山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期中学业水平诊断数学试卷(含答案)

2022~2023学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）A． B． C． D．2．已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（）A． B． C． D．3．已知点，，，若，则的值为（）A．2 B． C．0或 D．0或24．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（）A． B．C． D．5．如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，，，则（）A． B． C． D．6．若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定7．如图，和均是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则异面直线与夹角的大小为（）A． B． C． D．8．设过点的直线与圆相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的有（）A．若空间向量，与任意一个向量都不能构成基底，则B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面C．若构成空间的一组基底，则也是空间的一组基底D．若构成空间的一组基底，则，，共面10．圆与圆相交于，两点，则（）A．的直线方程为 B．公共弦的长为C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为11．已知直线与圆相交于，两点，则（）A．的面积为定值 B．C．圆上总存在3个点到直线的距离为2 D．线段中点的轨迹方程是12．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点，则下列结论正确的有（）A．平面 B．平面平面C．点到平面的距离为 D．二面角的正弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线与平行，则实数的值为______．14．已知为空间中一点，，，，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．15．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为______．16．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此四棱锥的侧棱长为米，侧面与底面的夹角为30°，则此四棱锥相邻两个侧面的夹角的余弦值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆经过两点，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．18．（12分）如图，四边形是边长为2的菱形，，平面，，且．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点．（1）求直线到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值．20．（12分）已知圆．（1）若圆与圆外切，求的值；（2）当时，由直线上任意一点作圆的两条切线，（，为切点），试探究四边形的外接圆是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．21．（12分）在如图所示的几何体中，与为全等的等腰直角三角形，，四边形为正方形，且，．已知平面平面．（1）求证：；（2）已知，为上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．22．（12分）如图，经过原点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为．（1）当点坐标为时，求直线的方程；（2）记点关于轴对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上一定点，并求出该定点坐标；（3）求四边形的面积的取值范围．

2022~2023学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学参考答案一、选择题BADD ACCB二、选择题9．AC 10．ACD 11．ABD 12．ACD三、填空题13．1 14． 15． 16．四、解答题17．解：（1）由题知，所求圆的圆心为线段的垂直平分线和直线的交点．线段的中点坐标为，直线的斜率，所以，的垂直平分线的方程为即．联立得，解得圆心．半径．所以，圆的标准方程为．（2）由题意知圆心到直线的距离为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即．所以，，解得所以，直线的方程为．当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意．所以，直线的方程为或．18．解：（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以．又因为平面，平面，所以．因为，所以，平面．因为平面，所以，．（2）设，取的中点，则，由（1）知，，．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，．所以，，，．设平面的一个法向量，则，所以，所以，取．设直线与平面夹角为，所以，．所以，直线与平面夹角的大小为．19．解：（1）连接交于点，连接．因为是的中点，所以，．因为平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离即为直线到平面的距离.由题知，，，两两垂直，所以，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，．所以，，．设面的一个法向量，则，即，所以，取又，所以，点到平面的距离为．即直线到平面的距离为．（2）由（1）知，平面的一个法向量．又，，设平面的一个法向量面，则，即，所以，取．设平面与平面的夹角为，则．所以，平面与平面夹角的余弦值为．20．解：（1）圆的方程可化为：，所以，，即．方程可化为：，因为两圆外切，所以，即，解得，．符合题意．（2）由题意可知四边形外接圆是以中点为圆心，为半径的圆．设，则圆的方程为，整理得：，式子可化为：．联立方程，整理得：，解得，或．所以，外接圆恒过定点和．21．解：（1）证明：因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面平面，所以．（2）由题意，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知，可设，且，，．所以，，．设平面的一个法向量，则，即，所以，取．设直线与平面所成的角为，则，当且仅当，即时，等号成立．所以，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．22．解：（1）当点坐标为时，直线的斜率为2，因为，所以的斜率为．所以，直线的方程为，即．（2）证明：设，，由题意可知，直线斜率存在且不为零，所以，可设直线方程为．联立方程，消得，，由韦达