图象都过定点（1,0）自左向右看，图象渐渐上升自左向右看，图

象渐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象

纵坐标都大于0其次象限的图象纵坐标都小于0其次象限的图象纵坐标

都小于0

（三）嘉函数

1、塞函数定义：一般地，形如的函数称为幕函数，其中为常数.

2、幕函数性质归纳.（1）全部的基函数在（0,+8）都有定义，并且图象都

过点（1,1）;

（2）时，惠函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特殊地，当时,

募函数的图象下凸；当时，辱函数的图象上凸；（3）时，幕函数的图象

在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右

方无限地靠近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地靠近轴正

半轴.

第三章函数的应用

一、方程的根和函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象和轴

交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象和轴有交点函数有

零点.

3、函数零点的求法：

求函数的零点：O1（代数法）求方程的实数根；

02（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它和函数的图象联系起

来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数.

1）△>0,方程有两不等实根，二次函数的图象和轴有两个交点，二次

函数有两个零点.

2）△=（）,方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象和轴有一个交

点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3）△<0,方程无实根，二次

函数的图象和轴无交点，二次函数无零点.

中学高一数学必修4各章学问点总结

基本三角函数

I

aa

aEI-eI、III

2

aGII-GI、III

2

aeIII-ell>IV

2

a£IV-ell>IV

2

II终边落在x轴上的角的集合：{a|a=6,Kwz}终边落在y轴上的角的

集合：终边落在坐标轴上的角的集合：

。基本三角函数符号记

f7.“一仝一7F移二切叩

倒数关系：正六边形对角线上对应余弦”‘一‘一’的三

角函数之积为1

平方关系：

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等和对

边对应的三角函数的平方

乘积关系：

Sina-tanaCosa,顶点的三角函数等于相

邻的点对应的函数乘积

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以〃上弦、中切、下割；左正、右余、中间1〃的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形随意一顶点上的函数值等于和它相邻的两个顶点上函数

值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平

方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

m诱导公式终边相同的角的三角函数值相等

Sin{a+2k乃)=Sina,kez

Cos{cc+2k兀)=Coscc,kez

tan(6z-+-2,k7V)=tancc,kez

角a与角-c关于x轴对称

角万-a与角a关于y轴对称

角"+a与角a关于原点对称

角1-a与角a关于y=x对称

上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变,符号看象限”

IV周期问题

y=ASin^cax+cp),A>O,>O,T=——

3

y=ACosicax+cp),A>O,69>O,T=「兀-

co

y=\ASir^cux+(p)|,A>O,>O,T=—

y=|ACos(&jx+(p)|,A>O,>O,T=—

y=\A.Sin(<aj!X-+-<p)-+-b|,A>O,<2?>O,bHO,

y=\A.COS(OJX+0)+t>[,A>O,>O,t>KO

y=Atan(6ux+^>),A>0,69>0,T=—

co

y=ACO\[(DX+0)，A>0,0>0,T=—

co

y=\Atan{ct2x+(p)|,A>0,69>0,T=—

y=\ACO\{(DX+(p)|,A>0,>0,T=—

co

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为:

对于k・口/2土a(kGZ)的个三角函数值,

①当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不变更;

②当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即---＞一.

(奇变偶不变)

然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。

(符号看象限)

例如：

(2n—a)=(4•n/2—a),k=4为偶数,所以取a。

当a是锐角时，2n—a£(270°,360°),(2n—a)<0,符号为“一

所以(2n—a)=-a

记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把a视为锐角时，角k・360°+a(kez),-a、180°±a,

360°-a

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何推断，也可以记住口诀“一全正；二正弦;

三为切；四余弦”.

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；

其次象限内只有正弦是“+”，其余全部是“一”；

第三象限内切函数是“+”，弦函数是“一”；

第四象限内只有余弦是“十”，其余全部是“一”.

V三角函数的性质

性质y=Sinxy=Cosx

定义域RR

值域[T，I][T，I]

2万2乃

周期性

奇偶性奇函数偶函数

单调性[2攵乃-肛2kr]攵wz,增函数

2K7T------2k兀+一kGZ,增函多

_22_[1k兀,2k兀+41%£z,减函数

_,71..3%

2k兀〜——2卜九-----,kez,减函彳贤

_22

对称中(2肛0),kwz

心

对称轴x=kjr,kez

\

图

l/-<~1一»***«•9-•«X•*T,*Ktt•»•♦一•/—•■«•«•

二J9^0“11•

像

定义域(xlx¥K兀,K£z}

值域RR

71兀

周期性

奇偶性奇函数奇函数

单调性（左;T—十三）,4€Z,增函数(k7C,k7T+7v\k€Z,增函数

(ASTF,O),左WZ

对称中

振幅变更：y=S2--------►y=ASinx左右伸缩变更：

------►y=ASincox左右平移.变更——►y=ASilcox+cp）

上下平移变更------►y=ASiMcac++k

VI平面对量共线定理：一般地，对于两个向量3（口。恢如果有

一个实数1,使筋=筋，区丰旗贝区与）是共线向量；反之如鬼心是共线向量

那么又且只有一个实麴，使筋=

VD线段的定比分点

J当2=1时J当;1=1时

线段中点坐标公式线段中点向量公式

vm向量的一个定理的类似推广

向量共线定理:

J推广

平面对量基本定理:（其中3,最为该平面内的两个

a=4q+4e2[不共线的向量

J推广

CI=4%+4）+43%，

空间向量基本定理:

