理学统筹方法

简介早在五十年代后期，美国出现了两种制定大型工程计划的新方法，这就是计划评审技术（ProgramEvaluationandReviewTechnique,简称PERT）和关键路线法（CriticalPathMethod，简称CPM）。这两种方法在美国和其它许多国家的许多部门得到了广泛的应用，并陆续的又出现了一些其他方法。我国在1965年由华罗庚教授首先推广这种方法，取其统筹兼顾合理安排的主要思想称为统筹方法。这种方法很快在国防、工业、农业、交通和科研等方面的组织管理中，得到了实际应用并取得了显著的成效。第一节统筹图的基本概念及绘制规划采用统筹方法进行计划制定和组织管理时，需要绘制统筹图（网络图）。统筹图自左至右表示一项工程从开工到完工的整个计划，直观地反映组成工程的各项活动及其相互间的内在关系。统筹图也可称为工序流程图。一、工程的分解及工序间的关系我们所讲到的工程，决不仅指建筑工程，而是对生产、科研及各种较复杂的工作任务的统称。定义

一项工程，根据工艺技术和组织管理上的需要，将工程划分为按一定顺序执行而又相对独立的若干项活动，这些活动称为工序。在统筹图上，工序k用箭线“”表示。显然，完成工序是需要时间、人力和物力的。对于相邻工序，如工序a和工序b、c相邻，工序b、c都需要在工序a完工后才能开工，则称工序a为工序b、c的紧前工序；称工序b、c为工序a的紧后工序。定义表示一道或多道工序的开工或完工的特定时间点称为事项。在统筹图上，事项用注有编号的圆圈结点表示。并规定工序的开工事项的序号小于完工事项的序号，即i<j。工序的开工事项与完工事项统称工序的相关事项。工序k可以用（i，j）表示。统筹图最左端的结点是始点事项，表示工程开工，它无前导工序。最右端的结点是终点事项，表示工程完工，它无后继工序。其它事项既表示某一工序的开工又表示某一工序的完工。应该强调指出的是，事项是时间的瞬时点，是相邻工序的时间分界点，它不需要时间和资源。根据上述基本概念，我们在编制工程计划之前，必须通过分析研究，把一项工程分解为若干道工序，确定出各工序之间的前后顺序及相互关系，以及完成各道工序所需要的时间。这里，我们只考虑具备工时定额或其他能够定出完成各道工序所需时间资料的情形。如，有劳动定额资料、时间消耗统计资料等。完成一道工序所需的时间简称工序时间。对于不具备上述资料的情形即非确定型，我们将在第五节讨论。有了工程经过分解后的工序资料，即可列出工序一览表。如表12-1即为某公司简化的预算编制过程表。一项工程列出了工序一览表后就可以绘制统筹图表12－1二、绘制统筹图的主要规则（一）关于工序表示的规定工序必须用唯一意义的结点组合来表示。即一条箭线和与它相关联的结点只能表示一道工序及其开工和完工。任何两道或多道工序不能用同一结点组合表示。例如图12-1的画法是错误的，因为（1，2）表示两道工序a和b，这是违反上述规定的。例1

某工程的各工序资料如表12-2所示。试绘出该工程的统筹图。解根据工序一览表绘制统筹图，如图12-2所示1221345图12-1图12-2ababcd表12－2（二）关于虚工序的规定为了不违反规定（一），引入虚工序。虚工序是虚设的，即不花时间和资源的非实际工序，只用来表达相邻工序之间的衔接关系及其它需要。在统筹图上用虚线表示虚工序。有了虚工序的规定，就能在统筹图中准确地建立起各工序间的逻辑关系。如有一项工程，运木材不需等地基挖完，只要运完砖即可运木材，如绘成图12-3就不合逻辑。而利用虚工序，统筹图则可绘成如图12-4所示。如图所示1221345图12-3图12-43456挖地基砌墙运木材运砖挖地基砌墙运砖运木材又如对表12-1，可利用虚工序绘制统筹图，如图12-5所示。图中的工序2至3即为虚工序，它只表示工序a完工后，工序c才能开工。即表示工序c除工序b为紧前工序外，工序a也是它的紧前工序。如图21345图12-56acbdgfe例2

