备考高考数学(文)总复习-全书教学教案

著名的数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者波利亚提出“掌握数学意味着善于解题”．他将解题过程分为四个部分：“审题，转换，实施，反思”．要解好题必须先审好题，审题是解题的第一步．一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审题．审题是解题者对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息作有序提炼．本讲结合实例，教你正确的审题方法，开启成功解题之路．审条件挖隐含条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路，审题时要充分挖掘每个条件的内涵和隐含的信息，以便于明确解题的思路．例1已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于()A．6 B．5C．4 D．3[审题导引][规范解题]由||＝10，得|－|＝10，平方得||2－2·＋||2＝100，因为·＝－16，所以||2＋||2＝68，又因为D为BC中点，所以＝eq\f(1,2)(＋)，即||＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)eq\r(36)＝3.故选D.[答案]D审结论逆向推结论是解题的最终目标。解决问题的思维，很多情形下都是在目标意识下启动和定向的，审视结论要探究已知条件和结论间的联系和转化规律，善于从结论中捕捉解题信息，确定解题方向．例2已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝eq\f(an,2n－1)，证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[审题导引][规范解题](1)证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(2an＋2n,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1，所以eq\f(an＋1,2n)－eq\f(an,2n－1)＝1，n∈N*，又因为bn＝eq\f(an,2n－1)，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝a1＝1，公差为1.(2)由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝2n－1bn＝n·2n－1.审图形抓特点在一些高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含于图形之中，由此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势、抓住图形的特征，运用数形结合的思想，是破解考题的关键．例3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12＋π B．8＋πC．12－π D．6－π[审题导引]eq\x(条件)eq\x(组合体)eq\x(\a\al(正方体下面,挖去一个圆柱))eq\x(结果)[规范解题]V＝V正方体－V圆柱＝2×2×3－π×12×1＝12－π.故选C.[答案]C[易错提醒]本题容易错想成一个圆柱上放一正方体，所以易错选成B.审结构巧计算数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的，认真分析其结构特点，找出其隐含的特殊关系，寻找突破问题的方案．例4不等式(5x＋3)3＋x3＋6x＋3>0的解集为________．[审题导引][规范解题]不等式变形为(5x＋3)3＋(5x＋3)>－(x3＋x)，设f(x)＝x3＋x，则不等式变为f(5x＋3)>－f(x)，又f(－x)＝－f(x)，故f(5x＋3)>f(－x)，因为f(x)＝x3＋x在R上单调递增．所以5x＋3>－x，即x>－eq\f(1,2)，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2))))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))审图表和数据题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．审题时要认真观察分析图表、数据的特征和规律，为问题解决提供有效的途径．例5某中学为了了解高一学生在一月内参加各种社团活动的情况，随机抽取200名学生，获得了他们的活动时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图如图所示．组号分组频数1[0,2)122[2,4)163[4,6)x4[6,8)445[8,10)506[10,12)247[12,14)128[14,16)49[16,18)4合计200(1)从该校高一年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生该月参加社团活动的时间少于14小时的概率；(2)求统计表中的x的值和频率分布直方图中的b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该月活动时间的平均数在第几组(只需写出结论)．[审题导引]eq\x(审表格)eq\x(\a\al(计算不少于14,小时学生数))eq\x(求概率)→eq\x(审图形)eq\x(计算b)eq\x(得出结论)[规范解题](1)根据频数分布表可知，200名学生参加社团活动的时间不少于14小时的学生人数为4＋4＝8，所以样本中学生参加社团活动的时间少于14小时的频率是1－eq\f(8,200)＝eq\f(24,25)，用频率估计概率可得所求概率大约为eq\f(24,25).(2)依据频率分布直方图可知x＝200×0.085×2＝34.依据频数分布表和频率分布直方图可知b＝eq\f(\f(50,200),2)＝0.125.(3)估计样本中的200名学生活动时间的平均数在第4组．专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)命题全解密MINGTIQUANJIEMIeq\o(\s\up7(),\s\do5(1.命题点))集合间的关系、集合的基本运算；四种命题之间的关系、命题的否定、充要条件．eq\o(\s\up7(),\s\do5(2.交汇点))集合间的关系、集合的运算常与不等式、函数的定义域、值域交汇考查；充要条件常与不等式、立体几何、函数、解析几何、三角函数、数列等知识交汇考查．eq\o(\s\up7(),\s\do5(3.常用方法))Venn图法，数轴法判断集合之间的关系；定义法或集合法判断充要条件．eq\o(\s\up7(对应学生用书P002),\s\do5())[必记公式]集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.(2)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(∁UA)＝A.[重要结论]1．集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．复合命题真假的判断方法命题p∧q，p∨q及綈p真假可以用下表来判定：pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口诀记忆p∨q，一真则真；p∧q，一假则假；綈p与p真假相反．4．