大学物理刚体的定轴转动2省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第5章刚体定轴转动§5.1刚体、刚体运动§5.2刚体定轴转动定律§5.4绕定轴转动刚体动能动能定理§5.6刚体定点运动进动(了解)§5.5刚体角动量角动量守恒定理§5.3转动惯量1第5章刚体的定轴转动1/81质点刚体回顾与对比质量转动惯量速度角速度加速度角加速度力矩力牛顿运动定律转动定律动能动能动能定理动能定理2第5章刚体的定轴转动2/81动量定理动量动量守恒角动量角动量定理质量转动质量角动量守恒牛顿运动定律转动定律动能动能动能定理动能定理质点刚体回顾与对比3第5章刚体的定轴转动3/81能够处理刚体普通运动（平动加转动）基本方法：质点系运动定理加刚体特征刚体定轴转动动能定理角动量定理平动：动量定理一、普通运动二、刚体定轴转动三、处理刚体动力学问题普通方法§5.1刚体、刚体运动4第5章刚体的定轴转动4/811.刚体特殊质点系，——理想化模型形状和体积不改变在力作用下，组成物体全部质点间距离一直保持不变2.自由度确定物体位置所需要独立坐标数——物体自由度数sOi=1xyzO(x,y,z)i=3i=2xyzOi=3+2+1=6当刚体受到一些限制——自由度降低一、普通运动5第5章刚体的定轴转动5/813.普通运动=(平动)+(转动)标准:随某点(基点)平动+过该点定轴转动基点任选。ABDABD实际:

因为对质心存在“质心运动定理”所以：

基点就选质心图示基点任选刚体平动刚体运动时，若在刚体内所作任一条直线都一直保持和本身平行—刚体平动平动特点(1)刚体中各质点运动情况相同6第5章刚体的定轴转动6/81(2)刚体平动可归结为质点运动7第5章刚体的定轴转动7/81刚体平动刚体运动时，在刚体内任意两点连线长度不变，方向不变，一直保持和本身平行.

8第5章刚体的定轴转动8/81刚体中各质点运动情况相同,刚体平动可归结为质点运动.xyzOABM平动特点：描述刚体平动自由度：3个9第5章刚体的定轴转动9/81二、刚体定轴转动1.各点运动特点在自己转动平面内作圆周运动2.描述物理量任一质点圆周运动线量和角量关系转动平面10第5章刚体的定轴转动10/81刚体绕定轴转动刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动_____刚体转动转轴固定不动—定轴转动11第5章刚体的定轴转动11/81角坐标zIIIP

描述刚体绕定轴转动角量：运动学方程刚体定轴转动时即使刚体中任意一点到转轴距离不一样，但在相同时间内转过角度相同。描述刚体绕定轴转动自由度：1个单位：12第5章刚体的定轴转动12/81z

P过P点垂直于轴取一平面N称为P点转动平面NOP

x(1)在过P点转动平面内O点：转轴与转动面交点过O点引入一坐标轴ox(2)刚体转动P点随之转动从O点引向P点一矢径与ox轴夹角为

:称为角坐标13第5章刚体的定轴转动13/81(3)t时刻刚体P点角坐标

1=t+t时刻角坐标

2=+t时间内转过角度

称为角位移要求：选一转轴正方向，右手定则：拇指指向转轴方向为正(4)刚体角速度

有正负，右手定则:所定方向与转轴正向一致为正，反之为负14第5章刚体的定轴转动14/81(5)刚体角加速度

同向时，加速转动

反向时，减速转动(6)角量与线量关系角量

线量atan=r

at=r

an=

2r=r

2注：刚体上任意一点，在转动过程中角量

是相同15第5章刚体的定轴转动15/81刚体运动过程中任意一点运动均为平面运动。刚体平面平行运动比如：车轮滚动能够看成车轮随轮轴平动与绕轮轴转动组合。刚体平面运动可看做刚体平动与定轴转动合成。描述刚体平面运动自由度：3个16第5章刚体的定轴转动16/81定点转动刚体运动时，刚体上一点固定不动，刚体绕过定点一瞬时转轴转动，称作定点转动。描述定点转动自由度：3个17第5章刚体的定轴转动17/81刚体普通运动质心平动绕质心转动+18第5章刚体的定轴转动18/81三、处理刚体动力学问题普通方法标准:质点系三个定理利用刚体特征化简到方便形式(简便好记)1.刚体平动

