考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷1（共131题）

考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷1（共5套）（共131题）考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设随机变量Xi～(i=1，2)且满足P{X1X2=0}=1，则P{X1=X2}等于()A、0B、C、D、1标准答案：A知识点解析：由P{X1X2=0}=1得知，P{X1X2≠0}=0。于是根据X1，X2的分布律，有P{X1=—1，X2=—1}=0，P{X1=—1，X2=1}=0。P{X1=1，X2=—1}=0，P{X1=1，X2=1}=0。再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X1，X2)的联合分布律如下表由上表显然可见，X1=X2有三种情况，每种情况的概率均为0，因此P{X1=X2}=0，故选A。2、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是()A、X2B、X—YC、X+YD、(X，Y)标准答案：D知识点解析：根据X，Y的独立性可知，(X，Y)的联合密度f(x，y)=因此(X，Y)服从区域D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1}上的二维均匀分布，故选D。3、设随机变量X和Y独立同分布，已知P{X=k}=p(1—p)k—1，k=1，2，…，0＜P＜1，则P{X＞Y}的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据对称性得知P{X＞Y}=P{X＜Y}=(1—P{X=Y})。故选B。4、设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是()A、若X与Y不相关，则X2与Y2不相关。B、若X2与Y2不相关，则X与Y不相关。C、若X与Y均服从正态分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价。D、若X与Y均服从0—1分布，则X与Y独立和X与Y不相关等价。标准答案：D知识点解析：对于选项D：设X～B(1，P)，Y～B(1，q)，当X与Y独立时X与Y不相关。反之，当X与Y不相关，即E(XY)=E(X)E(Y)=pq时，可得分布律如下表所示由此可知X与Y独立。故此时X与Y独立和X与Y不相关等价，故选D。根据不相关的性质可排除A、B。对于选项C，当X与Y均服从正态分布时，(X，Y)未必服从二维正态分布，故C选项不正确。5、设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数()A、是连续函数。B、至少有两个间断点。C、是阶梯函数。D、恰好有一个间断点。标准答案：D知识点解析：分布函数F(x)在x0点连续的充要条件为P{X=x0}=0。P{Y=2}=P{X≥2}=∫2+∞λe—λxdx≠0，因为X为连续型随机变量，在单点处的概率为0，所以对任意a＜2，P{Y=a}=P{X=a}=0。综上所述，随机变量的分布函数Y恰好有一个间断点，故选D。二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、设平面区域D由曲线y=及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为_________。标准答案：知识点解析：区域D的面积为SD==2。因此(X，Y)的联合概率密度是f(x，y)=且其关于x的边缘概率密度为fX(x)=∫—∞+∞fx(x)dy=因此可知fX(2)=7、设随机变量X与Y独立同分布，且都服从p=的0—1分布，则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为_________。标准答案：知识点解析：根据题意显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=，P{Z=1}=1—P{Z=0}=所以Z的分布律如下表所示8、设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜y}=_________。标准答案：知识点解析：因为(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X—Y～N(0，2σ2)，从而P{X＜Y}=P{X—Y＜0}=。三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布如下表所示试求：9、X与Y的边缘分布律，并判断X与Y是否相互独立。标准答案：因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以p1.=p2.=P3.=p4.=；P.1=；P.2=；P.3=；p.4=，(Pi.=P{X=i}，P.j=P{Y=j})假如随机变量X与Y相互独立，就应该对任意的i，j都有pij=pi.P.j而本题中p14=0，但是p1.与p.4均不为零，所以P14≠p1.p.4，故X与Y不是相互独立的。知识点解析：暂无解析10、P{X=Y}。标准答案：P{X=Y}=。知识点解析：暂无解析11、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。标准答案：填入数据之后的表格如下所示：知识点解析：暂无解析12、编号为1，2，3的三个球随意放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒仅放一个球，令求(X1，X2)的联合分布。标准答案：如果将3个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为3!=6，P{X1=1}=P{1号球落入1号盒}=,P{X1=0}=，同理，P{X2=1}=，P{X2=0}=，又P{X1=1，X2=1}=P{1号球落入1号盒，2号球落入2号盒}=，依次可求得(X1，X2)的联合分布如下表所示知识点解析：暂无解析设随机变量X与Y独立，X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，求：13、二维随机变量(X，Y)的联合概率密度。标准答案：已知X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从指数分布e(2)，因此可得根据随机变量独立的性质，可得知识点解析：暂无解析14、概率P{X≤Y}。标准答案：当x＜0或者x＞2时，f(x，y)=0，因此区域x≤y为y轴和x=2之间，且在直线y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=。15、计算两个边缘概率密度。标准答案：当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫x+∞e—ydy=e—x，即当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫0ye—ydx=ye—y，即fY(y)=知识点解析：暂无解析16、求条件概率密度fY｜X(y｜x=2)。