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件；(2)充要条件与集合的关系：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.5．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．[易错提醒]1．在A⊆B中，易忽略A＝∅的情形．2．命题的否定与否命题不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．3．“A的充分不必要条件是B”与“A是B的充分不必要条件”不同．4．忽视集合元素“互异性”的验证．5．集合的含义认识不清，如：{x|y＝2x}表示定义域{x|x∈R}，{y|y＝2x}表示值域{y|y>0}．eq\o(\s\up7(对应学生用书P002),\s\do5())热点一集合的概念及运算例1(1)[2015·陕西质检]设集合A＝{x|y＝lg(3－2x)}，集合B＝{x|y＝eq\r(1－x)}，则A∩B＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) B．(－∞，1]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))[解析]∵A＝{x|y＝lg(3－2x)}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1())x<\f(3,2)))，B＝{x|y＝eq\r(1－x)}＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|x≤1}，故选B.[答案]B(2)[2015·洛阳统测]已知集合A＝{x|x2－4x－12<0}，B＝{x|x<2}，则A∪(∁RB)＝()A．{x|x<6} B．{x|－2<x<2}C．{x|x>－2} D．{x|2≤x<6}[解析]由x2－4x－12<0，解得－2<x<6，所以A＝{x|－2<x<6}．又∁RB＝{x|x≥2}，所以A∪(∁RB)＝{x|x>－2}，故选C.[答案]C例(2)中B＝{x|y＝eq\r(x8－x)}则∁R(A∩B)＝________.答案{x|x<0或x≥6}解析由x2－4x－12<0得－2<x<6，由x(8－x)≥0得0≤x≤8.则A∩B＝{x|0≤x<6}所以∁R(A∩B)＝{x|x<0或x≥6}．解答集合运算问题的策略首先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表的意义．然后根据集合中元素的性质化简集合．(1)若给定集合涉及不等式的解集，要借助数轴．(2)若涉及抽象集合，要充分利用Venn图．(3)若给定集合是点集，要注意借助函数图象．提醒：注意元素的互异性及空集的特殊性．1．[2015·唐山统测]函数y＝eq\r(x3－x)＋eq\r(x－1)的定义域为()A．[0,3] B．[1,3]C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)答案B解析要使函数有意义，需要保证eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－x≥0,x－1≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,x≥1))，∴1≤x≤3，故选B.2．[2015·九江一模]已知全集U＝R，集合A＝[2,5)，∁UB＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，则A∩B＝()A．(2,5) B．(1,2)C．{2} D．∅答案C解析由题知B＝[1,2]，∴A∩B＝{2}，故选C.热点二命题真假的判断与否定例2(1)[2015·贵阳监测]下列说法正确的是()A．命题“∀x∈R，ex>0”的否定是“∃x∈R，ex>B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题[解析]A中命题的否定是“∃x∈R，ex≤0”，∴A错误；B中逆否命题为“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题，∴B正确；C中分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D中若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则①：a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a[答案]B(2)[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∧q[解析]由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈p为假，綈q为真．所以p∧(綈q)为真，(綈p)∧q为假，(綈p)∧(綈q)为假，p∧q为假．故选A.[答案]A命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．1．[2015·安徽高考]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．2．[2015·课标全国卷Ⅰ]设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案C解析命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.热点三充要条件的判断例3(1)[2015·陕西高考]“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]∵sinα＝cosα⇒tanα＝1⇒α＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又cos2α＝0⇒2α＝2kπ＋eq\f(π,2)或2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)⇒α＝kπ＋eq\f(π,4)或kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，∴sinα＝cosα成立能保证cos2α＝0成立，但cos2α＝0成立不一定能保证sinα＝cosα成立，∴“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．[答案]A(2)[2015·唐山统考]“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]∵方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.[答案]A(2)题中将“k<9”改为“k>9”、将“双曲线”改为“椭圆”，那么正确答案是()答案B解析方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示椭圆．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－9>0,25－k>0,25－k≠k－9))，即9<k<25且k≠17，故k>9是方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1为椭圆的必要不充分条件，故选B.判断充分、必要条件的方法及关注点1．充分、必要条件的判断方法先判断p⇒q与q⇒p是否成立，然后再确定p是q的什么条件．2．