质点模型利用质心运动定理

2.刚体定轴转动

利用刚体模型(无形变)化简角动量定理功效原理

方便形式动量守恒、能量守恒、动量矩守恒19第5章刚体的定轴转动19/81一飞轮半径为0.2m,转速为150r／min,经30s均匀

减速后停顿.求：（1）角加速度和飞轮转圈数,（2）t=6s时角速度,飞轮边缘上一点线速度、切向加速度、法向加速度.解：飞轮在30s内转过角度为：飞轮在30s内转过圈数为：例1（1）20第5章刚体的定轴转动20/81(2)t=6

s

时角速度：边缘线速度：切向加速度：法向加速度：设圆柱型电机转子由静止经300s后达18000r/min，已知转子角加速度α与时间成正比.求:转子在这段时间内转过圈数.因角加速度α随时间而增大，设：α=ct由角加速度定义例2解：21第5章刚体的定轴转动21/81由给定条件，由角速度定义，则任意时刻角速度可写为：得到：转子转数：对上式两边积分得22第5章刚体的定轴转动22/81改变质点运动状态质点取得加速度改变刚体转动状态

刚体取得角加速度力对点力矩力

力矩

O.大小：

方向：指向由右手螺旋法则确定，垂直于r和F确定平面.回顾23第5章刚体的定轴转动23/81

(质点系角动量定理微分形式简化)质点系角动量定理微分形式：§5.2刚体绕定轴转动1.力对点力矩A对于过O点Z轴，力矩可分解为两个分量24第5章刚体的定轴转动24/81对于转轴z，Ah——平行于z轴不产生对z轴力矩——在转动平面内产生对z轴力矩力对任意点力矩，在通过该点任一轴上投影等于该力对该轴力矩25第5章刚体的定轴转动25/81质点对定点o动量矩(角动量)对z轴动量矩因为各质元角动量方向相同，所以合矢量大小就是分矢量大小直接相加2.任一质量元定轴角动量大小为O

S因为定义刚体对定轴转动惯量刚体对定轴角动量26第5章刚体的定轴转动26/813.刚体定轴转动转动定律定轴转动定律在转动问题中地位相当于平动牛顿第二定律应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。刚体对定轴转动惯量刚体对定轴角动量27第5章刚体的定轴转动27/81(1)飞轮角加速度(2)如以重量P=98N物体挂在绳端，试计算飞轮角加速度解(1)(2)二者区分4、应用转动定律解题例1求一轻绳绕在半径r=20cm飞轮边缘，在绳端施以F=98N拉力，飞轮转动惯量J=0.5kg·m2，飞轮与转轴间摩擦不计(见图).28第5章刚体的定轴转动28/81一定滑轮质量为m

，半径为

r，不能伸长轻绳两边分别系m1和

m2物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动.（设轮轴光滑无摩擦，滑轮初角速度为零）例2求滑轮转动角速度随时间改变规律.解以m1

，

m2

，

m为研究对象,受力分析滑轮m：物体

m1：物体m2：29第5章刚体的定轴转动29/81

一根长为l、质量为

m

均匀细直棒,其一端有一固定光滑水平轴,因而能够在竖直平面内转动.最初棒静止在竖直位置,因为微小扰动,在重力作用下由静止开始转动.求:它由此下摆

角时角加速度和角速度.解：棒下摆为加速过程,外力矩为重力对O力矩.重力作用在棒重心,当棒处于下摆

角时，重力矩为：

Pl/2Ol重力对整个棒协力矩与全部重力集中作用在质心所产生力矩一样.所以棒绕轴O转动惯量为：例330第5章刚体的定轴转动30/81棒处于θ角时：角加速度：作变换：两边积分：角速度：31第5章刚体的定轴转动31/81§5.3转动惯量一、定义二、J与哪些量相关三、计算四、正交轴定理32第5章刚体的定轴转动32/81对于固定转轴转动惯量例如图所表示质点系

J物理意义：转动中物体惯性量度。一、定义33第5章刚体的定轴转动33/81质元选取和计算方法：质量为线分布质量为面分布质量为体分布

、

、

分别为刚体质量分布线密度、面密度和体密度.dm为质量元,简称质元.r假如质点系质量连续分布，34第5章刚体的定轴转动34/81

二讨论：确定转动惯量三个要素——(1)总质量(2)质量分布(3)转轴位置例：比较等长细木棒和细铁棒绕过端点垂直于细棒转轴轴转动惯量。LzOxdxM1、J与刚体总质量相关35第5章刚体的定轴转动35/81例：圆围绕过中心垂直于环面轴旋转转动惯量例：圆盘绕过中心垂直于盘面轴旋转转动惯量dlOmROmrdrR2、J与质量分布相关

36第5章刚体的定轴转动36/81OLxdxMzLOxdxMz3、J与转轴位置相关

所以刚体总质量、质量分布和转轴位置均影响刚体转动惯量同一个物体对不一样转轴转动惯量是不一样。

37第5章刚体的定轴转动37/81(2)质量一定，与质量分布相关。J与那些量相关(1)与刚体总质量相关，大。大，(3)J和转轴相关平行轴定理三、计算1)对称简单查表2)平行轴定理(parallelaxistheorem)在一系列平行轴中，对质心转动惯量最小.38第5章刚体的定轴转动38/81odCmcOLxdxMzLOxdxMz刚体绕任意轴转动惯量.