某项工程的各工序资料如表12-3所示，试绘制其统筹图。表12-3

解

根据表12-3，可绘出统筹图如图12-6所示。从上面各例中可以看出，有了虚工序的规定，给绘制统筹图带来很大的方便。但对于虚工序的掌握和使用，也还有一定的技巧。如图21345图12-66acbdfe12345图12-7bacd（三）关于始点与终点的规定始点是表示工程的总开工时间，终点是表示工程的总完工时间，因此，始点与终点也只能各有一个。除始点与终点外，其他结点必须前后都有箭线连接。在例1的图12-2中，始点不合要求，可利用虚工序绘作如图12-7所示。把始点或终点合并为一个，也是虚工序的作用之一。三、两种缩短工期的作业方法（一）平行作业平行作业在例1、例2中已出现过，这就是同时进行一些工序，以达到缩短工期的目的。在统筹图中，利用虚工序来表示这种关系。如根据表12-4绘制的统筹图12-8中，工序b、c就是平行作业，虚工序e则表示在工序b、c都完工后才能转入工序d。表12－4如图21345图12-8a4e0b3d71234图12-9bacdc5为便于今后确定关键路线，规定当某一工序的紧前工序是几道工序平行作业时，选择其中工序时间最长的工序与该工序直接连接，其它工序则通过虚工序与该工序连接。例如图12-8中的工序c比b的工序时间长，工序c直接与工序d连接，而工序b则通过虚工序e与工序d连接。由上述可知，如果没有虚工序，表12-4的统筹图将如图12-9所示，出现了（2，3）表示两道工序b、c的错误，而利用虚工序则可避免此类错误。（二）交叉作业为了缩短工期，还经常采用交叉作业的方式。对需要较长时间才能完成的相邻几道工序，采用分段平行作业，即相邻两道工序在前一工序未全部完成就开始后一工序作业，这就是交叉作业。例如，修建某段铁路时，有3道工序：修路基（a），铺道渣（b），铺钢轨（c）。显然，不会等一项全部完成后再开始另一项。此时可将每道工序分为两段进行交叉作业，设：，

，。可绘出如图12-10的统筹图。如图21345图12-11689710112134567图12-10如果将各工序都分为3段,即，

，。仍采取交叉作业，其统筹图就稍微复杂一些了，如图12-11所示。又如，若工序a、b同为工序c的紧前工序，工序a、b可以平行作业，且又可以与c分为三段交叉作业，即，，。此时，可绘成如图12-12所示的统筹图。如图21345图12-12689710第二节关键路线在我们将一项工程任务分解并绘出统筹图后，就应确定完成该项工程所需的最少时间。为此，我们必须寻找对完成整个计划影响最大的、所需时间最长的、从始点至终点的一连串工序，这是掌握计划完成的关键。定义

在统筹图中，从始点出发，经过一组按同一方向依次连接的箭线和结点，到达终点的路线称为路。一条路所代表的各道工序所需时间的总和称为该路的路长。例如图12-13中，找出各条路并求路长。如图21345图12-13687a4b3d5f5k5c2j5i106eh53g在图12-13中，从始点到终点共有7条路。例如：第1条路