标准答案：fY｜X(y｜x=2)=知识点解析：暂无解析17、求条件概率P{Y≤1｜X≤1}。标准答案：X≤1，Y≤1所对应的区域如图3—3—3所示：知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：18、(X，Y)的边缘概率密度fX(x)，fY(y)。标准答案：已知(X，Y)的概率密度，所以关于X的边缘概率密度fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=所以，关于Y的边缘概率密度fY(y)=∫—∞+∞f(x，y)dx=知识点解析：暂无解析19、Z=2X—Y的概率密度fZ(z)。标准答案：设FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X—Y≤z}。(1)当z＜0时，FZ(z)=P{2X—Y≤z}=0；(2)当0≤z＜2时，FZ(z)=P{2X—Y≤z}=z—z2；(3)当z≥2时，FZ(z)=P{2X—Y≤z}=1。所以FZ(z)的即分布函数为FZ(z)=故所求的概率密度为fZ(z)=知识点解析：暂无解析已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为20、试求(X，Y)的边缘概率密度fX(x)，fY(y)，并问X与Y是否独立。标准答案：画出f(x，y)非零定义域，应用定义、公式进行计算。fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=同理因为fX(x)fY(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独立。知识点解析：暂无解析21、令Z=X—Y，求Z的分布函数FZ(z)与概率密度fZ(z)。标准答案：分布函数法。Z=X—Y的分布函数为FZ(z)=P{X—Y≤z}=(1)当z≤0时，如图3-3-7所示，有(2)当z＞0时，如图3-3-8所示，有综上得，FZ(z)=由于FZ(z)为z的连续函数，除z=0外，导函数存在且连续，故知识点解析：暂无解析假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=—1}=，P{Y=1}=。求：22、Z=XY的概率密度fZ(z)。标准答案：根据题意，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=—1}P{XY≤z｜Y=—1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1}=P{Y=—1}P{—X≤z｜Y=—1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}=P{Y=—1}P{X≥—z}+P{Y=1}P{X≤z}=[1—P{X＜—z}]+P{X≤z}=即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为fZ(z)=φ(z)=。知识点解析：暂无解析23、V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)。标准答案：由于V=｜X—Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}=0；当v≥0时，FV(v)=P{—v≤X—Y≤v}=P{Y=—1}P{—v≤X—Y≤v｜Y=—1}+P{Y=1}P{—v≤X—Y≤v｜Y=1}=P{—v—1≤X≤v—1｜Y=—1}+P{—v+1≤X≤v+1｜Y=1}=P{—v—1≤X≤v—1}+P{—v+1≤X≤v+1}=[Φ(v—1)—Φ(—v—1)]+[Φ(v+1)—Φ(—v+1)]=Φ(v—1)—[1—Φ(v+1)]+Φ(v+1)—[1—Φ(v—1)]=Φ(v—1)+Φ(v+1)—1。综上计算可得，FV(v)=由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为知识点解析：暂无解析考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，边缘分布为FX(x)和FY(y)，则概率P{X＞x，Y＞y}等于()A、1—F(x，y)。B、1—FX(x)—FY(y)。C、F(x，y)—FX(x)—FY(y)+1。D、FX(x)+FY(y)+F(x，y)—1。标准答案：C知识点解析：记事件A={X≤x}，B={Y≤y}，则P{X＞x，Y＞y}==1—P(A∪B)=1—P(A)—P(B)+P(AB)=1—P{X≤x}—P{Y≤y}+P{X≤x，Y≤y}=1—FX(x)—FY(y)+F(x，y)，故选C。2、已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜—1＜x＜1，—1＜y＜1}上服从均匀分布，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据题设知(X，Y)的概率密度函数为由于P{min(X，Y)≥0}=P{X≥0，Y≥0}=。因P{max(X，Y)≥0}=1—P{max(X，Y)＜0}=1—P{X＜0，Y＜0}=所以A、B、C三项都不正确，故选D。3、设相互独立的随机变量X和Y均服从P(1)分布，则P{X=1｜X+Y=2}的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：P{X=1｜X+Y=2}=。P{X=1，X+Y=2}=P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=e—1.e—1=e—2。所以P{X=1｜X+Y=2}=，故选A。4、设随机变量X与Y相互独立，且，则与随机变量Z=Y—X同分布的随机变量是()A、X—Y。B、X+Y。C、X—2Y。D、Y—2X。标准答案：B知识点解析：由题意知，Z～N(1，1)，而X+Y～N(1，1)，故X+Y和Z是同分布的随机变量，故选B。5、设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则Z=max{X，Y}的分布函数FZ(z)是()A、max{FX(z)，FY(z)}。B、FX(z)+FY(z)—FX(x)FY(z)。C、FX(z)FY(z)。D、[FX(z)+FY(z)]。标准答案：C知识点解析：FZ(z)=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}.P{Y≤z}=FX(z).FY(z)，故选C。二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=则P{X+Y≤1}=_________。标准答案：知识点解析：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，求满足一定条件的概率P{g(X，Y)≤z0}，一般可转化为二重积分P{g(X，Y)≤z0}=进行计算。根据题设可得，如图3—3—1所示，7、假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且都服从0—1分布：P{Xi=1}=p，P{Xi=0}=1—p(i=1，2，3，4,0＜P＜1)，已知二阶行列式的值大于零的概率等于，则P=_________。