初中数学函数教案知识点详解

初

中

函

数

姓名

一次函数

知识梳理

知识点1一次函数和正比例函数的概念

若两个变量X,y间的关系式可以表示成丫=1«+6（k,b为常数，kWO）的形式，则称y是x的一次函数（x

为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3,y=-x+2,y=—x等都是一次函数，y=—x,

22

y=-x都是正比例函数.

知识点2函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所

有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线.

知识点3一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k,b为常数，kWO）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线

y=kx+b.

由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一

b

般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0,b）,直线与x轴的交点（―,0）.但也不必一定选取这两个特殊

点.画正比例函数丫=1«的图象时，只要描出点（0,0）,（1,k）即可.

知识点4一次函数y=kx+b（k,b为常数，kWO）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

①k>0时，y的值随x值的增大而增大；

②k<0时，y的值随x值的增大而减小.

（2）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b>0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b<0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数.

（3）由于k,b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①当k>0,b>0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）;

②当k>0,b>0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）;

③当k<0,b>0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）;

④当k<0,b<0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）.

图11-18

知识点5确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数丫=1«（kWO）中只有一个待定系数k,故只需一个条件（如一对x,y的值或一一个点）

就可求得k的值.

（2）由于一次函数y=kx+b（kWO）中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方

程，求得k,b的值，这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.

知识点6待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得

到所求结果的方法，叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如：函数y=kx+b中，k,b就是待定系数.

知识点7用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

（1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k与b的值，得到函数表达式.

例如：已知一次函数的图象经过点（2,1）和（-1,-3）求此一次函数的关系式.

解：设一次函数的关系式为y=kx+b（kWO）,

由题意可知，

l=2k+b,

-3=-k+b,

k=y

―、解4'

h=~.

I3

知识点8：

1、两直线平行，k相等；k相等，两直线平行。

2、两直线垂直，k,•k2=-l.

一次函数测试题

一、相信你一定能填对！（每小题3分，共30分）

1.下列函数中，自变量x的取值范围是x22的是（）

A.y=j2-尤B.y-—^=-C.y=A/4—x~D.y=Jx+2•J%-2

y/x-2

2.下面哪个点在函数y=^x+l的图象上（）

2

A.（2,1）B.（-2,1）C.（2,0）D.（-2,0）

3.下列函数中，y是x的正比例函数的是（）

A.y=2x—1B.y=—C.y=2x~D.y=—2x+l

3

4.一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）

A.一、二、三B.二、三、四

C.一、二、四D.一、三、四

6.若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）

A.k>3B.0〈kW3C.0Wk〈3D.0<k<3

7.已知一次函数的图象与直线y=-x+l平行，且过点（8,2）,那么此一次函数的解析式为（）

A.y=-x-2B.y=-x-6C.y=~x+10D.y=-x-l

8.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的

函数关系用图象表示应为下图中的（）

9.李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了

按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校.在课堂上，李老师请学生画出他行进的路

程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）

10.一次函数y=kx+b的图象经过点（2,-1）和（0,3）,那么这个一次函数的解析式为（）

A.y=-2x+3B.y=­3x+2C.y=3x-2D.y=­x-3

2

二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共30分）

11.已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=,该函数的解析式为.

12.若点（1,3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为.

13.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1,3）和B（-1,T）,则此函数的解析式为.

14.若解方程x+2=3x-2得x=2,则当x时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方.

15.已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m,8）,则a+b=.

16.若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k_0,b0.（填“>”、

“〈,，或“=

17.已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5,-8）,则方程组X<-'y—3=0的解是________.

2x-y+2-O

18.已知一次函数y=-3x+l的图象经过点（a,1）和点（-2,b）,则a=,b=.

19.如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9,则k的值为.

20.如图，一次函数丫=1«+13的图象经过A、B两点，与x轴交于点C,则此一次函数的解析式为,△

A0C的面积为./

-1|01234

-1|

三、认真解答，一定要细心哟！(共60分)

1、如图，直线A8：y=x+l与直线C£＞：y=—2x+4交于点E：

(1)求E点坐标；

(2)在X轴上找一点F使得FB+FE最小，求OF的长；

(3)若P为直线8匕-点，当△AEP面积为6时，求尸的坐标.

25题图

y=gx+l与x

2、如图，直线过点A(0,4),点D(4,0),直线为：C,两直线小6相交于点B。

(1)求直线6的解析式和B点坐标；

(2)求AABC的面积。

3、一次函数y=-x+Z?与正比例函数y=2x图象交于点A(1,n)：

(1)求一次函数解析式；

(2)将(1)中所求一次函数图象进行平行移动，平移后图象过(2,7),求平移后图象的函数解析式.