刚体绕经过质心轴.

两轴间垂直距离.平行轴定理例子：

39第5章刚体的定轴转动39/81J和转轴相关:同一个物体对不一样转轴转动惯量是不一样

o´o平行轴o´o40第5章刚体的定轴转动40/81薄板状刚体对板面内两正交轴转动惯量之和等于该刚体对经过两轴交点且垂直于板面轴转动惯量。这个关系称为正交轴定理。证实以下：如图。此定理只适合用于平面薄板状物体，并限于板内两轴相互垂直，Z

轴与板面正交。四、正交轴定理(了解)41第5章刚体的定轴转动41/81竿子长些还是短些较安全？

飞轮质量为何大都分布于外轮缘？42第5章刚体的定轴转动42/81三、J计算（1）按定义计算求长为L质量为m

均匀细棒对图中不一样轴转动惯量.ABLxdm解：取如图坐标，dm=

dxBL/2L/2Cxdm例1：43第5章刚体的定轴转动43/81

求质量为m、半径为R

均匀圆环转动惯量。轴与圆环平面垂直并经过圆心.解：对于薄圆筒（不计厚度），其转动惯量与以上结果相同.ROdm例2

dh44第5章刚体的定轴转动44/81

求质量为m、半径为R、厚为l

均匀圆盘转动惯量.轴与盘平面垂直并经过盘心.Rordrdm解：例子：实心圆柱对其轴转动惯量也是mR2/2.例3

.圆环质量:圆环转动惯量:圆盘转动惯量:圆盘密度:45第5章刚体的定轴转动45/81

例4：棒与圆盘组成刚体对经过棒端且与棒垂直轴转动惯量怎样计算？(棒长为L、圆盘半径为R）这里利用了平行轴定理以及迭加法求转动惯量。棒对经过棒端且与棒垂直轴转动惯量：圆盘对经过棒端且与棒垂直轴转动惯量：整个刚体组对经过棒端且与棒垂直轴转动惯量：解：46第5章刚体的定轴转动46/81练习1如图，一质量为m半径为R实心球，求绕过球心转轴转动惯量。取有一定厚度圆盘，圆盘对O轴转动惯量变量代换盘旋半径47第5章刚体的定轴转动47/81练习2已知定滑轮解:受力图、轻绳（不伸长）无相对滑动。求：1）物体加速度a；2）绳子张力T；3)滑轮转动角加速度。设能自行求解吗？48第5章刚体的定轴转动48/81练习3已知：如图一质量为，长为匀质细杆，可绕过端点与杆垂直水平轴转动。杆水平放置，然后释放。求：杆转到和竖直方向成时，解：研究对象——杆。转动：O点支持力矩49第5章刚体的定轴转动49/81动能定理1）用转动惯量表示刚体定轴转动动能质点系动能定理对同一转轴§5.4绕定轴转动刚体动能动能定理50第5章刚体的定轴转动50/812）用角量表示力做功形式3）刚体定轴转动动能定理形式内力矩不做功力矩功和动能关系作用于刚体合（外）力矩功等效于刚体动能增量——刚体动能定理。51第5章刚体的定轴转动51/81系统--刚体+地球刚体势能用质心势能表示。机械能守恒条件仍为4）机械能守恒例1在阿特武德机中装在光滑水平轴承滑轮半径为，一边挂一物体，另一边挂。当由静止释放后，在内下降了试用转动定理与能量关系两种方法确定滑轮转动惯量。52第5章刚体的定轴转动52/81解用能量守恒：以初始时位置势能为零53第5章刚体的定轴转动53/81解分析棒受力：，点支撑力（变力，大小方向均变），轴与棒摩擦力略。例2已知质量为长为细棒，绕过点水平光滑轴在竖直面内转动，点距点，棒由静止位置开始释放，求：（1）棒在水平位置刚释放时角加速度。（2）杆转到竖直位置时角速度和角加速度。（3）棒在竖直位置时，棒两端和中点速度和加速度。对点轴产生力矩只有，对棒转动不做功（对棒有作用是变力,但）。由平行轴定理54第5章刚体的定轴转动54/81（用重力矩做功也能够）。过竖直位置瞬间，作用于刚体力矩为零。此时此时加速度为向心加速度。55第5章刚体的定轴转动55/81质点角动量刚体绕定轴转动角动量质点角动量守恒定律质点角动量定理刚体角动量守恒定律质点刚体刚体绕定轴转动角动量定理§5.5刚体角动量角动量守恒定理56第5章刚体的定轴转动56/81一、刚体绕定轴转动动量矩刚体上任一质点，它对轴动量矩为，方向沿轴，整个刚体对轴动量矩称为在时间内冲量矩，它表示了力矩在一段时间间隔内累积效应。动量矩定理不但适合用于刚体，而且适合用于绕定轴转动可变形物体。微分形式积分形式57第5章刚体的定轴转动57/812.角动量守恒定律由多个刚体组成刚体体系当物体所受合外力矩为零时，这个结论是普遍适用，也能够不是刚体而是其它质点系。分以下几个情况：（1）对刚体，不变刚体作匀角速转动，又叫惯性转动。这一结果与质点惯性运动相对应。（2）在一孤立系统中，假如系统某一部分角动量因内在相互作用而有所改变时，系统其余部分必须出现一等量（但反向）角动量改变，使总角动量保持守恒。（3）同时改变，但乘积保持不变。58第5章刚体的定轴转动58/8159第5章刚体的定轴转动59/81演示花样滑冰跳水mmω60第5章刚体的定轴转动60/81例1人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点O上，如图所表示。已知轨道近地点P距地面145km。远地点A距地面151km，地球半径R=6400km。试求卫星在近地点P动能与其在远地点A动能比值。解设人造地球卫星质量为，人造卫星对点角动量守恒。而卫星在P、A两点动能之比为：61第5章刚体的定轴转动61/81例2质点与质量均匀细棒相撞(如图)。解：过程1