标准答案：知识点解析：记△==X1X4—X2X3，则p应使P{△＞0}=P{X1X4—X2X3＞0}=P{X1X4＞X2X3}=，因为Xi仅能取1或0，且相互独立，故事件{X1X4＞X2X3}={X1X4=1,X2X3=0}，所以=P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=0}+P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=1}+P{X1=1，X4=1，X2=1，X3=0}=p2(1—p)2+p3(1—p)+p3(1—p)=p2(1—p2)=p2—p4，则p4—p2+。(P=不符合题意，故舍去)8、设随机变量X与Y均服从正态分布N(μ，σ2)，则P{max(X，Y)＞μ}—P{min(X，Y)＜μ}=_________。标准答案：0知识点解析：P{max(X，Y)＞μ}—P{min(X，Y)＜μ}=1—P{max(X，Y)≤μ}—[1—P{min(X，Y)≥μ}]=—P{max(X，Y)≤μ}+P{min(X，Y)≥μ}=—P{X≤μ，Y≤μ}+P{X≥μ，Y≥μ}=—P{X≤μ}+P{X≤μ，Y＞μ}+P{X＞μ，Y＞μ}=—P{X≤μ}+P{Y＞μ}。因为X与Y均服从正态分布N(μ，σ2)，所以P{X≤μ}=，P{Y＞μ}=，故P{max(X，Y)＞μ}—P{min(X，Y)＜μ}==0。三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)设ξ，η是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布率为P{ξ=i}=，i=1，2，3。又设X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)。9、写出二维随机变量的分布律，填在下表中：标准答案：根据X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)的定义可知，P{X＜Y}=0，即P{X=1，Y=2}=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0，同时有，P{X=1，Y=1}=P{ξ=1，η=1}=P{ξ=1}.P{η=1}=，P{X=2，Y=2}=P{ξ=2，η=2}=P{ξ=2}.P{η=2}=，P{X=3，Y=3}=P{ξ=3，η=3}=P{ξ=3}.P{η=3}=，P{X=2，Y=1}=P{ξ=1，η=2}+P{ξ=2，η=1}=，P{X=3，Y=2}=P{ξ=2，η=3}+P{ξ=3，η=2}=，P{X=3，Y=1}=；所以所求的分布律如下表所示知识点解析：暂无解析10、求随机变量X的数学期望E(X)。标准答案：X的边缘分布如下表所示因此X的数学期望为E(X)=。知识点解析：暂无解析11、已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为的0—1分布，即P{X=0}=P{X=1}=，P{Y=0}=P{Y=1}=，定义随机变量Z=求Z的分布；(X，Z)的联合分布；并问X与Z是否独立。标准答案：由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得Z及(X，Z)的分布，进而判断X、Z是否独立。由题设知将其改写成矩阵形式，Z，(X，Z)的分布如下表所示由此可得Z服从参数P=的0—1分布，所以(X，Z)的联合概率分布如下表所示因P{X=i，Z=j}==P{X=i}P{Z=j}(i，j=0，1)，故X与Z独立。知识点解析：暂无解析袋中有1个红球，2个黑球和3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。12、求P{X=1｜Z=0}。标准答案：在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。所以知识点解析：暂无解析13、求二维随机变量(X，Y)的概率分布。标准答案：X，Y取值范围为0，1，2，则(X，Y)的概率分布计算并列表如下P(X=0，Y=0)=，P(X=1，Y=0)=，P(X=2，Y=0)=，P(X=0，Y=1)=，P(X=1，Y=1)=，P(X=2，Y=1)=0，P(X=0，Y=2)=，P(X=1，Y=2)=0，P(X=2，Y=2)=0，知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为求：14、系数A。标准答案：根据分布函数的性质∫—∞+∞∫—∞+∞f(x，y)dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae—(2x+3y)dxdy==1，解得A=6。知识点解析：暂无解析15、(X，Y)的联合分布函数。标准答案：将A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为所以当x＞0，y＞0时，F(x，y)=∫0y∫0x6e—(2u+3v)dudv=6∫0xe—2udu∫0ye—3vdv=(1—e—2x)(1—e—3y)，而当x和y取其他值时，F(x，y)=0。综上所述，可得联合概率分布函数为知识点解析：暂无解析16、边缘概率密度。标准答案：当x＞0时，X的边缘密度为fX(x)=∫0+∞6e—(2x+3y)dy=2e—2x，当x≤0时，fX(x)=0。因此X的边缘概率密度为fX(x)=同理可得Y的边缘概率密度函数为fY(y)=知识点解析：暂无解析17、(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率。标准答案：根据公式P[(X，Y)∈R]=，已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为P[(X，Y)∈R]==2∫03(e—2x—e—6)dx=1—7e—6≈0．983。知识点解析：暂无解析18、设(X，Y)的联合分布函数为其中参数λ＞0，试求X与Y的边缘分布函数。标准答案：当x＞0时，FX(x)=P{X≤x}=F(x，+∞)=1—e—x；当x≤0时，FX(x)=0，所以关于X的边缘分布函数为FX(x)=同理，关于Y的边缘分布函数为FY(y)=知识点解析：暂无解析设随机变量X和Y的联合密度为19、试求X的概率密度f(x)。标准答案：根据题意可得，当时，f(x)=0；当0＜x＜1，有f(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=。知识点解析：暂无解析20、试求事件“X大于y″的概率P{X＞Y}。标准答案：事件“X大于Y″的概率知识点解析：暂无解析21、求条件概率P{Y＞1｜X＜0．5}。标准答案：条件概率P{Y＞1｜X＜0．5}=。其中P{X＜0．5}=∫00．5f(x)dx=。P{X＜0．5，Y＞1}=。于是P{Y＞1｜X＜0．5}=。知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)在区域G={(x，y)｜1≤x+y≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布。试求：22、(X，Y)的边缘概率密度fX(x)和fY(y)。标准答案：区域G如图3-3-6所示：可知区域G是菱形，其面积为1。故fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=fY(y)=∫—∞+∞f(x，y)dx=知识点解析：暂无解析23、Z=X+Y的概率密度fZ(z)。标准答案：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=故FZ(z)=知识点解析：暂无解析设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=(i=—1，0，1)，Y的概率密度为fY(y)=记Z=X+Y。24、求。标准答案：知识点解析：暂无解析25、求Z的概率密度fZ(z)。标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、如下四个二元函数，不能作为二维随机变量(X，Y)的分布函数的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：本题考查二维随机变量联合分布函数的性质。其中存在性质，对于x1＜x2，y1＜y2，则有F(x2，y2)一F(x2，y1)一F(x1，y2)+F(x1，y1)≥0，选项(C)中的函数，取x1=0，x2=1，y1=0，y2=1，代入上式得一1＜0。故选(C)。2、已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布，且P{Xi=一1}=P{Xi=1}=，i=1，2，则()A、X1与X1X2独立且有相同的分布。B、X1与X1X2独立且有不同的分布。C、X1与X1X2不独立且有相同的分布。D、X1与X1X2不独立且有不同的分布。标准答案：A知识点解析：由题设知X1X2可取一1，1，且P{X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}+P{X1=1，X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}=。又P{X1=一1，X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=l}=,所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立。故选(A)。3、设随机变量X1与X2相互独立，其分布函数分别为F1(x)=F2(x)=，一∞＜x＜+∞．则X1+X2的分布函数F(x)=()A、F1(x)+F2(x)。B、F1(x)+F2(x)。C、F1(x)+F2(x－1)。D、F2(x)+F2(x－1)。标准答案：D知识点解析：由题意知X1为离散型随机变量，其分布律为则有F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x∣X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x∣X1=1}={X2≤x}+P{X2≤x一1}=F2(x)+F2(x－1)。故选(D)。4、设随机变量X，Y独立同分布，且X分布函数为F(x)，则Z=max{X，Y}分布函数为()A、F2(x)。B、F(x)F(y)。C、1一[1一F(x)]2。D、[1一F(x)][1一F(y)]。标准答案：A知识点解析：依定义，有F(z)=P(Z≤z)=P{max{X，Y}≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=F(z)F(z)=F2(z)。故选(A)。5、设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关fX(x)fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX∣Y(x∣y)为()A、fX(x)。B、fY(y)。C、fX(x)fY(y)。D、标准答案：A知识点解析：因(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，故X与Y相互独立，于是fX∣Y(x∣y)=fX(x)。故选(A)。6、设随机变量X和Y都服从正态分布，则()A、X+Y一定服从正态分布。B、X和Y不相关与独立等价。C、(X，Y)一定服从正态分布。D、(X，一Y)未必服从正态分布。标准答案：D知识点解析：选项(A)不成立，例如，若Y=-X，则X+Y=0不服从正态分布。选项(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布。选项(B)也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价。虽然随机变量X和一Y都服从正态分布，但是因为边缘分布不能决定联合分布，故(X，一Y)未必服从正态分布。故选(D)。7、设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是()A、X=Y。B、P{X=Y}=0。C、P{X=Y}=。D、P{X=Y}=1。标准答案：C知识点解析：因为P{X=Y}=P{X=一1，Y=一1}+P{X=1，Y=l}=P{X=一1}P{Y=一1}+P{X=1}P{Y=1}=故选(C)。8、设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数()A、是连续函数。B、至少有两个间断点。C、是阶梯函数。D、恰好有一个间断点。标准答案：D知识点解析：Y的分布函数：①当y＜0时，Fy(Y)=0；②当0≤y＜2时，Fy(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=1一P{min{X，2}＞y}=1一P{X＞y}=1一∫y+∞λe-λxdx=1一e-λy；③当y≥2时，FY(y)=1。又有FY(0一0)=FY(0+0)=0=FY(0)，FY(2—0)=1一e-2λ≠1=FY(2)，所以FY(y)恰好有一个间断点。故选(D)。9、设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，Y服从正态分布N(μ1，σ22)，且P{∣X一μ1∣＜1}＞P{∣Y一μ2∣＜1}，则()A、σ1＜σ2。B、σ1＞σ2。C、μ1＜μ2。D、μ1＞μ2。标准答案：A知识点解析：由题意知P{∣X一μ1∣＜1}=P＞P{∣Y一μ2∣＜1}=P即有即，其中Φ(x)是服从标准正态分布的分布函数。因为Φ(x)是单调不减函数，所以，即σ1＜σ2，故选(A)。10、设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=，记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为()A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案：B知识点解析：依定义，有Fz(z)=P{XY≤z}=P{XY≤z∣Y=0}P{Y=0}+P{XY≤z∣Y=1}P{Y=1}=[P{XY≤z∣Y=0}+P{XY≤z∣Y=1}]=[P{X.0≤z∣Y=0}+P{X≤z∣Y=1}]，由已知X与Y独立，所以Fz(z)=[P{X.0≤z}+P{X≤z}]，于是当z＜0时，则Fz(z)=Φ(z)；当z≥0时，则Fz(z)=[1+Φ(z)]。因此z=0为间断点。故选(B)。