1.1.2-集合的表示方法

1.1.2集合的表示方法使学生掌握常用的集合表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.(重点、难点）思考1怎样表示“方程x2-5x=0在实数内解的全体”组成的集合C？解答：可以这样表示：C={0，5}.像这样把集合的所有元素都列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.思考2怎样用列举法来表示“由大于3小于10的整数组成的集合”？解答：{4，5，6，7，8，9}.列举法的优点与使用时的注意事项：(1)优点:可以明确集合中具体的元素及元素的个数;(2)使用列举法必须注意:①元素间用“，”分隔;②元素不重不漏;适用范围:ⅰ.含有有限个元素且个数较少的集合;ⅱ.集合的元素较多，元素的排列又呈现一定的规律例如,不大于100的自然数的全体构成的集合,可表示为

{0,1,2,3,…，100}.ⅲ.无限集有时也用上述的列举法表示.例如，自然数集N可表示为{0,1,2,3,…，n,…}.思考3能不能用列举法表示“由大于3小于10的实数组成的集合”?解答：我们不能用列举法来表示大于3小于10的实数组成的集合，因为这个集合的元素是列举不完的，而元素的排列又不呈现明显的规律.对于元素较多的集合或者根本就不能将元素一一列举的集合用“描述法”来表示就显得简洁明了多了。思考4如何表示第一象限的点组成的集合?解答：第一象限的点有无数个,无法用列举法表示，但这些点有明确的特征，横坐标x>0,纵坐标y>0,则第一象限的点集可以表示为{(x,y)|x>0,y>0},这种表示集合的方法叫描述法.什么是描述法呢？一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为

{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.{x∈R3<x＜10}注意：在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写.例如，在实数集R中取值，“∈R”常常省略不写，像上述集合也可以写作{x|3<x＜10}.思考3中，大于3小于10的实数组成的集合可表示为：代表元素所有元素所共有的“特征性质”描述法的一般形式为：{x∈I|p(x)}x为该集合的代表元素p(x)表示该集合中的元素x所具有的性质使用描述法必须注意：①写清该集合中的代表元素；②准确说明该集合中元素的特征；③不能出现未被描述的字母；④准确使用“且”与“或”；⑤所有描述的内容都要写在“｛｝”内；⑥集合符号“｛｝”已包含“所有”的意思,文字描述不应该再用“全体”、“全部”、“所有”或“集”等词语.7：方法不唯一提升总结：集合的表示方法的变换列举法描述法通过对元素规律的观察概括出元素的特征性质根据元素的特征性质找出具体元素[分析]对于(1)集合A中“x∈N”且“0<x≤5”共同限制了集合元素的属性，而（2）中所求的也即是方程的解集，解方程即得。解（1）A＝{1,2,3,4,5}；

（2）B＝{2,3}.应用列举法应注意的问题：（1）用列举法表示集合时，要注意是数集还是点集；（2）列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然.提升总结变式训练:用列举法表示下列集合:（1）由x2-9=0方程的所有实数根组成的集合.（2）由小于8的所有素数组成的集合.（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合.例2用描述法表示下列集合:（1）｛-1,1｝；（2）大于3的全体偶数构成的集合；（3）在平面内，线段AB的垂直平分线.[分析]对于用描述法表示的集合，要从本质上去认识它，看清集合的“代表元素”，判断出我们要研究的集合元素所共有的“特征性质”.解:(1)这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于1的实数，即|x|＝1于是这个集合可以表示为{x||x|=1}.(2)这个集合的一个特征性质可以描述为

x>3，且x=2n,n∈N.于是这个集合可以表示为

{x|x>3,且x=2n,n∈N}通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合.(3)设点P为线段AB的垂直平分线上任一点，点P和线段AB都在平面内，则这个集合的特征性质可以描述为

PA＝PB于是这个集合可以表示为

{点P∈平面｜PA＝PB}应用描述法应注意的问题：（1）若用{x∈I|p(x)}形式表示集合，x是集合中的代表元素，I是x的取值范围，p(x)是集合中元素的共同特征，竖线不可省略.（2）若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围.提升总结变式训练：用描述法表示下列给定的集合：（1）不等式4x－5<3的解集.（2）二次函数y=x2-4的函数值组成的集合.（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.（4）不等式的解集.{x|}{|}{x|}y{x|}例3用适当的方法表示下列集合：(1)比4大2的数；(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集；(3)不等式x－2>3的解的集合；(4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合．分析:由题目可获取以下主要信息：①已知4个集合；②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比4大2的数就是6，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等式的解有无数个，宜采用描述法；对于(4)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．解：(1)比4大2的数显然是6，故可表示为{6}．(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴∴方程的解集为{}或{(2，－3)}．(3)由x－2>3，得x>5.故不等式的解集为{x|x>5}．(4)“二次函数y＝x2－1的图象上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－1}．用什么方法表示集合，要具体问题具体分析：（1）用列举法表示元素较少的集合可以一目了然，方便快捷，但元素较多时就不太方便了;（2）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的类型，是数集、点集还是其他的类型，描述法多用于元素个数无限的集合．提升总结变式训练用适当的方法表示下列集合：(1)二元二次方程组îíì

y＝xy＝x2的集合；

(2)大于4的全体奇数组成的集合；

(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；

(4)一次函数y＝2x＋1图象上所有点组成的集合．

1.（2012·潍坊高一检测）下面四个关系式：∈｛x︱x是正实数｝，0.3∈Q,0∈｛0｝,0∈N,其中正确的个数是（）A.4B.3C.2D.1A2.已知A=｛x︱3-3x>0｝,则有（）A.3∈AB.1∈AC.0∈A