判断充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，可以尝试通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．1．[2015·北京高考]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．2．[2015·四川高考]设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由指数函数的性质知，若3a>3b>3，则a>b>1，由对数函数的性质，得loga3<logb3；反之，取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，显然有loga3<logb3，此时0<b<a<1，于是3>3a>3b，所以“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件，选B.eq\o(\s\up7(对应学生用书P004),\s\do5())课题1集合中的新定义问题[2015·湖北高考]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77 B．49C．45 D．30审题过程eq\a\vs4\al(切入点)将数学关系式用图形表达，应用数形结合思想．eq\a\vs4\al(关注点)正确“翻译”A⊕B的意义.eq\a\vs4\al([规范解答])集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点．集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．故选C.解决此类问题的模型示意图如下：1．定义A*B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CA－CB，CA≥CB，,CB－CA，CA<CB))(其中C(A)，C(B)表示非空集合A，B中的元素个数)，若A＝{1,2}，B＝{x||x2＋ax＋1|＝1，a∈R}，且A*B＝1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C(S)＝()A．4 B．3C．2 D．1答案B解析由定义A*B可知，A*B＝1表示A、B中元素个数差为1，由A＝{1,2}有2个元素，得B中有1个或3个元素，在集合B中，|x2＋ax＋1|＝1，整理得，x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0，若a＝0，则B＝{0}符合要求，若Δ＝a2－8＝0，即a＝±2eq\r(2)，a＝2eq\r(2)时，B＝{0，－2eq\r(2)，－eq\r(2)}，a＝－2eq\r(2)时，B＝{0,2eq\r(2)，eq\r(2)}，符合要求．故S＝{0,2eq\r(2)，－2eq\r(2)}，C(S)＝3.选B.2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y＝(∁UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，则X⊕(Y⊕Z)＝()A．(X∪Y)∪(∁UZ) B．(X∩Y)∪(∁UZ)C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D．(∁UX)∪(∁UY)∪Z答案D解析由定义运算得X⊕(Y⊕Z)＝X⊕[(∁UY)∪Z]＝(∁UX)∪[(∁UY)∪Z]＝(∁UX)∪(∁UY)∪Z.eq\o(\s\up7(对应学生用书P143),\s\do5())一、选择题1．[2015·兰州双基过关]已知集合U＝R，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁UB)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}答案D解析因为∁UB＝{x|x≥1}，所以A∩(∁UB)＝{x|1≤x≤2}，故选D.2．[2015·郑州质量预测]已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}且A⊆∁RB，那么mA．1 B．2C．3 D．4答案A解析由B＝{x|x<2m}，得∁RB＝{x|x≥2m}．∵A⊆∁RB，∴2m≤2，∴3．[2015·辽宁五校联考]设集合M＝{x|x2＋3x＋2<0}，集合N＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤4))))，则M∪N＝()A．{x|x≥－2} B．{x|x>－1}C．{x|x<－1} D．{x|x≤－2}答案A解析因为M＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－2<x<－1}，N＝[－2，＋∞)，所以M∪N＝[－2，＋∞)，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有()A．3个 B．4个C．5个 D．无穷多个答案B解析由韦恩图可知，阴影部分可表示为(∁UA)∩B.由于∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，于是(∁UA)∩B＝{x|－4<x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1答案B解析要使得“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a6．[2015·唐山一模]命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)．则()A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真答案A解析∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题．∵f(x)的图象过点(2,0)，∴loga1＝0，对∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q为真命题．7．[2015·大连双基测试]命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”A．对任意x∈R，都有x2<ln2B．不存在x∈R，都有x2<ln2C．存在x∈R，使得x2≥ln2D．存在x∈R，使得x2<ln2答案D解析按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为存在x∈R，使得x2<ln2.故选D.8．[2015·贵州七校联考]以下四个命题中，真命题的个数是()①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb.③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．④在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3答案C解析①原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故是假命题；②根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lga＋lgb，故是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；④根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2RsinA<2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA<sinB，故可知A<B是sinA<sinB的充要条件，故是假命题．