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、设(X，Y)的分布函数为F(x，y)=则P{X＞1，Y＞1}=__________。标准答案：知识点解析：利用联合分布函数来表示区域上的概率，并结合分布函数的定义可得P{X＞1，Y＞1}=F(+∞，+∞)一F(+∞，1)一F(1，+∞)+F(1，1)=1一注：arctan(+∞)=，arctan(1)=12、假设随机变量X与Y相互独立，且P{X=k}=，P{Y=一k}=，k=1，2，3，则a=__________,b=___________，Z=X+Y的分布律为__________。标准答案：知识点解析：由题意故X，Y的分布律分别为于是Z=X+Y的可能取值为一2，一1，0，1，2。且P{Z=一2}=P{X+Y=一2}=P{X=1，Y=一3}=P{X=1}P{Y=一3}=类似地P{Z=一1}=P{X+Y=一1}=P{X=1，Y=一2}+P{X=2，Y=一3}=P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=1，Y=一1}+P{X=2，Y=一2}+P{X=3，Y=一3}=P{Z=1}=P{X=2}P{Y=一1}+P{X=3}P{Y=一2}=P{Z=2}=P{X=3}P{Y=一1}=,故可写出Z的分布律。13、设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max{X，Y}≤1}=__________。标准答案：知识点解析：由题设知，X与Y具有相同的概率密度f(x)=则有P{max{X，Y}≤1}=P{X≤1，Y≤1}=P{X≤1}P{Y≤1}=(P{X≤1})2=14、从数l，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，2，…，X中任取—个数，记为Y，则P{Y=2}=_________。标准答案：知识点解析：由题意P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2∣X=1}+P{X=2}P{Y=2∣X=2}+P{X=3}P{Y=2∣X=3}+P{X=4}P{Y=2∣X=4}=15、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=则P{X+Y≤1}=_________。标准答案：知识点解析：由题设(如图3—6所示的积分区域D)，有P{X+Y≤1}==(6x一12x2)dx=16、设(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=则c=_________，Y的边缘概率密度为fY(y)=_________。标准答案：√2+l，知识点解析：由概率密度的性质∫一∞+∞∫一∞+∞f(x，y)dxdy=1，得由边缘概率密度的定义表达式fY(y)=∫一∞+∞f(x，y)dx=17、设随机变量X1和X2相互独立，它们的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，已知则X1+X2的分布函数F(x)=_________。标准答案：F2(x－1)知识点解析：由X1的分布函数为F1(x)，则X1～B(1,),即P{X1=0}=，P{X1=1}=.由全概率公式，可得F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P∣X1+X2≤x∣X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x∣X1=1}=P{X2≤x∣X1=0}+P{1+X2≤x∣X1=1}=p{X2≤x}+P{X2≤x一1}=F1(x)+F2(x一1)。18、已知X的分布律P{Y=一)=1，又n维向量α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关的概率为_________。标准答案：知识点解析：由于α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关=X+2Y=0．故所求的概率为P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0，Y=一}+P{X+2Y=0，Y≠一}=P{X=1，Y=一}=P{X=1}—P{X=1，Y≠一}=。19、设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函f1(x，y)=_________。标准答案：知识点解析：设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为F1(x，y)，则F1(x，y)=P{2X≤x，Y+1≤y}=P{X≤，Y≤y一1)=∫-∞2/x∫-∞y-1f(t,s)dtds，于是f1(x，y)=三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)20、设X1，X2独立同分布，其分布律为P{Xi=±1}=，i=1，2。令X3=X1X2，讨论X1，X2，X3的独立性。标准答案：X1，X2的联合分布律如下表所示显然X1与X2相互独立，同理可知X1与X3和X2与X3相互独立，即X1，X2，X3两两独立。但是P{X1=1，X2=1，X3=一1}=0，P{X1=1}．P{X2=1}.P{X3=一1}=，由此可得X1=1，X2=1，X3不相互独立。知识点解析：暂无解析设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求：21、在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；标准答案：由题设知在X=n条件下，Y服从二项分布，故P{Y=m∣X=n}=Cnmpm(1一P)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知识点解析：暂无解析22、二维随机变量(X，Y)的概率分布。标准答案：由题设条件知X服从参数为λ的泊松分布，即P{X=n}=，n=0，1，2，…。故由条件概率公式，得P{X=n，Y=m}=P{X=n}P{Y=m∣X=n}.Cnmpm(1一P)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知识点解析：暂无解析23、一射手进行独立重复射击，已知每次击中目标的概率为p(0＜p＜1)，射击一直进行到击中两次目标为止。令X为首次击中目标所进行射击的次数，Y表示总共进行射击的次数。求(X，Y)的联合分布律、边缘分布律和条件分布律。标准答案：先求(X，Y)的联合分布律和边缘分布律方法一：设事件“X=m”是第m次射击首次击中目标，事件“Y=n”是第n次射击第二次击中目标，即m＜n，m，n∈Z+，于是(X，Y)的联合分布律为P{X=m，Y=n}=(1一p)m-1p(1一p)n-m-1P=(1一p)N-2P2，m=1，2，…，n一1；n=m+1，m+2，…，于是可得P{x=m}=(1一P)n-2P2=P2=P(1一P)m-1，m=1，2，…，P{Y=n}=(1一p)n-2P2=(n一1)(1一p)n-2P2，n=2，3，…。方法二：由题意可知X服从几何分布C(p)，Y服从负二项分布NB(2，P)，即P{X=m}=P(1一P)m-1，m=1，2，…，P{Y=n}=Cn-11(1一P)n-2P2=(n一1)(1一P)n-2P2，n=2，3，…。