路长=4+3+5+5+5=22；第2条路

路长=4+3+6+3+5+5+5=31；12345687123678第3条路

路长=4+3+6+3+10+5=31；………………第6条路

路长=4+5+5+5+5=24；1325678412578第7条路

路长=4+5+10+5=24。定义在统筹图中，最长的路称为关键路线，或称为主要矛盾线。关键路线上的工序称为关键工序。根据上述定义，在图12-13中，第2条路与第3条路均为关键路线。由此可知，在统筹图中关键路线可能不止一条，关键工序则是a、b、e、g、h、i、j、k各项。12578本工程由于关键路线的路长是31，因此，总工期即为31天。在两条关键路线中的共有关键工序a、b、e、g、k中，只要有一道工序时间缩短或延迟，则整个工程完工时间就提前或推迟。而在非关键路线上的非关键工序时间缩短，则不影响整个工程的完工期，如第6条路中的工序d就是如此。我们绘制统筹图，就是为了全面掌握工程的计划。在统筹图中要将关键路线用粗线、双线或红线标出。关键路线的路长就是整个工程的完成期。因此，要采取各种技术和组织措施，努力把关键工序提前或按时完成，从而使整个工程的完工期提前或按时完成。显然，关键路线是相对的。原来的关键路线，在采取了某些技术和组织措施后，路长缩短了，可能变成非关键路线，而原来的某一条或几条非关键路线则可能成为关键路线。对于小型工程的统筹图，因其比较简单，寻找关键路线时，可用对每条路的路长都进行计算的全枚举法。但对大型工程的统筹图，则要通过其它方法来找关键路线。下面我们将要介绍利用时间参数找关键路线的方法。第三节时间参数及其计算为了寻找关键路线及掌握工程进度，需要把一些时间参数计算出来，或列在表上，或标注在统筹图上，以便管理人员合理组织生产，有效地调配及控制资源的使用，保证工程顺利进行。一道工序（i，j）的工序时间用t（i，j）表示。定义一个事项j所能发生的最早时间称为事项的最早时间，记作事项j的最早时间，是指用该事项表示完工的那些工序都完工的时间。例如12-14中，当工序a、b和c都完工时，事项j即发生。由此可见，图12-14中，事项j的最早时间可由下式计算：

用公式表示为:

j=1,2，……，n.（12—1）式中——始点事项的最早时间；

n——终点事项的编号；

i——存在工序（i，j）的所有结点。如图2321345图12-14图12-15cba3b1c4d24jae

5f0012733由式（12-1）不难看出，计算事项的最早时间需从始点起，自左向右逐个事项向后推算，直至终点为止。并将计算出的各事项最早时间，写在事项的左下方，用方框“”括起来，如图12-15所示。

=0+3=3

=max{3+0,0+1}=3

=max{3+4,3+2}=7=7+5=12由上述可知，图12-15所表示的工程，从开工到完工的最短工期为12天，即终点事项5的最早时间。定义一个事项i最迟可以在何时发生，而不致推迟工期最早完工时间，这个时间称为事项最迟时间，记作

考虑图12-16，其中3道工序f、g和h，如果能分别在时间、和完成，则工程的工期不会推迟。78图12-16hg9fi在图12-16中：用公式表示为：

i=n-1,n-2,…,1

（12-2）式中n——终点事项的编号；——工程最早完工时期，一般作为工程完工时间；

j——存在工序（i，j）的所有结点。由式（12-2）不难看出，计算事项最迟时间，是从终点开始，由右向左逐个事项逆推计算，直至始点为止。将算出的各事项最迟时间标注在各个事项的右下方，用三角框“”括起来，例如12-17所示。21345图12-170127305712333ac4b1e5d2f0

=min{7-4,5-0}=3

=min{3-3,5-1}=0有了事项的最早时间与最迟时间，我们就可以计算出工序的其它时间参数，这些参数表示的意义，由下列计算公式即可看出，并且可由图12-18中的参数计算出来这些参数。工序最早可能开工时间工序最早可能完工时间

工序最迟必须开工时间

j图12-18it(i,j)工序最迟必须完工时间

工序总时差

或

（12-3）

式中——在不影响工程最早完工期的前提下，工序完工期可以推迟的时间；

工序单时差

（12-4）式中——在不影响紧后工序最早可能开工时间的前提下，工序最早可能完工时间可以推迟的时间；

——工序（i，j）的紧后工序（j，k）的最早可能开工时间；显然有0≤≤以上这些时间参数之间的关系，可参阅图12-9（工序a、b的工期小于）。如图图12-19工序a的总时差工序a的单时差工序a工序b在关键路线上的各道关键工序的总时差均为零。即关键工序有