选C.9．[2015·浙江高考]设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立答案A解析由题意，d(A，B)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)≥0，对于命题①，A＝B⇔card(A∪B)＝card(A∩B)⇔d(A，B)＝0，∴A≠B⇔d(A，B)>0，命题①成立．对于命题②，由韦恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)⇔card(A)＋card(C)－2card(A∩C)≤card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)⇔card(A∩C)≥card(A∩B)＋card(B∩C)－card(B)⇒card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)．因为card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)≤0，故命题②成立．10．给定下列四个命题：命题p：当x>0时，不等式lnx≤x－1与lnx≥1－eq\f(1,x)等价；命题q：不等式ex≥x＋1与ln(x＋1)≤x等价；命题r：“b2－4ac≥0”是“函数f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)bx2＋cx＋d(a≠0)有极值点”的充要条件；命题s：若对任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，不等式a<eq\f(sinx,x)恒成立，则a≤eq\f(2,π).其中为假命题的是()A．(綈s)∧p B．(綈q)∧sC．(綈r)∧p D．綈(q∧p)答案A解析由eq\f(1,x)>0，lnx≤x－1，得lneq\f(1,x)≤eq\f(1,x)－1，即lnx≥1－eq\f(1,x)，故命题p为真命题；由于x的取值范围不同，故命题q是假命题；当b2－4ac＝0时，函数f(x)无极值点，故命题r是假命题；设h(x)＝eq\f(sinx,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))，由于函数h(x)＝eq\f(sinx,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是减函数，故eq\f(sinx,x)>eq\f(2,π)，a≤eq\f(2,π)，即命题s是真命题．根据复合命题的真值表可知选A.二、填空题11．已知条件p：－3≤x<1，条件q：x2＋x<a2－a，且p为q的必要而不充分条件，则a的取值范围是________．答案[－1,2]解析条件q：由x2＋x<a2－a得x2＋x－a2＋a<0，即(x＋a)[x－(a－1)]<0，当－a<a－1，即a>eq\f(1,2)时，不等式的解为－a<x<a－1；当－a＝a－1，即a＝eq\f(1,2)时，不等式的解为∅；当－a>a－1，即a<eq\f(1,2)时，不等式的解为a－1<x<－a.由p为q的必要而不充分条件，可知当a>eq\f(1,2)时，由{x|－a<x<a－1}{x|－3≤x<1}，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤－a，,1≥a－1，))解得eq\f(1,2)<a≤2；当a＝eq\f(1,2)时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以显然满足条件；当a<eq\f(1,2)时，由{x|a－1<x<－a}{x|－3≤x<1}，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a－1，,1≥－a，))解得－1≤a<eq\f(1,2).综上，a的取值范围为[－1,2]．12．[2015·贵阳监测]已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)答案{a2，a3}解析若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．13．[2015·山东高考]若“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．答案1解析由已知可得m≥tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))))恒成立．设f(x)＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))))，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝taneq\f(π,4)＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.14．给出下列命题：①若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②向量a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；③在△ABC中，sinA>sinB的充要条件为A>B；④在△ABC中，设命题p：△ABC是等边三角形，命题q：a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，那么命题p是命题q的充分不必要条件．其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上)答案①③解析①正确．因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).②不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．③正确．由正弦定理知sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，当sinA>sinB成立时，得a>b，则A>B；当A>B时，则有a>b，则sinA>sinB，故命题正确．④不正确．若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，sinB＝sinC＝sinA，即命题p是命题q的充分条件；若a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，则eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(b,c)，又由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(c,a)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(b,c)，即c2＝ab，同理得a2＝bc，b2＝ac，所以c＝a＝b，所以△ABC是等边三角形．因此命题p是命题q的充要条件．综上所述，正确命题的序号是①③.第二讲函数的图象与性质(选择、填空题型)命题全解密MINGTIQUANJIEMIeq\o(\s\up7(),\s\do5(1.