X和Y的联合分布律P{X=m，Y=n}=(1一P)n-2P2，m=1，2，…，n一1；n=m+1，m+2，…。再求条件分布律：当{Y=n}时，X的条件分布律为P{X=m∣Y=n}=，m=1，2，…，n一1，同理可得，当{X=m}时，Y的条件分布律为P{Y=n∣X=m}=(1一p)n-m-1P，n=m+1，m+2，…。知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的概率分布为求：24、(X，Y)关于X和Y的边缘概率分布；标准答案：X的所有可能值为0，1，则(X，Y)关于X的边缘概率P{X=0}=P11+P12+P13=0．1+0．1+0．3=0．5，P{X=1}=P21+P22+P23=0．25+0+0．25=0．5，因此得X的概率分布Y的全部可能值为1，2，3，则(X，Y)关于Y的边缘概率P{Y=1}=P11+P21=0．1+0．25=0．35，P{Y=2}=P12+P22=0．1+0=0．1，P{Y=3}=P13+P23=0．3+0．25=0．55，于是得Y的概率分布知识点解析：暂无解析25、在Y=3的条件下，随机变量X的条件概率分布；标准答案：在Y=3的条件下，由条件概率公式得X的条件概率P{X=0∣Y=3}=,P{X=1∣Y=3}=得在Y=3的条件下，X的条件概率分布为知识点解析：暂无解析26、在X=0的条件下，随机变量Y的条件概率分布。标准答案：在X=0的条件下，同理得，随机变量Y的条件概率P{Y=1∣X=0}==0．2，P{Y=2∣X=0}==0．2，P{Y=3∣X=0}==0．6得在X=0的条件下，Y的条件概率分布为知识点解析：暂无解析设二维离散型随机变量(X，Y)只取(一1，一1)，(一1，0)，(1，一1)，(1，1)四个值，其相应概率分别为27、求(X，Y)的联合概率分布；标准答案：依题意，(X，Y)的联合概率分布如下表所示：知识点解析：暂无解析28、求关于X与关于Y的边缘概率分布；标准答案：关于X与关于Y的边缘概率分布分别为表中最右一列与最下一行。知识点解析：暂无解析29、求在Y=1条件下关于X的条件概率分布与在X=1条件下关于Y的条件概率分布。标准答案：由于P{X=1}=，P{Y=1}=，且在Y=1条件下，X只取1，因此关于X的条件概率分布为P{X=1∣Y=1}==1，在X=1条件下，Y取一1和1两个值，其条件概率分别为P{Y=一1∣X=1}=，P{Y=1∣X=1}=.知识点解析：暂无解析30、设(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)=其中参数λ＞0，试求X与Y的边缘分布函数。标准答案：当x＞0时，FX(x)=P{X≤x}=F(x，+∞)=1一e-x；当x≤0时，FX(x)=0。因此关于X的边缘分布函数为FX(x)=同理，关于Y的边缘分布函数为FY(y)=知识点解析：暂无解析31、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=Ae-2x2+2xy-y2，一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞，求常数A以及条件概率密度fX∣Y(y∣x)。标准答案：由联合概率密度的性质，有1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=A∫-∞+∞∫-∞+∞e-2x2+2xy-y2dxdy，=A∫-∞+∞∫-∞+∞e-x2dx∫-∞+∞e-(y-x)2d(y一x)=A×√π×√π=Aπ，解得A=，即f(x，y)=e-2x2+2xy—y2因为X的边缘概率密度为fX(x)=因此条件概率密度fY∣X(Y∣X)=e-x2+2xy-y2，一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞。知识点解析：暂无解析设随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=求：32、Z=X+Y的概率密度；标准答案：当f(x，z一x)=xe-(-z-x)时，必须满足0＜x＜z一x，即0＜x＜。于是可得：当z≤0时fZ(z)=0；当z＞0时，fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z－x)dx=e-z∫0z/2xexdx=(－1)e-z/2+e-z所以，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=知识点解析：暂无解析33、U=max{X，Y}和V=min{X，Y}的概率密度。标准答案：先求U=max{X，Y}的分布函数，于是FU(u)=P{U≤u}=P{max{X，Y}≤u}=P{X≤u，Y≤u}。当u＜0时，FU(u)=0。当u≥0时，FU(u)=P{X≤u，Y≤u}=∫0udx∫xuxe-ydy=∫0ux(e-x一e-u)dx=∫0uxe-xdx一e-u∫0uxdx=(一ue-u一e-u+1)一e-u=1一(+u+1)e-u。综上Fu(u)=将分布函数FU(u)对u求导，则U=max{X，Y}的概率密度为fU(U)=V=min{X，Y}的分布函数为FV(v)=P{V≤v}=1一P{V＞v}=1一P{min{X，Y}＞v}=1一P{X＞v，Y＞v}。当v＜0时，FV(v)=0。当v≥0时，FV(v)=1一P{X＞v，Y＞v}=1一∫v+∞dy∫vyxe-ydx=1一∫v+∞(y22-ydy=1－(v+1)e-v。综上FV(v)=将分布函数FV(v)对v求导，则V=min{X，Y}的概率密度为fV(V)=知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=求：34、(X，Y)的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；标准答案：由定义，关于X的边缘概率密度fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=同理，关于Y的边缘概率密度fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx=知识点解析：暂无解析35、Z=2X—Y的概率密度fZ(z)。标准答案：Z=2X—Y的分布函数FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X—Y≤z}，则其有效积分区域如图3—7所示。当z≤0时，FZ(Z)=0。当z≥2时，FZ(Z)=1。当0＜z＜2时，P{Z＞z}=P{2X—Y＞z}=FZ(z)=P{Z≤z}=1一P{Z＞Z}=z一。即分布函数为故所求的概率密度为知识点解析：暂无解析考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设二维随机变量(X1，X2)的密度函数为f1(x1，x2)，则随机变量(Y1，Y2)(其中Y1=2X1，Y2=X2)的概率密度f2(y1，y2)等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设(X1，X2)的分布为F1(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布为F2(y1，y2)。