第3章-效用函数市公开课一等奖省赛课获奖课件

第三章效用函数第1页引言

决议特点之一是后果价值待定。为了用定量方法研究决议问题，除了要用主观概率量化自然状态不确定性以外，还需要量化后果价值。在量化后果价值时，会碰到两个主要问题：（1）后果本身是用语言表示，可能没有任何适当直接测量标度。（2）即使有一个明确标度（通常是钱）能够测量后果，按这个标度测得量也可能并不反应后果对决议人真正价值。第2页抽奖期望值有1250元，大于礼品确实定性收入1000元，不过一定有一部分人会选择这确定1000元收入。因为对他们而言，抽奖期望值虽大，风险也大，实际价值还不如保险1000元。而有人则相反，认为礼品不如抽奖，因为抽奖提供了取得2500元机会。例决议人面临图中决议树所表示选择：1000250001.00.50.5礼品a1抽奖a2▲▲▲▲●●第3页在商业经营中，经营者经常碰到类似情况，要在（1）期望收益较低不过有保险；（2）期望收益较高风险也较大这两种行动中进行选择。所以，在进行决议分析时，存在怎样描述或表示后果对决议人实际价值，方便反应决议人心目中对各种后果偏好次序（preferenceorder）问题。偏好次序是决议人个性与价值观反应，与决议人所处社会地位、经济地位、文化素养、心理和生理（身体）状态等相关。第4页在决议理论中，后果对决议人实际价值，即在有风险情况下决议人对结果偏好量化是用效用（utility）来描述。效用就是偏好量化，是数（实值函数）。第5页§3.1理性行为公理问题： 某企业拟推出一个新产品，经预测该产品在市场看好情况下，能够赢利10万；在市场前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较差概率分别为0.6和0.4，是否推出该新产品？ 若另有一产品可稳赢利2万元，推出哪种产品更加好？ 这是一个随机决议问题。第6页§3.1理性行为公理 在随机决议中，决议系统（Ω，A，F）中决议方案均是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决议者最满意行动方案。 在本章中，我们用事态体表示在随机性状态空间中行动方案，方案比较表示为事态体比较，并引入效用概念，用以衡量事态体（行动方案）优劣。第7页§3.1理性行为公理3.1.1事态体及其关系1．事态体概念

定义3.1

含有两种或两种以上有限个可能结果方案（或事情），称为事态体。 事态体中各可能结果出现概率是已知。 事态体即随机性状态空间中行动方案。第8页1．事态体概念 设某事态体n个可能结果为：

o1,o2,…,on 各结果出现概率是对应为：

p1,p2,…,pn

则该事态体记为：

T＝（p1,o1；p2,o2；…；pn,on）尤其当n＝2时，称T为简单事态体，此时

T＝（p,o1；1－p,o2）第9页1．事态体概念 事态体能够用树形图表示以下：Tp1p2︰︰︰pno1o2︰︰︰on当n＝2时：pT1-po1o2第10页事态体集合Ŧ性质①在凸线性组合下，Ŧ是闭集。即： 若T1∈Ŧ，T2∈Ŧ，则当0≤λ≤1时，有

λT1＋(1－λ)T2∈Ŧ

两个事态体凸线性组合仍是一个事态体。②T＝(0,o1；0,o2；…；1,oj；…；0,on)∈Ŧ 称T为退化事态体。

退化事态体仍属于事态体集合。第11页2．事态体比较定义3.2

设o1，o2是事态体T任意两个结果值，依据决议目标和决议者偏好，o1和o2有以下关系：①若偏好结果值o1，则称o1优于o2，记作o1

o2；反之，称o1劣于o2，记作o1

o2。②若对结果值o1,o2无所偏好，则称o1无差异于o2，记作o1～o2。③若不偏好结果值o1，则称o1不优于o2，记作o1≼o2；反之，称o1不劣于o2，记作o1

≽o2。第12页2．事态体比较定义3.3

设两个简单事态体T1，T2含有相同结果值o1，o2，即：T1＝（p1,o1；1－p1,o2） T2＝（p2,o1；1－p2,o2） 并假定o1

o2，则：①若p1＝p2，称事态体T1无差异于T2，记作T1～T2。②若p1＞p2，称事态体T1优于T2，记作T1

T2；反之，称事态体T1劣于T2，记作T1

T2。第13页2．事态体比较定义3.4

设两个简单事态体T1，T2仅含有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即： T1＝（p1,o1；1－p1,o0） T2＝（p2,o2；1－p2,o0） 且o2

o1

o0，①若p1≤p2，则事态体T2优于T1，记作T2

T1。②若T1～T2，则必有p1＞p2。第14页§3.1理性行为公理3.1.2理性行为公理公理3.l（连通性，可比性）

事态体集合Ŧ上事态体优劣关系是连通。即若 T1，T2∈Ŧ 则或者T1

T2，或者T2

T1，或者T1～T2，三者必居其一。表示任意两个事态体都是能够比较其优劣！第15页§3.1理性行为公理3.1.2理性行为公理公理3.2（传递性）

事态体集合Ŧ上事态体优劣关系是传递。即若 T1、T2、T3∈Ŧ，且T1

T2，T2

T3，则必有 T1

T3。 表示任意多个事态体优劣是能够排序（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）

满足公理3.1和公理3.2事态体集合称为全序集。

第16页§3.1理性行为公理3.1.2理性行为公理公理3.3（复合保序性，替换性）

若 T1，T2，Q∈Ŧ，且0＜p＜1，则T1

T2当且仅当

pT1＋(1－p)Q

pT2＋(1－p)Q。 表示任意事态体优劣关系是能够复合，复合后事态体保持原有优劣关系不变。第17页§3.1理性行为公理3.1.2理性行为公理公理3.4（相对有序性，连续性，偏好有界性）