命题点))函数的定义域、值域；函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图象及其应用．eq\o(\s\up7(),\s\do5(2.交汇点))函数的单调性、奇偶性、周期性交汇命题；函数的定义域、值域与不等式交汇命题；函数的图象与性质交汇命题．eq\o(\s\up7(),\s\do5(3.常用方法))利用定义法判断函数的单调性、奇偶性；利用数形结合的方法判断函数的单调性、奇偶性；排除法判断函数的图象.eq\o(\s\up7(对应学生用书P005),\s\do5())[重要概念]1．单调性定义如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，则f(x)在D上是增函数(都有f(x1)>f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)．2．奇偶性定义对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．3．周期性定义周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：(1)当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)；(2)T是不为零的最小正数．[重要结论]抽象函数的周期性与对称性1．函数的周期性(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a(2)设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a(3)设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．[易错提醒]1．分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数．2．在处理有关对数问题时应注意底数与真数的取值．3．确定函数的奇偶性必须先判断函数的定义域是否关于原点对称．eq\o(\s\up7(对应学生用书P006),\s\do5())热点一函数及其表示例1(1)[2015·贵阳监测]函数f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定义域为()A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6][解析]依题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－|x|≥0,\f(x2－5x＋6,x－3)>0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤4,x>2且x≠3))，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．[答案]C(2)[2015·唐山统测]已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x<1,lnx，x≥1))的值域为R，那么a的取值范围是()A．(－∞，－1] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[解析]要使函数f(x)的值域为R，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0,ln1≤1－2a＋3a))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2),a≥－1))，∴－1≤a<eq\f(1,2)，故选C.[答案]C(3)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.[解析]feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋2＝1.[答案]1(2)题中“的值域为R”改为“在R上递增”，那么a的取值范围该选哪项．答案A解析由题可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0,1－2a＋3a≤0，))解得a≤－1，故选A.1．求函数定义域的类型和相应的方法(1)若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)在实际问题或几何问题中除要考虑解析式有意义外，还要使实际问题有意义．2．求函数值的三个关注点(1)形如f(g(x))的函数求值，要遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．(3)对于周期函数要充分利用好周期性．3．函数值域的求法求解函数值域的方法有：公式法、图象法、分离常数法、判别式法、换元法、数形结合法、有界性法等，要根据问题具体分析，确定求解的方法．1．[2015·唐山统考]函数y＝eq\r(x－2)·eq\r(x＋5)的定义域为()A．[－5,2] B．(－∞，－5]∪[2，＋∞)C．[－5，＋∞) D．[2，＋∞)答案D解析要保证函数式有意义，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0,x＋5≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,x≥－5))，∴x≥2，∴函数的定义域为[2，＋∞)，故选D.2．[2015·课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x<1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(log212)＝()A．3 B．6C．9 D．12答案C解析由于f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2eq\s\up15(log212－1)＝2eq\s\up15(log26)＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.3．[2015·福建高考]若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案(1,2]解析因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2，))所以当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,3＋loga2≥4.))解得1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2]．热点二函数的图象例2(1)[2015·贵阳监测]函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图象大致是()[解析]由题意得，x≠0，排除A；当x<0时，x3<0,3x－1<0，∴eq\f(x3,3x－1)>0，排除B；又∵x→＋∞时，eq\f(x3,3x－1)→0，∴排除D，故选C.[答案]C(2)将一系列下顶点相接的正三角形的底边放在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O点沿三角形列的底边匀速向前滚动(如图)，设滚动中的圆与系列正三角形的腰相交截得的最大弦长s关于时间t的函数为s＝f(t)，则下列图中与函数s＝f(t)图象最近似的是()[解析]以O为原点，与地面相切的直线为x轴，过O垂直于x轴的直线为y轴．