=

或=也可根据此定义关键路线。根据上述可知，在统筹图上寻找关键路线的另一方法，即是以那些总时差为零的工序所形成的路，确定为关键路线。另外，在关键路线上，每一事项的最早时间与最迟时间相等，即他们的差为零，也可由此找出关键路线，显然两者是一致的。总时差不为零的各道工序，是非关键工序。在工程进行中，为确保关键工序不拖延，有时也利用非关键工序的时差，来调整人力、物力，以支援关键工序。因此，时差也称为机动时间。还需强调指出，上述时间参数，其中，

及是表示一段时间，而其余的则是表示某一瞬时时刻。例3

计算图12-17的各时间参数并找出关键路线。解计算出的时间参数列表如表12-5所示。关键路线为

此关键路线在图12-20中用粗线标出，从图中也可看到，关键路线上的每一事项的最早时间与最迟时间相等。124521345图12-200127305712333ac4b1e5d2f0以上所介绍的，是用图上计算法计算时间参数，这种方法简单迅速。但当统筹图比较庞大时，容易遗漏，有时则采用表格法或矩阵法，关于这两种方法不在细述。在本节最后，我们简单介绍一下结点式统筹图。前面所讲的是箭线式统筹图，它以箭线代表工序，这是常用的。但绘制箭线式统筹图时常需设置虚工序，比较麻烦，不仅增加了工作量，也使图形扩大。为了克服这一缺点，可采用结点式统筹图。结点式统筹图以结点代表工序，结点仍用圆圈表示，圆圈内标注工序代号和工序时间。以箭线表示工序之间的前后衔接关系，即箭头所指向的结点就是紧后工序。这种统筹图绘制起来要比箭线式统筹图容易一些。例4

绘制图12-17的结点式统筹图。解结点式统筹图如图12-21所示。也可将工序的时间参数标注在代表工序的结点上、下方，如

0最早可能开工时间

0最迟必须开工时间a/33最早可能完工时间

3最迟必须完工时间图12-21始/0a/3b/1c/4d/2终/0e/5这样，例4的统筹图也可绘制成如图12-22所示根据关键工序的最早可能开工时间等于最迟必须开工时间或最早可能完工时间等于最迟必须完工时间，在图12-22中，与用箭线式统筹图求关键路线方法相同，也可找到关键路线是由工序a、c和e组成。虽然结点式统筹图较为简便，但由于箭线式统筹图出现较早，被人们首先接受，又比较形象，所以人们还是更喜欢用箭线式统筹图。因此，我们只对结点式统筹图做如上简单介绍。如图图12-22始/0a/3b/1c/4d/2终/0e/50000003333770415573577121212121212第四节最少工程费方案的制定我们在第二、三节中，都是只考虑时间而制定工程计划，这只能作为初始方案。这一节我们将对工程费用和时间一起考虑来制定最少工程费方案。一项工程，如果安排合理、调度得当，比如改进技术，采用平行作业或交叉作业，实行协作等，其完工时间可以缩短。一般情况下，缩短一道工序时间，就要采取一些措施。如，加班、增加设备等，需要增加一定费用，如果其收益超过所增加费用，当然还是要缩短这道工序。我们知道，要想缩短整个工程的工期，首先考虑的是缩短关键路线上的关键工序时间，这要符合最经济的原则，即缩短那些增加费用少的工序时间。

一项工程所需费用，基本上分为两大部分，即直接费用与间接费用。直接费用是与完成工序直接有关的费用，如人力、机械、原材料等费用，间接费用是指管理费、设备租金等，是根据各道工序时间按比例分摊的。工序时间越少，间接费用就越少；反之，工序时间越多，间接费用就越多。一项工程总费用就是直接费用与间接费用的总和，即

