2012高考数学常用公式及结论

PAGEPAGE27高考数学常用公式及结论1.元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.5．集合的子集个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空真子集有–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;(2)顶点式;(3)两点式.7.解不等式①含有绝对值的不等式当a>0时，有.或②分式不等式和绝对值不等式（1），（2）④简单的高次不等式――数轴标根法步骤：（1）化为标准型：各因式x的系数和指数为1。（2）在数轴上标出根，（3）连线：按从右到左，从上到下顺序，重根时“奇穿偶弯”（4）写出解集⑤指数不等式与对数不等式(1)当时,;.(2)当时,;10.一元二次方程的实根分布设，则（1）方程在区间内有根的充要条件为或；（2）方程在区间内有根的充要条件为或（3）方程在一根大于m，一根小于m(即)的充要条件为（4）方程的两根在区间内的充要条件为（5）方程的两根有且仅有一个在区间内的充要条件为.12.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16、判断两个函数是不是同一个函数：看定义域和对应法则是不是完全相同。17.函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.18.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.19、复合函数的单调性设都是单调函数，则(称复合函数)也是单调函数，并且当外函数在上为增函数时，复合函数与内层函数在上有相同的单调增减性，当外函数在上为减函数时，复合函数与内层函数在上有相反的单调增减性，（即同增同减为增，一增一减为减）20．奇偶函数的图象特征:奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．21.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.22.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;23.若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.25.函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.26.两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数和的图象关于直线y=x对称.27.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.28、求反函数的步骤：①解关于x的方程,达到用y来表示x的目的；②在所得的式子中的x换成y,y换成x;③求出反函数的定义域（即原函数的值域）。29、关于反函数的性质：①②③④⑤⑥若点在的图象上，又在的图象上，则在的图象上；⑦证明的图象关于直线y=x对称，只需证得反函数和相同。⑧原函数和反函数的定义域和值域相反。30．互为反函数的两个函数的关系：①.②具有相同的单调性32、函数解析式的求法：①定义法：例如，②变量代换法：例如，③待定系数法：例如，（）④函数方程法：将作为一个未知数来考虑，建立方程（组），消去另一个未知数便得的表达式。形如，的解析式（方法是用）33、函数定义域的求法：①分式的分母不得为0；②偶次方根的被开方数不小于0，0取0次方没有意义；③对数函数的真数必须大于0；④指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它们的定义域是各基本函数定义域的交集。34、函数值域的求法：①直接法、配方法、换元法例如：根号里是两次函数的配方直接求，根号里是一次函数的用换元法。即：形如或求二次复合的函数的值域可用配方法形如的函数令使之变形为二次函数，配方后求之；对于含的结构函数可利用三角代换②分式函数的求法：用反函数或分离常数法，结论为形式把函数转化成关于x的二次方程通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式③利用函数单调性：在上是递减函数，在上时是递增函数，也称这个函数的“打钩”函数。④数形结合求得。35.几个常见的函数方程(1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.36.几个函数方程的周期(约定a>0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,则的周期T=2a；37.分数指数幂(1)（，且）.(2)（，且）.38．根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.39．有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.40.指数式与对数式的互化式.41、指数函数图象及性质一般地，指数函数y=ax在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a>10<a<1图象性质⑴定义域为：(-∞,+∞)；值域为：(0,+∞).⑵过点(0,1)，即x=0时，y=a0=1.⑶若x>0，则ax>1;若x<0，则ax<1.⑶若x>0，则ax<1;若x<0，则ax>1.⑷在R上是增函数.⑷在R上是减函数42.对数的换底公式(,且,,且,).推论(,且,,且,,).43．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1);(2);(3).44.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.45.对数换底不等式及其推广推论:设，，，且，则（1）.（2）.46.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.47、函数的图象变换：利用基本初等函数的图象来变换 平移变换：伸缩变换：对称变换：48.数列的通项公式的求法⑴递推公式：用累加法，例如：⑵递推公式：用叠乘法，例如：⑶递推公式:用换元法或经验公式：结合已知求出m再利用等比数列求。⑷已知则(数列的前n项的和为).49.等差数列的通项公式：；推广：变式：其前n项和公式为.50等差数列的判定方法1、定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。51.等比数列的通项公式；推广：其前n项的和公式为或.52等比数列的判定方法定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。53.等比差数列:的通项公式为；其前n项和公式为.54、等差、等比数列的性质及应用等差数列的性质：在等差数列中若则有，若则有等差数列中，前n项和，等差数列中，前n项和则有等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为前m项的和与后m项的和为在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为⑥．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：前n项的和当n为偶数时，，其中d为公差；当n为奇数时，则，，，，（其中是等差数列的中间一项）。等比数列的性质：①在等比数列中若则有，若则有②在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为③等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即为等比数列，公差为55、数列的前n项和的通常解法：①直接利用等差、等比数列求和公式求和，注意等比时分讨论。②错位相减法：主要利用开一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即③分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解④裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：,⑤倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加。⑥公式法：56.分期付款(按阶贷款)每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).44．常见三角不等式（1）若，则.(2)若，则.(3).45.同角三角函数的基本关系式，=，.46.正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变，符号看象限(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)47.和角与差角公式;;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象限决定,).48.二倍角公式...50.三角函数的周期公式函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.51.正弦定理

