新高考数学一轮复习精讲精练7.1 空间几何中的平行（基础版）（解析版）

7.1空间几何中的平行（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一三角形中位线【例1】（2022·浙江）已知四棱锥SKIPIF1<0的底面是菱形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析；【解析】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为三棱柱，则SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，故在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·山东）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，点M为SKIPIF1<0的中点，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点O，则O为SKIPIF1<0的中点，连接OM，因为点M为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；3．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面EAC【答案】证明见解析【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0面EAC，SKIPIF1<0面EAC，所以SKIPIF1<0平面EAC；考点二构造平行四边形【例2】（2022·重庆巴蜀中学）如图，在多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是一个矩形，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】（1）设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：在直三棱柱SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；2．（2022·河北保定）如图，已知多面体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0中点，F为SKIPIF1<0中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD,因为E为SKIPIF1<0中点,故SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,F为SKIPIF1<0中点,故SKIPIF1<0,所以四边形EDAF为平行四边形，故SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；考点三等比例【例3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，证明：若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·广东）如图所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面外的一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的重心，求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的重心，∴SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】见解析【解析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．（2022·湖南·长沙一中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G为AB的中点，E，F分别在线段A1C1，AC上，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面BB1F【答案】证明见解析【解析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，①又SKIPIF1<0，结合长方体的对称性知SKIPIF1<0，即四边形SKIPIF1<0为平行四边形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，结合①②知，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.考点四线面平行的性质【例4】（2022·北京海淀）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点，求证：SKIPIF1<0【答案】证明见解析；【解析】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边的中点，过SKIPIF1<0作截面交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0；【答案】证明见解析【解析】证明：如图，在直三棱锥SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的平面交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合）.求证：SKIPIF1<0；【答案】证明见解析【解析】证明：在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.考点五面面平行的性质【例5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】如图，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为中位线，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：因为四边形SKIPIF1<0为菱形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱SKIPIF1<0中M，N，P，D分别为SKIPIF1<0，BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】∵P，D分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵D，N分别为SKIPIF1<0，BC的中点，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面PDN，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，F，M，N分别为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】取SKIPIF1<0的中点G，连接SKIPIF1<0，则由M，G分别为SKIPIF1<0的中点易得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0同理：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0考点六线面垂直的性质【例6】（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为SKIPIF1<0的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：SKIPIF1<0平面ECD【答案】证明见解析【解析】证明：取CD的中点G，连接EG∵△CDE为腰长为SKIPIF1<0的等腰三角形，∴SKIPIF1<0又∵平面CDE⊥平面BCD，SKIPIF1<0平面ECD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0平面ECD，SKIPIF1<0平面CDE，∴SKIPIF1<0平面CDE【一隅三反】1．（2022·江苏·高一课时练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【答案】证明见解析【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．2．（2022·山西临汾）如图（1），在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0上有一点E，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，现将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如图（2）所示的几何体，求证：SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】因SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接AC交BD于点O，连接FO，如图，因四边形ABCD为菱形，则O为AC中点，而F为AB1中点，于是得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得四边形SKIPIF1<0是平行四边形，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.7.1空间几何中的平行（精练）（基础版）题组一题组一三角形中位线1．（2022·云南丽江）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点O，E为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：∵四边形SKIPIF1<0为正方形，∴O为SKIPIF1<0的中点，∵E为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；2（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：SKIPIF1<0平面ABC【答案】证明见解析；【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·浙江·瑞安市第六中学高一阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0．4．（2022·河北唐山）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在直三棱柱SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.5．（2022·吉林·长春市实验中学）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，D为AB中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析；【解析】在直三棱柱SKIPIF1<0中，连SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，如图，则O为SKIPIF1<0中点，而D为AB中点，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.题组二题组二构造平行四边形1．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）四棱锥SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析；【解析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图所示，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·辽宁朝阳）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·吉林·长春市第五中学）如图，已知四棱锥SKIPIF1<0的底面是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为侧棱SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；4．（2022·辽宁抚顺·高一期末）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点.求证：(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.5．（2022·辽宁抚顺·高一期末）直四棱柱SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是平行四边SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】见解析【解析】证明：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．（2022·湖南衡阳）如图，四棱柱SKIPIF1<0的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，SKIPIF1<0，求证：平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：因为四棱柱SKIPIF1<0的底面ABCD为正方形，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0．7．（2022·福建·厦门市湖滨中学）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）证明：连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）证明：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，因此，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.题组三等比例题组三等比例1．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，过M作SKIPIF1<0于H，求证：(1)平面SKIPIF1<0平面BCE；(2)SKIPIF1<0平面BCE.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）由（1）知：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，且SKIPIF1<0，点M在棱SKIPIF1<0上，若直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值【答案】（1）1∶2；【解析】连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点N，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3．（2021·全国高三）如图，三棱柱SKIPIF1<0在圆柱中，等腰直角三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为上、下底面的内接三角形，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值【答案】SKIPIF1<0【解析】过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0确定一个平面．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<