F2(y1，y2)=P{Y1≤y1)，Y2≤y2}=P{2X1≤y1，X2≤y2}=P{X1≤，X2≤3y2}=F1。所以f2(y1，y2)=，故选B。2、设随机变量X与Y相互独立，X～，Y的概率密度f(y)=则P{X+Y≤}的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：，X取值只能是X=0或X=1，将X=0和X=1看成完备事件组，用全概率公式有故选A。3、设相互独立的两随机变量X，Y均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max(X，Y)≤2}的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：P{1＜max(X，Y)≤2}=P{max(X，Y)≤2}—P{max(X，Y)≤1}=P{X≤2，Y≤2}—P{X≤1，Y≤1}=P{X≤2}P{Y≤2}—P{X≤1}P{Y≤1}=故选C。4、设随机变量X和Y都服从正态分布，则()A、X+Y一定服从正态分布。B、X和Y不相关与独立等价。C、(X，Y)一定服从正态分布。D、(X，—Y)未必服从正态分布。标准答案：D知识点解析：A选项不成立，例如，若Y=—X，则X+Y=0不服从正态分布。B选项也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价。C选项不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布。虽然随机变量X和—Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，—Y)未必服从正态分布，故选D。5、设随机变量X1与X2相互独立，其分布函数分别为则X1+X2的分布函数F(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据题意知X1为离散型随机变量，其分布律如下表所示F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x｜X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x｜X1=1}=。故选D。二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、设随机变量X和Y的联合分布函数为则随机变量X的分布函数F(x)为_________。标准答案：F(x)=知识点解析：根据题意分布函数F(x)是F(x，y)的边缘分布函数，所以F(x)=F(x，+∞)=F(x，1)，因此7、已知，且n维向量α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关的概率为_________。标准答案：知识点解析：因为α1，α2，α3线性无关，所以“α1+α2，α2+2α3，Xα3+Yα1线性相关”=X+2Y=0”，故所求的概率为P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0，Y=}+P{X+2Y=0，Y≠}=P{X=1，Y=}=P{X=1}=。8、设相互独立的两个随机变量X和Y均服从标准正态分布，则随机变量X—Y的概率密度函数的最大值等于_________。标准答案：知识点解析：根据题意可知，X—Y～N(0，2)，其概率密度函数f(x)的最大值在x=0处，最大值为。三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)设随机变量，且P{｜X｜≠｜Y｜=1。9、求X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性。标准答案：由P{｜X｜≠｜Y｜}=1知，P{｜X｜=｜Y｜}=0。由此可得X与Y的联合分布律如下表所示因为P{X=—1，Y=—1}≠P{X=—1}P{Y=—1}，所以X与Y不独立。知识点解析：暂无解析10、令U=X+Y，V=X—Y，讨论U与V的独立性。标准答案：由(X，Y)的联合分布律知P{U=V=—1}=P{X=—1，Y=0}=，P{U=—1，V=1}=P{X=0，Y=—1}=，P{U=1，V=—1}=P{X=0，Y=1}=，P{U=V=1}=P{X=1，Y=0}=，所以U与V的联合分布律与边缘分布律如下表所示即可验证U与V独立。知识点解析：暂无解析设随机变量X在1，2，3中等可能取值，随机变量Y在1～X中等可能地取值。求：11、二维随机变量(X，Y)的联合分布律及边缘分布律。标准答案：由题意可知P{X=1，Y=2}=P{X=1，Y=3}=P{X=2，Y=3}=0。由乘法公式，可得P{X=1，Y=1}=P{X=1}.P{Y=1｜X=1}=，P{X=2，Y=1}=P{X=2}.P{Y=1｜X=2}=，P{X=3，Y=1}=P{X=3}.P{Y=1｜X=3}=，P{X=2，Y=2}=P{X=2}.P{Y=2｜X=2}=，P{X=3，Y=2}=P{X=3}.P{Y=2｜X=3}=，P{X=3，Y=3}=P{X=3}.P{Y=3｜X=3}=。所以{X，Y}的联合分布律如下表所示进一步得到边缘分布如下表所示知识点解析：暂无解析12、求在Y=2的条件下X的条件分布。标准答案：在Y=2的条件下X可能的取值为2，3，因此从而得到在Y=2条件下随机变量X的条件分布如下表所示知识点解析：暂无解析13、设随机变量Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数p的0—1分布，令求随机变量(X1，X2)的联合分布。标准答案：根据题意随机变量(X1，X2)是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)。题目中是要计算出取各相应值的概率。注意事件Y1，Y2，Y3相互独立且服从同参数p的0—1分布，所以它们的和Y1+Y2+Y3服从二项分布B(3，p)。于是P{X1=0，X2=0}=P{Y1+Y2+Y3≠1，Y1+Y2+Y3≠2}=P{Y=0}+P{Y=3}=(1—P)3+P3，P{X1=0，X2=1}=P{Y1+Y2+Y3≠1，Y1+Y2+Y3=2}=P{Y=2}=3p2(1—P)，P{X1=1，X2=0}=P{Y1+Y2+Y3=1，Y1+Y2+Y3≠2}=P{Y=1}=3p(1—P)2，P{X1=1，X2=1}=P{Y1+Y2+Y3=1，Y1+Y2+Y3=2}==0。计算可得(X1，X2)的联合概率分布如下表所示知识点解析：暂无解析14、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=Ae—2x2+2xy—y2，—∞＜x＜+∞，—∞＜y＜+∞，求常数A及条件概率密度fY｜X(y｜x)。标准答案：根据概率密度的性质∫—∞+∞∫—∞+∞f(x，y)dxdy=1，可知∫—∞+∞∫—∞+∞Ae—2x2+2xy—y2dxdy=A∫—∞+∞e—x2dx∫—∞+∞e—(x—y)2dy=1，又因为∫—∞+∞e—x2dx=，所以∫—∞+∞e—x2dx∫—∞+∞e—(x—y)2dy==π，所以A=，即f(x，y)=。X的边缘概率密度为所以，条件概率密度为知识点解析：暂无解析设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值。试求：15、(X，Y)的联合概率密度。