不妨设正三角形的边长为2eq\r(3)，则圆的半径为1，圆心(a,1)到直线eq\r(3)x＋y－3＝0的距离d＝eq\f(|\r(3)a－2|,2)，弦长2eq\r(1－d2)＝eq\r(－3a2＋4\r(3)a)(a∈[0，eq\r(3)])，同理，圆心(a,1)到直线eq\r(3)x－y－3＝0的距离d1＝eq\f(|\r(3)a－4|,2)，弦长2eq\r(1－d\o\al(2,1))＝eq\r(－3a2＋8\r(3)a－12)(a∈[eq\r(3)，2eq\r(3)])．由于弦长的变化具有周期性，故选C.[答案]C作图、识图、用图的方法技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换，尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．1．[2015·大连测试]函数f(x)＝2x－4sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的图象大致是()答案D解析因为函数f(x)是奇函数，所以排除A、B.f′(x)＝2－4cosx，令f′(x)＝2－4cosx＝0，得x＝±eq\f(π,3)，所以选D.2．[2015·安徽高考]函数f(x)＝eq\f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0答案C解析∵f(x)＝eq\f(ax＋b,x＋c2)的图象与x，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，∴x＝－eq\f(b,a)>0，y＝eq\f(b,c2)>0，故a<0，b>0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c>0，故c<0，故选C.热点三函数的性质及应用例3[2015·洛阳统测](1)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象的对称轴方程是()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2[解析]∵f(2x＋1)是偶函数，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1.[答案]A(2)已知f(x)为定义在[a－1,2a＋1]上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋1，则f(2x＋1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))的解的取值范围是()A．[－1,1] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,9))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5)))[解析]函数为偶函数，满足－(a－1)＝2a＋1⇒a＝0，所以函数的定义域为[－1,1]，当x≥0时，f(x)＝ex＋1，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(2x＋1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))满足f(|2x＋1|)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))))，所以不等式的解的取值范围是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤2x＋1≤1,－1≤\f(x,2)＋1≤1,|2x＋1|>\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))))⇒－1≤x<－eq\f(4,5).[答案]D(3)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则它们的和为()A．－6 B．－8C．0 D．2[解析]因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8，故选B.[答案]B函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．1．[2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝eq\r(1＋x2) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x＋ex答案D解析选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．2．[2015·湖南高考]设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案A解析由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.3．[2015·课标全国卷Ⅰ]若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.答案1解析由题意得f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))＝f(－x)＝－xln(eq\r(a＋x2)－x)，所以eq\r(a＋x2)＋x＝eq\f(1,\r(a＋x2)－x)，解得a＝1.

eq\o(\s\up7(对应学生用书P008),\s\do5())课题2函数图象辨析题[2015·课标全国卷Ⅱ]如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()审题过程eq\a\vs4\al(切入点)由图分类建立函数y＝f(x)的关系．eq\a\vs4\al(关注点)结合函数性质，排除错误选项.eq\a\vs4\al([规范解答])由于f(0)＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，故排除选项C、D；当点P在BC上时，f(x)＝BP＋AP＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,4)))，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除选项A.故选B.1．如图，过单位圆O上一点P作圆O的切线MN，点Q为圆O上一动点，当点Q由点P逆时针方向运动时，设∠POQ＝x，弓形PRQ的面积为S，则S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致图象是()答案B解析S＝f(x)＝S扇形PRQ＋S△POQ＝eq\f(1,2)(2π－x)·12＋eq\f(1,2)sinx＝π－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)sinx，则f′(x)＝eq\f(1,2)(cosx－1)≤0，所以函数S＝f(x)在[0,2π]上为减函数，当x＝0和x＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x从0逐渐增大到π时，cosx逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x从π逐渐增大到2π时，cosx逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓．结合选项可知，B正确．2．