（其中为该空间内的三4c

〔不共面的向量，

IX——般地，设向量。=（用,%）,否=（》2，、2）且。工6,如惑〃钻K&M—工2y1=。

反过来，假如为必一"2M=。，贝切〃B-

X一般地，对于两个非零向量Z5有1・分=丽。3夕，其中e为两向量的

夹角。a$。=备=/:£+%一，

HW]x；+y；+为

特殊的，a•a=a=|a|或者口=jZ・a

为如果a=（x],yj,刃=（X2，为）且a片。，则。・1=玉々+%%

特别的,♦_!_]=xtx2+yty2=0

xn若石?边形44…A”的中心为。，则就+丽+—+西=6

三角形中的三角问题

A+8+C=乃,-----------=—,------=-------

22222

Sin(A+8)=Si〃(C)Cos(A+3)=-Cos(C)S”=；,=Cos|

「(A+B\...(C\

I2J12J

正弦定理：施=品=轰=2R=SEA：蓝;SEC

余弦定理.a~=b2+c2-2bcCosA,b2=tz2+c2-2acCosB

c2=a2+b2-2abCosC

h2+c2-a2a2+c2-b2

CosA=--------------,CosB=

2bc2ac

变形:

CosC=

2ah

tanA4-tanB+tanC=tanAtanBtanC

三角公式以及恒等变换

两角的和和差公式：Sin(a+/?)=SinaCosp+CosaSinp.S'(a+Z?)

Sinicc—/?)=SinccCos/3—CosocSinp,S,(a-⑶

Cos(a+⑶=CosaCosp-SinaSin/3,C,

Cos(a-/?)=CosaCosp+SinaSinp,C

tana+tanp=tan(a+6)(1-tanatanp)

tan(a+0J^a+tan/?变形

T:tana-tanp—tan(a一4+tanatan/7)

1-tanatanptana+tanp+tan%=tanatanptan%

tan(a-0=tana-tan/其中a,#，Z为三角形的三个内角

，兀刖

1+tanatanp

二倍角公式：Sin2a=2Si〃aCcsa

Cos2a=2cos2a—1=1—2s加2a=Cos2cc—Sin1oc

-2tanex.

tan2a=-------；——

1—tan~cc

半角公式:Sina1-Cosa

14-CosaSina

降幕扩角公式_014-Cos2.CZc.21—Cos2.ee

:Cos-a=---------------,Sina=---------------

22

SinocCosp=\Sin[a+/7)+Sin[a—尸)]

积化和差公式：CosaSinp—\Sin[a+/?)—Sin[a—/?)]

CosaCos/3=g\Cos(a+/7)+Cos(a—/7)]

SinocSin/3=—g\Cos(a+p)—Cos{a—/?)]

Sina+Sin。=2s.y)c.s[J)

和差化积公式：Si〃。-S,•叩=2C«¥>“f)()

Cosa+Cos/3=2cos；,Cos]0丁)

Cosa-Cos/3=-2Si〃(与与乡

和差化积公式推导

首先，我们知道()**()**

我们把两式相加就得到()()=2*

所以*(()0)/2

同理,若把两式相减,就得到*(00)/2

同样的，我们还知道()**()**

所以,把两式相加,我们就可以得到()()=2*

所以我们就得到*(()())/2

同理,两式相减我们就得到*(()())/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式：

*(()())/2

*(()0)/2

*(()0)/2

*(()0)/2

好,有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形,就可以得到和差化积的

四个公式.

我们把上述四个公式中的设为设为y,那么()/2()/2

把分别用表示就可以得到和差化积的四个公式：

2(()/2)*(()/2)

2(()/2)*(()/2)

2(()/2)*(()/2)

2(()/2)*(()/2)

2tan—

Sina=---------——

1«4-ta2na—

2

万能公式：(S+T-C-+)

Cosex=------------

1i+tan2a—

2

附推导：2a=2aa=2aa/(*2(a)-2(a)).....*,(因为

~2(a厂2(a)=l)再把*分式上下同除「2(a),

可得2a=2a/(l+-2(a))然后用a/2代替a

即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能

公式可通过正弦比余弦得到

三倍角公式：S⑦3。=3Sin0-tan3e=3tan6>-t：n'"

Cos30=4cos38-3cos31-3tan20

“三四立，四立三，中间横个小扁担”

三倍角公式推导

3a=3a3a

=(2aa+2aa)/(2aa2aa)

=(2a^2(a)+-2(a)a-'3(a))/(*3(a)-a'2(a)-2*2(a)a)

上下同除以“3(a),得：

3a=(3a-*3(a))/(l-3*2(a))

3a=(2a+a)=2aa+2aa

=2a-2(a)+(1—2*2(a))a

=2a—2*3(a)+a-2-2(a)

=3a—4*3(a)

3a=(2a+ci)=2aa—2aa

=(2^2(a)—1)a—2a-2(a)

=2'3(a)—a+(2a—2*3(a))

=4~3(a)—3a

即3a=3a-4'3(a)

3a=，3(a)-3a

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似

“正弦”))

余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有“余”)

☆☆留意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

b

1.y=aSina+bCosa=>Ja2+b2Sin(a+(p)其中，tancp=一

2.y=aCosa+bSina=yja2+b2Sin[a+(p)其中，tan0=5

b

=Jq2+/—cp)其中，tancp=一

b

3.y=aSina—bCosa=yja2-i-b2Sin(a—cp)其中，tan0=一

a

a

=-yja2+b2Cos(a+0)其中，tan^?=—

4.y=aCoscc—bSina=yja~+b2Sin{(p—a)

=—yja2+b2Sin{a一0)其中，tan<p=—

b

=y/a2+h2Cos{<p+a)其中，tan<p=—

a

注：不同的形式有不同的化归，相同的