标准答案：根据题设X在(0，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为而变量Y，在X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度知识点解析：暂无解析16、关于Y的边缘概率密度函数。标准答案：根据求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边缘概率密度当0＜y＜1时，fY(y)=∫—∞+∞f(x，y)dx==—ln(1—y)；当y≤0或y≥1时，fY(y)=0，所以fY(y)=知识点解析：暂无解析17、P{X+Y＞1}。标准答案：如图3—3—4所示知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的概率密度为18、求P{X＞2Y}。标准答案：已知X，Y的概率密度，所以知识点解析：暂无解析19、求Z=X+Y的概率密度。标准答案：先求Z的分布函数FZ(z)=P(X+Y≤Z)=(1)当z＜0时，FZ(0)=0；(2)当0≤z＜1时，FZ(z)=∫0zdy∫0z—y(2—x—y)dx=z2—z3；(3)当1≤z＜2时，FZ(z)=1—P(X+Y＞Z)=1—∫z—11dy∫z—y1(2—x—y)dx=1—(2—z)3；(4)当z≥2时，FZ(z)=1。故Z=X+Y的概率密度为FZ(z)=F′Z(z)=知识点解析：暂无解析20、两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度。标准答案：设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为X1与X2，则T=X1+X2，X1，X2的密度函数均为f(x)=直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得fT(t)=∫—∞+∞f(x)f(t—x)dx=∫0t5e—5x.5e—5(t—x)dx=25te—5t(t＞0)。从而其概率密度为fT(t)=F′T(t)=知识点解析：暂无解析设总体X的概率密度为其中θ＞0是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记=min{X1，X2，…，Xn}。21、求总体X的分布函数F(x)。标准答案：F(x)=∫—∞xf(t)dt=知识点解析：暂无解析22、求统计量的分布函数。标准答案：=P{min(X1，X2，…，Xn)≤x}=1—P{min(X1，X2，…，Xn)＞x}=1—P{X1＞x，X2＞x，…，Xn＞x}=1—[1—F(x)]n=知识点解析：暂无解析考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为()A、fX(x)B、fY(y)C、fX(x)fY(y)D、标准答案：A知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，那么X与Y独立，且f(x，y)=fX(x)fY(y)则fX｜Y(x｜y)==fX(x)故选A。2、设相互独立的两随机变量X与Y均服从分布，则P{X≤2Y}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：P{X≤2Y}=P{X=0}+P{X=1，Y=1}=+P{X=1}P{Y=1}=故选D。3、设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由于X～N(0，1)与Y～N(1，1)以及X与Y相互独立，得X+Y～N(1，2)，X—Y～N(—1，2)。因为，若Z～N(μ，σ2)，则必有比较四个选项，只有B选项正确，故选B。4、已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布：P{Xi=—1}=P{Xi=1}=(i=1，2)，则()A、X1与X1X2独立且有相同的分布。B、X1与X1X2独立且有不同的分布。C、X1与X1X2不独立且有相同的分布。D、X1与X1X2不独立且有不同的分布。标准答案：A知识点解析：根据题设知X1X2可取—1，1，且P{X1X2=—1}=P{X1=—1，X2=1}+P{X1=1，X2=—1}=P{X1=—1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=—1}=。又P{X1=—1，X1X2=—1}=P{X1=—1，X2=1}=，所以X1与X1X2的概率分布如下表从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立，故选A。二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、已知(X，Y)的概率分布如下表所示且P{X2+Y2=1}=0．5，则P{X2Y2=1}=_________。标准答案：0．3知识点解析：由于0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=0．6+α+β=1，即α+β=0．4，又0．5=P{X2+Y2=1}=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=—1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1+0．1。故α=0．3，β=0．1。那么P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=—1}=0．2+β=0．3。6、设二维随机变量(X，Y)在xOy平面上由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域上服从均匀分布，则=_________。标准答案：知识点解析：由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域面积为A=∫01(x—x2)dx，所以(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)=于是7、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为Φ(2x+1)Φ(2y—1)，其中Φ(x)为标准正态分布函数，则(X，Y)～N_________。标准答案：知识点解析：(X，Y)的分布函数为Φ(2x+1)Φ(2y—1)，所以可知X，Y独立。Φ(2x+1)Φ(2y—1)==FX(x)FY(y)，根据正态分布X～N(μ，σ2)的标准化可知FX(x)=P{X≤x}=，又因为FX(x)=。同理，Y～。故(X，Y)～。8、已知随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y2=X2—，则Y1—Y2服从_______分布，参数为________。标准答案：知识点解析：Y1—Y2=X1—X2+，所以Y1—Y2为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。又E(Y1—Y2)=0，D(Y1—Y2)=，故Y1—Y2～三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)已知随机变量X，Y的概率分布分别为，并且P{X+Y=1}=1，求：9、(X，Y)的联