函数y＝a|x|与y＝sinax(a>0且a≠1)在同一直角坐标系下的图象可能是()答案D解析y＝a|x|为偶函数，排除A项；当a>1时，y＝sinax的周期为eq\f(2π,a)<2π，排除C项；当0<a<1时，y＝sinax的周期eq\f(2π,a)>2π，排除B项，故选D.eq\o(\s\up7(对应学生用书P144),\s\do5())一、选择题1.[2015·太原一模]已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x)}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()A．(－∞，1] B．[0，＋∞)C．(0,1) D．[0,1]答案D解析由题意得A＝(－∞，1]，B＝[0，＋∞)，∴A∩B＝[0,1]．2．[2015·江西八校联考]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为()A．4 B．－4C．6 D．－6答案B解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，得m＝－1，∴f(log35)＝3log35－1＝4，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－4.3．[2015·云南统测]下列函数，有最小正周期的是()A.y＝sin|x|B．y＝cos|x|C．y＝tan|x|D．y＝(x2＋1)0答案B解析A：y＝sin|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0,－sinx，x<0))，不是周期函数；B：y＝cos|x|＝cosx，最小正周期T＝2π；C：y＝tan|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx，x≥0,－tanx，x<0))，不是周期函数；D：y＝(x2＋1)0＝1，无最小正周期．4．[2015·太原一模]已知函数f(x)＝log2x，若在[1,8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f(x0)≤2成立的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,7) D.eq\f(1,2)答案C解析1≤f(x0)≤2⇒1≤log2x0≤2⇒2≤x0≤4，∴所求概率为eq\f(4－2,8－1)＝eq\f(2,7).5．[2015·石家庄一模]设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－eq\r(2))＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－2答案B解析因为函数f(x)是偶函数，所以f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))＝log2eq\r(2)＝eq\f(1,2)，故选B.6．[2015·长春质监(二)]已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)答案A解析因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.故选A.7．[2015·山西四校联考(三)]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1,logeq\s\do8(\f(1,3))xx＞1))，则函数y＝f(1－x)的大致图象是()答案D解析当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x＝－eq\f(1,3)时，y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(4,3)＜0，即y＝f(1－x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，logeq\s\do8(\f(1,3))\f(4,3)))，排除C，故选D.8．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围为()A．－1<a<4 B．－2<a<1C．－1<a<0 D．－1<a<2答案A解析∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)<1，eq\f(a－4,a＋1)<0，解得－1<a<4.9．设函数f(x)＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－3] B．[－3,0)C．(－∞，3] D．(0,3]答案C解析由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝x|x－a|，∴当a≤0时，结论显然成立，当a>0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax，x≥a,－x2＋ax，x<a))，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，∴0<a≤3.综上，实数a的取值范围是(－∞，3]．10．[2015·长春质监(三)]对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：(1)对任意的x∈[0,1]，恒有f(x)≥0；(2)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．则下列3个函数中不是M函数的个数是()①f(x)＝x2②f(x)＝x2＋1③f(x)＝2x－1A．0 B．1C．2 D．3答案B解析(1)在[0,1]上，3个函数都满足．(2)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(x1＋x2)2＋1]－[(xeq\o\al(2,1)＋1)＋(xeq\o\al(2,2)＋1)]＝2x1x2－1<0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，满足．故选B.二、填空题11．[2015·唐山一模]函数f(x)＝eq\r(2－x－2)的定义域是__________．答案(－∞，－1]解析由题意可得：2－x－2≥0，∴2－x≥2，∴－x≥1，∴x≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．12．[2015·陕西质检(二)]若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,1－x，x≤0))，则f(f(－99))＝________.答案2解析f(－99)＝1＋99＝100，所以f(f(－99))＝f(100)＝lg100＝2.13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0,1，x<0))，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．答案(－1，eq\r(2)－1)解析由题意f(1－x2)>f(2x)等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0,1－x2>2x))，∴不等式的解集为(－1，eq\r(2)－1)．14．[2015·山东高考]已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.