4、如图，直线y=2x+，〃(〃?>0)与x轴交于点A(-2,0),直线y=+>0)与x轴、y轴分别交于B、

C两点，并与直线y=2x+m(m>0)相交于点。，若AB=4.

(1)求点。的坐标；

(2)求出四边形AOCO的面积；

(3)若E为x轴上一点，且aACE为等腰三角形，求点E的坐标.

5

(10分)如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将AOAB绕点O逆时针方

向旋转90。后得到AOCD.

(1)求直线CD的函数关系式。

(2)设直线CD与AB交于点M,求AADM的面积;

6.已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80

套.已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需

用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元.设生产M型号的时装套数为x,用这批布料生产两种型

号的时装所获得的总利润为y元.

①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？

反比例函数

反比例函数的意义

一、学习目标：

1、能识记反比例函数的概念；

2、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求反比例函数解析式；

3、能根据实际问题确定反比例函数的解析式。

二、自主预习：

自主教材P39—P40,并完成以下各题：

1.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？

（1）京沪线铁路全程为1463km,乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而

变化；________________

（2）某住宅小区要种植个面积为lOOOm，的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；

（3）已知北京市的总面积为1.68X10,平方千米，人均占有的土地面积S（平方千米/人）随全市总人口数n（单

位：人）的变化而变化。

上面的函数关系式，都具有的形式，其中________是常数。

2.概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的

自变量X—为零。

反比例函数的三种表达式①一

②③

三、课堂导学：

例1下列哪个等式中的y是X的反比例函数？

y-4x,2=3,y=6x+l,xy=123

x

例2已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6

(1)写出y与x的函数关系式：

(2)求当x=4时，y的值。

四、课堂自测:

1.y是x的反比例函数下表给出了x与y的一些值:

X-2-113

~22

2

y2-1

3

(1)写出这个反比例函数的表达式；

(2)根据函数表达式完成上表。

2.函数y=(m+是反比例函数，则m=

3.与x-1成反比例函数，当x=2时y=l,则这个函数的表达式是()

11,

C、y=----D、y=---1

x+1x

4.y与x成反比例，并且当x=3时y=4.

(1)写出y与x之间的函数关系式。

⑵求x=l.5时y的值。

5.y=yi+y2,yi与x成正比例，y?与x成反比例，且当x=l时，y=0；当x=4时，y=9.求y与x的函数关系式

反比例函数的图象和性质

第一课时

一、学习目标：

1、会用描点法画出反比例函数的图象；2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质；3.能体会函数的三种表示

方法；

二、自主预习：

自学教材P41—P43相关内容并完成以卜问题：

1.用描点法画图象的步骤是、、

2.反比例函数图象是；

3.归纳反比例函数的性质：

三、课堂导学：

例利用描点法在同一坐标中画出反比例函数y=2和y=--的图象

XX

XX

(2)y=-的图象位于象限，在每一象限y随x的变化如何变化？

X

(3)尸-9的图象位于象限，在每一象限y随x的变化如何变化？

X

四、课堂自测：

X

3.若一次函数产kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数尸一的图象一定在—象限.

X

k

4.在平面直角坐标系内，过反比例函数y=±(k>0)的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、

x

y轴所围成的矩形面积是6,则函数解析式为

2

5.反比例函数y=——,当x=-2时，y=；当xV—2时；y的取值范围是；

x

当X>—2时；y的取值范围是

6.已知反比例函数丁=(。-2)/'",当工〉。时，y随x的增大而增大，求函数关系式。

反比例函数的图象和性质

第二课时

一、学习目标:

1.能用待定系数法求反比例函数的解析式.

2.能用反比例函数的定义和性质解决实际问题.

三、课堂导学:

例1如图所示，已知直线yi=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B,与双曲线丫2=4(k<0)分别交于点C、D,

X

且C点坐标为(-1,2).

(1)分别求直线AB与双曲线的解析式;

(2)求出点D的劭标;

(3)利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时，力>丫2.

例2：以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的图形面积

反比例函数产工的图像如图1所示，点M是该函数图像上一点，MN垂直于x轴，垂足是点

N,如果SAMON=2，则k的值为

2

变式1：如图2,已知点P在函数尸，(x>0)的图像上，PA，x轴、PB，y轴，垂足分别为

A、B,则矩形OAPB的面积为.