质点与细棒相碰撞。碰撞过程中系统对O点协力矩为设碰撞完全非弹性。求：棒摆最大角度。所以，系统对O点角动量守恒，即细棒势能过程2

质点、细棒上摆，系统中包含地球，只有保守内力作功，所以机械能守恒。设末态为势能零点质点势能62第5章刚体的定轴转动62/81例3有一细棒长为质量为均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为水平桌面上，它可绕经过其端点，且与桌面垂直固定光滑轴转动，另有一水平运动小滑块，质量为，以水平速度从左侧垂直与棒另一端作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始转动到停顿转动过程中所经历时间。解：合外力矩：设动量矩向上方向为正，碰撞瞬间：o机械能守恒在棒上取质量元，离轴距离为又由动量矩定理63第5章刚体的定轴转动63/8164第5章刚体的定轴转动64/81二、基本特征回转仪绕对称轴高速旋转陀螺1)对称轴高速2)定点外力对定点求力矩

对称轴绕定点旋转三、解释

1）必须含有对称轴

2）高速旋转重力对定点O力矩每瞬时外力矩只改变角动量方向不改变角动量大小一、进动现象已经自转物体在外力矩作用下，自转轴绕另一轴转动现象称为进动。§5.6刚体定点运动进动(了解)

65第5章刚体的定轴转动65/81陀螺自旋角动量为当时则只改变方向，不改变大小（进动）角动量定理66第5章刚体的定轴转动66/81进动角速度Ω而且以上只是近似讨论，只适用高速自转，即角动量定理67第5章刚体的定轴转动67/81LwI万向支架基座回转体（转动惯量I）Iw陀螺仪定向原理应用不受外力矩作用高速旋转陀螺，因为角动量守恒，因而其转动轴方向不变。自由陀螺定向特征在航天、航空等领域中含有主要意义。68第5章刚体的定轴转动68/81岁差（进动）27530年周期69第5章刚体的定轴转动69/81刚体力学小结一、运动学描写刚体转动物理量1.角量：线量：微积分关系2.角量与线量关系3.方向：右手螺旋法与关系：4.匀角加速转动公式70第5章刚体的定轴转动70/81二、动力学1.基本概念：力矩：转动惯量：转动动能：转动角动量：定轴转动：（定点、定轴）（定点）2.基本定理：转动定律：（定轴转动中力矩瞬时作用规律）71第5章刚体的定轴转动71/81转动动能定理：角动量定理：力矩连续作用规律功效原理：守恒定律：时，守恒时，守恒3.解题思绪：平动部分：分析外力转动部分：分析力矩平动与转动联络：角量和线量关系（隔离分析方法）72第5章刚体的定轴转动72/81如图所表示例1解析：（平动＋转动）隔离分析受力（矩）要求正方向：逆时针平动：分析受力转动：分析力矩线量与角量关系：六个未知数，六个方程，可求解T1，T2，T3，a，β1，β273第5章刚体的定轴转动73/814.力矩瞬时作用规律力矩连续作用规律守恒定律（分析某一时刻合外力矩与转动状态关系）（分析过程特点，选取始末状态）（判断守恒条件）例