W=U+V,式中W——工程总费用

U——直接费用

V——间接费用工程费用与完工期之间的关系，可用图12-23表示。

完工时间总费用间接费用直接费用O最短时间费用最优时间正常时间图12-23从图12-23中可直观看出，在正常工期和最短工期（缩短工期的最低限度，也简称赶工时间）之间，存在着一个最优工期，此时总费用最少。这个时间称为最少工程费日程。从关键路线入手，找出最少工程费日程的方法，就是关键路线法（CMP）。为了简便起见，假设工序的直接费用与工序时间也是线性关系，如图12-24所示。间接费用直接费用O赶工时间费用正常时间工序时间图12-24设工序k每赶一天进度所需要增加的费用为q(k),则q(k)=,式中q(k)——费用斜率；

c——赶工所需费用；

n——正常完工所需费用；

——正常完工所需时间；

——赶工时间。显然，费用斜率越大的工序，每缩短一天，花的费用就越多。在考虑缩短工程工期时，当然是要缩短各关键工序中的某一道或某几道工序的工期，而选择缩短哪道工序要以总费用最省为根据。在赶进度完工时，其总费用为

W=＋(c-n)+V

式中W——总费用；

——正常完工的直接费用；

(c-n)——赶工增加的费用；

V——间接费用。下面通过例子加以说明。例5

某项工程根据有关资料，计算出了费用斜率如表12-6所列，试制定该工程的最少工程费计划方案。解

根据表12-6，可绘出统筹图12-25。按正常时间完工需25天，所需总费用为

W=14900+500×25=27400元若使工程工期最短，即将所有工序时间都压缩到其可能的最短时间，看其费用情况如何。这时，统筹图如12-26所示。工程完工期为17天，其赶工增加费用(c-n)为3×400+1×200+1×200+1×300+2×300+3×500+3×100+1×400＝4700元总费用W=14900+4700+500×17=28100元显然费用太大，不是最优。表12－6

合计

149

间接费用5（百元/天）如图21345图12-2501514100101415576202072525a10h5d4b5e5f6g5c3如图21345图12-26010107071011456131371717a7h4d3b4e3f3g2c2现在，我们通过分析按正常时间完工的计划方案，进而找出最少工程费方案。由图12-25可以看出，在按正常时间完工的统筹图中，有两条关键路线：第1条是

第2条是

由此可知，两条关键路线在结点3和结点6之间有并联部分，关键工序为a、d、e、f、g和h，其中工序a、h为两条关键路线所共有。要缩短工期，就要缩短关键工序的时间，在上述两条关键路线的情况下，首先考虑缩短共有的关键工序。本例中，先考虑缩短关键工序h，每缩短1天，需增加费用400元，但节省间接费500元，净省费用100元。因此，把工序h压缩到最低限度4天。同时，总费用减为27300元。1314567367然后再考虑压缩工序a，与压缩工序h一样，每压缩1天，总费用净省100元。但此处需注意，工序a不能压缩到其最低时间限度7天，因为当工序压缩2天时，工序时间为8天，这时工序b和工序c就都变成了关键工序。这样，在结点1和结点3之间，也出现了并联的关键路线部分。继续单独压缩工序a，已不能缩短整个工程的工期。因此，只能把工序a压缩为8天。总费用减为27100元。现在，还需继续压缩工期，在还可以压缩的关键工序中，可有以下考虑。若将工序a和工序b各缩短1天，虽可达到缩短工期的要求，但需增加费用600元，大于间接费用节省的500元，总费用反而增加，不合要求。同理，同时压缩工序a和工序c，总费用也要增加。再来考虑结点3和结点6之间的各关键工序d、e、f和g，因为它们之间是并联的，所以要想缩短工程的工期，必须在d、f中和e、g中，各压缩一道工序的时间。这样，有下列4种可能的组合，如表12-7中所列。