总结：__________________________________________________________________________________

四、课堂自测：

1、判断下列说法是否正确

(1)反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，但永远也不可能到达x轴或y轴.()

3

(2)在产一中，由于3>0,所以y一定随x的增大而减小.()

x

3—tn

2、设反比例函数y=-------的图象上有两点A(xyj)和B(x,y),且当XFOVX?时，有yFyz，则m的取值

xP22

范围是.

3、点(1,3)在反比例函数产工的图象上，则1<=_，在图象的每一支上，y随x的增大而.

X

4、正比例函数产x的图象与反比例函数尸人的图象有一个交点的纵坐标是2,求(1)x=-3时反比例函数y的

X

值；(2)当-3vxv・l时，反比例函数y的取值范围.

3

5、已知正比例函数产kx和反比例函数尸一的图象都过点A(m,1),求此正比例函数解析式及另一交点的坐

x

标.

6、已知反比例函数v=A的图像经过第二象限内的点4(一1,必)，血响于点B①的面积为2.若直

X

线y=ax+b经过点4并且经过反比例函数y=4的图象上另一点。(〃，-2).

X

⑴求直线y=or+6的解析式；

⑵设直线y=与x轴交于点弘求,的长.

4

7、如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y==(x>0)的图象与一次函数

x

y=—x+8的图象的一个交点为A(4，机)和点C

(1)求一次函数的解析式及点C的坐标；

(2)设一次函数y=-x+6的图象与y轴交于点8,尸为一次函数y=-x+6的图

象上一点，若△06P的面积为5,求点尸的坐标.

(3)求/AOC的面积

k

8、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图像与反比例函数y=2的图像的一个交点为A(-Ln).

x

⑴求反比例函数y=&的解析式；yf

XXI

⑵若P是坐标轴上的一点，且满足PA=0A,直接写出P的坐标.\

9、［河南开封］如图，一次函数%=kj+2与反比例函数丫2=」的图像交于点A(4,m)和B(-8,-2),与y轴

X

交于点C,求:

(1)&=,k2=

(2)根据函数图像可知，当力>丫2时，x的取值范围是；

(3)过点A作AD，x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限图像上的一

点，设直线OP与线段AD交于点E,当S四边形ODAC：SAODE=3：1时，求点P

的坐标。

10、如图，一次函数丫=1«+1)与反比例函数y=—的图象交于A(2,3),B(一3,n)两点.

x

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx+b>巴的解集；

X

(3)过点B作BCLx轴，垂足为C,求S、BC.

11、如图，•次函数y=+b的图象与反比例函数y=—的图象交于A(—2,1),B(L〃)两点.

x

(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;

(2)求△AOB的面积.

5_

12、如图3,反比例函数产，的图像与直线y-kx(k>0)相交于A、B两点，AC〃y轴，BC

〃x轴，则AABC的面积等于一个面积单位.

图3图4

13、如图4,直线尸mx与双曲线尸品交于点A、B.过点A作AM，x轴，垂足为点M连接

BM.若SAABM=1，则k的值是().

A.1B.m-1C.2D.m

15、如图5,直线y=mx与双曲线y==交于点A、B过点A、B分别作AM_Lx轴、BN_Lx轴,

垂足分别为M、N,连接BM、AN.若SOAMBN=1，则k的值是

匕

16、如图6,在直角坐标系xOy中，一次函数尸kix+b的图像与反比例函数y=7■的图像交于

A(1,4)、B(3、m)两点.

图6

(1)求一次函数的解析式;

(2)求AAOB的面积.

17、如图8,已知双曲线产X(x>0)经过矩形OABC边AB的中点F,交BC于点E,且四

边形OEBF的面积为2,则1<=

图8

二次函数

§2.1二次函数所描述的关系

学习目标：

1.探索并归纳二次函数的定义.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

学习过程：

【例1】函数y=(m+2)x"J-2+2x—1是二次函数，则„1=.

【例2】下列函数中是二次函数的有()

①尸x+一；②y=3(x—1)2+2；③产(x+3)2—2x2；④+x.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例3】正方形的边长是5,若边长增加x,面积增加y,求y与x之间的函数表达式.

1、已知正方形的周长为20,若其边长增加x,面积增加y,求y与x之间的表达式.

2、已知正方形的周长是x,面积为y,求y与x之间的函数表达式.

3、已知正方形的边长为x,若边长增加5,求面积y与x的函数表达式.

【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到

期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税.请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达

式.