.52.余弦定理;;.53.面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）.(3).54.三角形内角和定理在△ABC中，有.55.简单的三角方程的通解...57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：(1)a·b=b·a（交换律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示

设a=,b=，且b0，则ab(b0).53.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=.(2)设a=,b=，则a-b=.(3)设A，B,则.(4)设a=，则a=.(5)设a=,b=，则a·b=.63.两向量的夹角公式(a=,b=).64.平面两点间的距离公式=(A，B).65.向量的平行与垂直设a=,b=，且b0，则A||bb=λa.ab(a0)a·b=0.66.线段的定比分公式

设，，是线段的分点,是实数，且，则（）.67.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.68.点的平移公式.注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.69.“按向量平移”的几个结论（1）点按向量a=平移后得到点.(2)函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.70.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.1.常用不等式：（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．可推广到n个成立。（3）（4）柯西不等式:（5）.注意：左等号成立的是,右等号成立是.注意：左等号成立的是,右等号成立是（6）2、比例的几个性质比例基本性质：；反比定理：更比定理：；合比定理；分比定理：；合分比定理：合比定理：等比定理：若，，则3、已知都是正数，则有(极值定理)（1）若积是定值，则当时和有最小值；（2）若和是定值，则当时积有最大值.注：（一正二定三等）等号不成立时利用函数单调性求最值（在上是减函数，在上时是增函数，也称这个函数的“打钩”函数）4.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；.5.含有绝对值的不等式当a>0时，有.或.6.无理不等式（1）.（2）（3）.（4）7、分式不等式和绝对值不等式（1），（2）8、简单的高次不等式――数轴标根法步骤：（1）化为标准型：各因式x的系数和指数为1。（2）在数轴上标出根，（3）连线：按从右到左，从上到下顺序，重根时“奇穿偶弯”（4）写出解集9.指数不等式与对数不等式(1)当时,;.(2)当时,;10.斜率公式倾斜角的范围：（、）.的方向向量为或，k为直线的斜率。11、几何中有关公式①数轴上两点间距离公式：或②直角坐标平面内的两点间距离公式：③若点P分有向线段成定比λ，则λ=④若点，点P分有向线段成定比λ，则：λ==；=，=⑤若，则△ABC的重心G的坐标是12.直线的五种方程（1）点斜式(直线过点，且斜率为)．（2）斜截式(b为直线在y轴上的截距).（3）两点式()(、()).(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式(其中A、B不同时为0).13.两条直线的平行和垂直(1)若，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,①；②；14、与平行的直线方程可巧设为：与垂直的直线方程可巧设为：15.夹角公式(1)直线，则直线与的夹角θ满足：(2).(,,).直线时，直线l1与l2的夹角是.16.到的角公式(逆时针方向)两直线的夹角范围是：(1).(，,)(2).(,,).直线时，直线l1到l2的角是.17．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线方程是,λ是参变量．18.点到直线的距离和两平行线间的距离公式点,直线：的距离：.两条平行线与的距离：19、对称问题：1）、点关于点的对称：点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y)2）、点关于直线的对称点设点A（xo,yo）关于直线Ax+By+C＝0的对称点为，则求出3）、直线关于点的对称直线是与已知直线平行的直线4）、直线关于直线的对称直线：①平行时用两平行线距离公式求得；②相交时用到角公式求斜率5）、曲线关于点（或直线）的对称曲线：利用所求曲线上的任一点关于点（或直线）的对称点在已知曲线上6）、几种特殊的对称关系点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）点（x，y）关于直线y=x的对称点为（y，x）点（x，y）关于直线y=－x的对称点为（－y，－x）点（x，y）关于直线y=x＋m的对称点为（y-m，x+m）点（x，y）关于直线y=－x＋m的对称点为（m－y，－x+m）20.或所表示的平面区域设直线，则或所表示的平面区域是：若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.21.（或）所表示的平面区域设曲线（），则或所表示的平面区域是：所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分.22、求曲线方程的步骤：（1）建系、设点（2）列式（3）代换（4）化简相关点法：主动点与被动的关系23.圆的四种方程（1）圆的标准方程.（2）圆的一般方程(＞0).（3）圆的参数方程（）.（4）圆的直径式方程(圆的直径的端点是、).24.圆系方程(1)过点,的圆系方程是,其中是直线的方程,λ是待定的系数．(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．(3)过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．当时，L:表示两圆公共弦所在直线的方程。20、切线长公式：过圆外一点引圆（标准方程，一般方程）的切线长为:25.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种，若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.26.直线与圆的位置关系14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种：=1\*GB3①代数法：（判别式法）：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；=2\*GB3②几何法：（圆心到直线的距离与半径的大小关系）：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。直线与圆的位置关系有三种:;;.其中.27.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，;;;;.28.圆的切线方程(1)已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆．①过圆上的点的切线方程为;②斜率为的圆的切线方程为.29、椭圆标准方程的两种形式是：和。30、椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是。两准线间的距离为其中31.椭圆的参数方程是（）。32、在过椭圆焦点的弦中最长的是长轴，最短的是垂直于长轴的弦.33、若点是椭圆上一点，是其左、右焦点，则点P的焦半径的长是和.34、椭圆上一点P与两焦点所成的张角时，则它围成的三角形面积35、直线与椭圆相交于A，B两点，M是弦AB的中点，O为坐标原点，则有（利用设而不求方法证明）36．椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.37.椭圆的切线方程(1)椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是.38、双曲线标准方程的两种形式是：和。39、双曲线的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是，两准线间的距离为,渐近线方程是。其中。40、若点是双曲线上一点，是其左、右焦点，则点P的焦半径的长是和.当P在右半支时焦半径公式去绝对值不变，当P在左半支时焦半径公式去绝对值时要加上负号。41、双曲线上一点P与两焦点所成的张角时，则它围成的三角形面积42、直线与双曲线相交于A，B两点，M是弦AB的中点，O为坐标原点，则有（利用设而不求方法证明）43.双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.44.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为（）(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.与双曲线共焦点的双曲线系方程是45.双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.46、等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为：47、双曲线的共轭双曲线分别是双曲线与共轭双曲线的离心率分别为则有48、抛物线标准方程的四种形式是：（P＞0）抛物线标准方程的特点：（1）P的几何意义：焦参数P是焦点到准线的距离，所以P恒为正数。（2）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。（3）焦点的非零坐标是一次项系数的。49、抛物线的焦点坐标是：，准线方程是：。过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（通径）的长：。50.抛物线的焦半径公式点是抛物线上一点，则点P到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）：.51、已知过抛物线（P＞0）的焦点的直线交抛物线于A、B具有下列性质：或(为AB的倾斜角)，52.抛物线上的动点可设为P或P，其中.53.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.55.抛物线的切线方程(1)抛物线上一点处的切线方程是.（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.56.两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆;当时,表示双曲线.57.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（弦端点A，由方程消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.58.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是.59.“四线”一方程对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．三点共线.、共线且不共线且不共线.118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使．推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.119.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．四点共面与、共面（平面ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐标运算设a＝，b＝则(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝(λ∈R)；(4)a·b＝；123.设A，B，则=.124．空间的线线平行或垂直设，，则；.125.夹角公式设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.推论，此即三维柯西不等式.126.四面体的对棱所成的角四面体中,与所成的角为,则.127．异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）128.直线与平面所成角(为平面的法向量).129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则.特别地,当时,有.130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则.特别地,当时,有.131.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.132.三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.133.三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有;(当且仅当时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A，B，则=.135.点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).136.异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).137.点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.138.异面直线上两点距离公式..（）.(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).139.三个向量和的平方公式140.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则①.②.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.146.球的半径是R，则其体积,其表面积．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.149.分类计数原理（加法原理）.150.分步计数原理（乘法原理）.151.排列数公式==.(，∈N*，且)．注:规定.152.排列恒等式(1）;（2）;（3）;（4）;（5）.(6).153.组合数公式===(∈N*，，且).154.组合数的两个性质(1)=;(2)+=.注:规定.155.组合恒等式（1）;（2）;（3）;（4）=;（5）.(6).(7).(8).(9).(10).156.排列数与组合数的关系.157．单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，……等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…时，则无论，，…，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为.推广:个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为.160．不定方程的解的个数(1)方程（）的正整数解有个.(2)方程（）的非负整数解有个.(3)方程（）满足条件(,)的非负整数解有个.(4)方程（）满足条件(,)