(单位：百元)表12－7从表12-7中可见，除压缩工序d和g的组合能使总费用减少外，若压缩其它三组，均使总费用增加。因此，将工序d和工序g各压缩1天，总费用减为27000元。由于工序d的限制，不能进一步压缩了。

综合起来，选择如表12-6所示的最少工程费计划方案，按下列要求去做：将工序a压缩为8天，将工序d压缩为3天，将工序g压缩为4天，将工序h压缩为4天，其它工序b、c、e和f仍按正常时间进行，这样得到的最少工程费日程为21天，总费用为27000元，其统筹图如图12-27所示。如图图12-272134567b5h4f6g4a8d3e5c3以上我们所介绍的这种找最少工程费日程的方法，称为全枚举法。这种方法只适合用小型工程项目，而对于庞大的工程项目，一般包含许多并联的关键路线，每一条路线又具有大量的工序，若利用全枚举法，需检查并联线路中的一切可能的工序组合，费时费力费钱。例如，有两条关键路线，其中并联部分各有20道工序，那末，必须将400种工序组合一一检查，来确定工序的压缩方案。因此，对大型工程任务则需采用数学规划等方法。还需指出，在编制工程进度计划时，除考虑时间和费用外，还要考虑合理安排人力、物资设备和能源等有限资源。尤其在资源较紧张时，要合理调配，以保证急需的关键工序，必要时甚至可以适当推迟工程的完工时间，这些都是需要计划人员或工程负责人全面衡量利弊，根据实际情况灵活掌握。第五节非确定型统筹问题到目前为止，我们所考虑的工序时间是属于确定型的。也就是说，每道工序都是以往重复过多次，因此工序时间的确定有资料可依据，如建筑工程等。但有很多工程则不是这样，如在研制一种新的发展项目时，许多工序的延续时间，几乎没有什么可供参考的资料，这时就产生了不确定性问题。但是为了编制进度计划和绘制统筹图，就需要把这种非确定型问题化为确定型。这样，我们就可用前面所讲方法，来编制工程进度计划和绘制统筹图。这就是计划评审技术（PERT）。要确定工程进度，首先必须确定全部工序的工序时间。对于非确定型问题的工序时间，一般采用“三时估计法”。即找有经验的人员，如工程师、技术员、车间主任、工长、老工人等来估计三种时间，一是最可能时间，即在正常情况下，完成该工序所需的时间，一般用m表示；二是乐观时间，即在一切都是最顺利情况下，完成该工序所需要的最短时间，一般用a表示；三是悲观时间，即在最坏情况下，完成该工序所需要的最长时间，一般用b表示。悲观时间的估计，不考虑地震、火灾、洪水、战争或其它非常少见的大灾情况。

对于工序时间的“三时估计法”，就是将上述三种时间的加权平均数作为完成该工序所需的估计时间，用表示，一般采用

利用上式确定了工序时间，非确定型问题即可当作确定型问题处理。下面我们要讨论的是这种估计的可靠性。由于工序时间的不确定性，也就是说，工序时间是一个随机变量。可以设想，这个随机变量服从一个单峰分布（国外许多专家认为服从分布），如图12-28所示。如图aOPt图12-28bm

图12-28中，为工序时间的估计值，其实为期望的近似值。端点a、b设均在距离期望值的三个标准差之内，为工序的工序时间的标准差。因此，可近似有：

或方差为

（12-5）某项工程，如果已对各工序作了三时估计，将估计值作为期望值，并根据公式（12-5）算出方差，将估计值当作实际工序时间看待，就可绘出统筹图，找出关键路线来。我们知道，工程的完工期，是由关键路线中所有关键工序的工序时间之和求得，但这里的工序时间都是随机变量。因此，工程完工期也是随机变量，也存在工程完工期的期望值与方差

。由于我们定义的工序是相互独立的，所以工程完工期的期望值，即等于关键路线中所有关键工序的工序时间的期望值总和。工程完工期的方差就等于关键路线中所有关键工序的工序时间的方差总和。即

（i，