【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套.据市场调查发现，这种服装每

提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式.

【例6】如图2-1-1,正方形ABCD的边长为4,P是BC边上一点，QP_LAP交DC于Q,如果BP=x,AADQ

的面积为y，用含x的代数式表示y.

［例7］某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500

万元，进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元.在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销

售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件）,

年获利（年获利=年销售额一生产成本一投资）为z（万元）.

（1）试写出y与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数表达式（不必写

出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别

为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130

万元.请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取

值范围）；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？

课后练习：

1.已知函数产ax?+bx+c（其中a,b,c是常数），当a—时，是二次函数；当a_,b时、是一次函

数；当a—,b―,c—时，是正比例函数.

2c

2.当m—时，y=（m-2）x"'<是二次函数.

3.已知菱形的••条对角线长为a,另一条对角线为它的百倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a

的关系.

4.已知：一等腰直角三角形的面积为S,请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分别求出a=l,a=后,

a=2时三角形的面积.

5.在物理学内容中，如果某一物体质量为m,它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是E=；mv2

（m为定值）.

（1）若物体质量为1,填表表示物体在v取卜列值时，E的取值:

V12345678

E

（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E扩大为原来的多少倍？

6.下列不是二次函数的是（）

A.y=3x2+4B.y=--x2C.D.y=(x+1)(x—2)

7.函数尸（m—n）x2+mx+n是二次函数的条件是（)

A.m>n为常数，且n#0B.m、n为常数，且mrn

C.m、n为常数，且n?0D.m、n可以为任何常数

8.半径为3的圆，如果半径增加2x,则面积S与x之间的函数表达式为（）

A.S=2n（X+3）2B.S=9n+xC.S=4nx2+12X+9D.S=4nx2+12X+9X

9.下列函数关系中，可以看作二次函数产ax?+bx+c（a#））模型的是（）

A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系

C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

D.圆的周长与圆的半径之间的关系.

10.下列函数中，二次函数是（）

,66

A.y=6x~+lB.y=6x+1C.y=~+1D.y=/~+l

11.如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135。的两面墙，另外两边是总长为30米

的铁栅栏.（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围.

D

12.在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R,

通过的电流强度为I,则导线在单位时间所产生的热量Q=R「.若某段导线电阻为0.5欧姆，通过的电流为5

安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q=.

13.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他采用提高售出价，

减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x元，每

天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？

14.某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a（m）,则正方体需要涂漆的表面

积S（m2）如何表示？

15.⑴已知：如图菱形ABCD中，ZA=60°,边长为a,求其面积S与边长a的函数表达式.

⑵菱形ABCD,若两对角线长a：b=l：6请你用含a的代数式表示其面积S.

⑶菱形ABCD,ZA=60°,对,角线BD=a,求其面积S与a的函数表达式.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始沿AB方向向点B以lcm/s

的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别到达B、

C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Sen?,写出S与t的函数表达

式，并指出自变量t的取值范围.

APB

17.已知：如图，在RSABC中，ZC=90°,BC=4,AC=8.点D在斜边AB上，分别作

DE1AC,DF_LBC,垂足分别为E、F,得四边形DECF.设DE=x,DF=y.

(I)AE用含y的代数式表示为：AE=；

(2)求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；

(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数表达式.

§2.2结识抛物线

学习目标：

经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验.掌握利用描

点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.能够作为二次函数y=-x2的图象，并比

较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.

学习重点：

利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数产ax?+bx+c(a视)

的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好.只要注意图

象的特点，掌握本质，就可以学好本节.

学习难点：

函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质.

学习方法：

探索——总结——运用法.

学习过程：

一、作二次函数产*2和产一X2的图象。

1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？

3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？

4.当x取什么值时，y的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、y=x?和尸一x2的图象的性质：

y=x2(a=l>0)y=-x2(a=-1<0)

开口方向

顶点坐标

对称轴

最值

增减性

三、例题:

【例1】求出函数y=x+2与函数y=x2的图象的交点坐标.

【例2】已知a<一l,点(a-1,力)、(a,y2).(a+1,y3)都在函数y=x?的图象上，贝I」()

A.yi<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<yiD.y2<yi<y3

四、练习

1.函数y=x2的顶点坐标为.若点（a,4）在其图象上，则a的值是

2.若点A(3,m)是抛物线y=-x?上一点，则m=.

3.函数y=x2与y=—x2的图象关于对称，也可以认为y=—x2,是函数y=x2的图象绕旋转

得至山

五、课后练习

1,若二次函数y=ax2(a#)),图象过点P(2,-8),则函数表达式为.