答案－eq\f(3,2)解析①当0<a<1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递减，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝0,f0＝－1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝0,a0＋b＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－2))，此时a＋b＝－eq\f(3,2).②当a>1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－1,f0＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1,a0＋b＝0))，显然无解．所以a＋b＝－eq\f(3,2).第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用(选择、填空题型)命题全解密MINGTIQUANJIEMIeq\o(\s\up7(),\s\do5(1.命题点))指数函数、对数函数、函数的零点，函数的应用问题，图象交点的个数．eq\o(\s\up7(),\s\do5(2.交汇点))函数的零点常与一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的图象交汇命题．eq\o(\s\up7(),\s\do5(3.常用方法))解方程判断法(若方程易解时用此法)；零点存在性定理判断函数零点；数形结合法判断函数零点.eq\o(\s\up7(对应学生用书P009),\s\do5())[必记公式]指数与对数式的七个运算公式1．am·an＝am＋n；2．(am)n＝amn；3．loga(MN)＝logaM＋logaN；4．logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；5．logaMn＝nlogaM；6．alogaN＝N；7．logaN＝eq\f(logbN,logba)(a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0)．[重要性质]指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数图象单调性0<a<1时，在R上单调递减；a>1时，在R上单调递增0<a<1时，在(0，＋∞)上单调递减；a>1时，在(0，＋∞)上单调递增指数函数对数函数函数值性质0<a<1，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>10<a<1，当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1a>1，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0[必会关系]函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．[易错提醒]1．函数的零点不是点的坐标，而是函数值等于零的点的横坐标．2．函数零点存在性定理要求函数图象是连续不断的．并且有f(a)·f(b)<0这两个条件同时成立．3．满足零点存在性定理的条件时得出函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但零点个数不确定；反之函数在[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.eq\o(\s\up7(对应学生用书P010),\s\do5())热点一指数函数、对数函数及幂函数例1(1)[2015·南昌一模]若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B＝()A．(2,4] B．[2,4]C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4][解析]因为A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2<x≤4}＝(2,4]．[答案]A(2)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[解析]解法一：由题意作出y＝f(x)的图象如图．显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．故选C.解法二：对a分类讨论：当a>0时，log2a>logeq\s\do8(\f(1,2))a，即log2a>0，∴a>1.当a<0时，logeq\s\do8(\f(1,2))(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，∴－1<a<0，故选C.[答案]C(3)已知a＝5eq\s\up15(log23.4)，b＝5eq\s\up15(log43.6)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(log30.3)，则有()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b[解析]∵a＝5eq\s\up15(log23.4)，b＝5eq\s\up15(log43.6)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(log30.3)＝5eq\s\up15(log33eq\s\up15(eq\f(1,3)))，根据y＝ax且a＝5，知y是增函数．又∵log23.4>log33eq\f(1,3)>1，0<log43.6<1，∴5eq\s\up15(log23.4)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(log30.3)>5eq\s\up15(log43.6)，即a>c>b.[答案]C1．解决含参数的指数、对数问题应注意的问题对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论．解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．2．指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．1．[2015·北京高考]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}答案C解析在平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)的图象如图所示．所以f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1<x≤1}，所以选C.2．[2014·天津高考]设a＝log2π，b＝logeq\s\do8(\f(1,2))π，c＝π－2，则()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>b>a答案C解析∵log2π>1，logeq\s\do8(\f(1,2))π<0,0<π－2<1，∴a>c>b，故选C.3．[2015·浙江高考]若a＝log43，则2a＋2－a答案eq\f(4\r(3),3)解析原式＝2eq\s\up15(log43)＋2eq\s\up15(－log43)＝eq\r(3)＋eq\f(1,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).热点二函数的零点问题例2(1)[2015·洛阳