2.函数y=x2的图象的对称轴为,与对称轴的交点为,是函数的顶点.

3.点A(；,b)是抛物线y=x2上的一点，则b=；点A关于y轴的对称点B是,它在

函数上；点A关于原点的对称点C是,它在函数上.

4.求直线产x与抛物线y=x2的交点坐标.

5.若a>l,点(一a—1,yP、(a,y2)>(a+1,y3)都在函数y=x?的图象上，判断y1、y3的大小关系？

6.如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB_Ly轴，若AB=6,则直线AB的表达式为()

A.y=3B.y=6C.y=9D.y=36

§2.3刹车距离与二次函数

学习目标：

1.经历探索二次函数y=ax2和尸ax?+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三

者联系起来的经验.

2.会作出y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.

3.能说出产ax2+c与尸ax?图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型.

学习重点：

二次函数y=ax\y=ax2+c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性

质的基础.我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小值)、函数的增减性几个方面

记忆分析.

学习难点：

由函数图象概括出产ax?、产ax?+c的性质.函数图象都由(1)列表，(2)描点、连线三步完成.我们可

根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置.

学习方法：

类比学习法。

学习过程：

一、复习：

二次函数产x2与y=-x2的性质:______________________________________________________

抛物线y=xz2y=-xz2

对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

二、问题引入：

你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？

刹车距离与什么因素有关？

有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以山公式:

晴天时：s=——v2；雨天时：$=—丫2,请分别画出这两个函数的图像：

10050

y=2x2+1(a=2>0)y=-2x2+2(a=-2<0)

开口方向

顶点坐标

对称轴

最值

增减性

四、例题：

2

【例1】已知抛物线产(m+1)x'"开口向下，求m的值.

【例2】k为何值时，y=(k+2)是关于*的二次函数？

【例3】在同一坐标系中，作出函数①尸一3x2,②y=3x2,③y=gx2,④y=—(x2的图象，并根据图象回答问题:

(1)当x=2时，y=；x2比y=3x?大(或小)多少？(2)当x=-2时，y=一万x?比y=-3x?大(或小)多少？

【例4】已知直线y=-2x+3与抛物线产ax?相交于A、B两点，且A点坐标为(一3,m).

(1)求a、m的值；

(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

(3)x取何值时，二次函数产ax?中的y随x的增大而减小；

(4)求A、B两点及二次函数产ax2的顶点构成的三角形的面积.

【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.(1)在如图所示的直角

坐标系中，求出该抛物线的表达式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m),

求出将d表示为k的函数表达式；(3)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽

度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

五、课后练习

1.抛物线y=-4x?—4的开口向,当x=时，y有最____值，y=.

2.当m=时，y=(m-1)x"-3m是关于x的二次函数.

3.抛物线y=-3x2上两点A(X,-27),B(2,y),则x=,y=.

2

4.当111=时，抛物线y=(m+1)x'"+'"+9开口向下，对称轴是.在对称轴左侧，y随x的

增大而:在对称轴右侧，y随x的增大而.

5.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=,b=.

6.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为

7.在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是()

12£22

A.y="x2B.y=—~x2C.y=—2x2D.y=­x2

8.抛物线，y=4x2,产一2x2的图象，开口最大的是()

1222

A.y=~x-B,y=4x~C.y=_2x2D.无法确定

9.对于抛物线产;x2和尸一；x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是()

A.两条抛物线关于x轴对称B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线关于y轴对称D.两条抛物线的交点为原点

10.二次函数尸ax?与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的图象大致为()

11.已知函数y=ax2的图象与直线y=—x+4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同,

则a的值为()

11

A.4B.2C.~D.~

12.求符合下列条件的抛物线产ax?的表达式：~

(1)产ax?经过(1,2)；

(2)y=ax2与y=gx2的开口大小相等，开口方向相反；

(3)y=ax?与直线y=]x+3交于点(2,m).

13.如图，直线i经过A(3,0),B(0,3)两点，且与二次函数y=x?+l的图象,

在第一象限内相交于点C.求：

(1)AAOC的面积；

(2)二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积.

14.自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t(s)和下落的距离h(m)

的关系是h=4.9t2.求：

(1)一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离；

(2)计算物体下落10m,所需的时间.(精确到0.Is)

15.有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m.水位上升-3m,就达到警戒线CD,这时，水

面宽度为10m.

(1)在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式