若 T1，T2，T3∈Ŧ，且T1

T2

T3则存在数p，q，0＜p＜l，0＜q＜1，使得：

pT1＋(1－p)T3

T2

qT1＋(1－q)T3

表示任意事态体都不是无限优，也不是无限劣。第18页§3.1理性行为公理3.1.3事态体基本性质性质3.1

设事态体

T1＝（p,o1；1－p,o0） T2＝（x,o2；1－x,o0） 且 o1

o0，

o2

o0，若o2

o1 则存在 x=p’＜p 使得

T1～T2 称x为可调概率值。第19页§3.1理性行为公理3.1.3事态体基本性质性质3.2（确定当量和无差异概率）

设事态体T＝（x,o1；1－x,o2）且o1

o2。则对于满足优劣关系o1

oξ

o2任意结果值oξ，必存在x＝p（0＜p＜l），使得

T＝（p,o1；1－p,o2）～oξ 称结果值oξ为事态体T确定当量，称p为oξ关于o1与o2无差异概率。第20页3.1.3事态体基本性质性质3.3

任一事态体无差异于一个简单事态体。 设有事态体T＝（p1,o1；p2,o2；…；pn,on）则必存在一个简单事态体

T’＝（p’,o*；1－p’,o0

）～T其中： o*≽max{o1,o2,…,on} o0≼min{o1,o2,…,on}且：这里，qj(j=1,2,…,n)为oj关于o*与o0无差异概率。第21页3.1.3事态体基本性质依据性质3.3

比较普通事态体之间优劣关系，能够转化为比较简单事态体之间优劣关系（将问题简化）

得到事态体之间两两优劣或无差异关系后，再依据公理3.2（传递性）即可得到所讨论事态体排序。第22页§3.2

效用函数定义和结构 设有决议系统（Ω，A，F），在离散情况下，结果值能够表示为决议矩阵：第23页§3.2

效用函数定义和结构 矩阵O第i行表示第i个可行方案n个可能结果值，即事态体 Ti＝（p1,oi1；p2,oi2；…；pn,oin）

(i=1,2,…,m) 决议就是要对这m个事态体进行排序。 由第一节中性质3.3知，存在简单事态体T’，使得

Ti’＝（pi’,o*；1－pi’,o0

）～Ti 问题又化为对这m个简单事态体Ti’进行排序。第24页§3.2

效用函数定义和结构

Ti’＝（pi’,o*；1－pi’,o0

）～Ti 注意到这m个简单事态体Ti’含有相同结果值o*、o0

，依据定义3.3，其优劣关系能够由比较pi’大小决定。 依据性质3.3qij是结果值oij关于o*与o0无差异概率。其中： 问题：怎样测定无差异概率？o*≽o0≼第25页§3.2

效用函数定义和结构3.2.1效用和效用函数概念效用概念定义3.5 设决议问题各可行方案有各种可能结果值o，依据决议者主观愿望和价值倾向，每个结果值对决议者都有不一样价值和作用。反应结果值o对决议者价值和作用大小量值称为效用。第26页§3.2

效用函数定义和结构3.2.1效用和效用函数概念效用函数概念

效用函数(曲线)：反应决议者期望值与效用值对应关系.

效用决议：将结果用效用值代替，以期望效用最大为决议准则.第27页§3.2

效用函数定义和结构3.2.1效用和效用函数概念效用函数概念定义3.6 若在事态体集合Ŧ上存在实值函数u，有：(1)对任意T1、T2∈Ŧ，T1

T2当且仅当u(T1)>u(T2)(2)对任意T1、T2∈Ŧ，且0≤λ≤1，有u[λT1＋(1－λ)T2]=λu(T1)＋(1－λ)u(T2) 则称u(T)为定义在Ŧ上效用函数。第28页3.2.1效用和效用函数概念预计效用函数方法（1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法)思绪：对于给定结果值，测定其效用值。 设有决议系统（Ω，A，F），其结果值集合为： O＝（o1,o2,…,on）记： o*≽max{o1,o2,…,on} o0≼min{o1,o2,…,on}

对于每一个结果值oj都存在一个概率值pj，使得 oj～（pj,o*；1－pj,o0）

pj就能够作为结果值oj效用值。第29页3.2.1效用和效用函数概念（1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法)步骤①设u(o*)=1，u(o0)=0；②建立简单事态体（x,o*；1-x,o0），其中x称为可调概率；③经过重复提问，不停改变可调概率值x，让决议者权衡比较，直至当x=pj时

oj～（pj,o*；1－pj,o0）④测得结果值oj效用

u(oj)=pj=pju(o*)＋(1－pj)u(o0)第30页3.2.1效用和效用函数概念预计效用函数方法（2）确定当量法(修正V－M法)思绪：对于给定效用值，测定其结果值。步骤①设u(o*)=1，u(o0)=0；②对于给定效用值pj，结构简单事态体 （pj,o*；1－pj,o0）③经过重复提问，不停改变结果值oξ

，让决议者权衡比较，直至当oξ=oj时

oj～（pj,o*；1－pj,o0）④得效用值pj对应结果值为oj，即u(oj)=pj。第31页3.2.2效用函数结构 介绍一个实用效用函数结构方法。基本思绪

对于决议问题结果值集合，先用确定当量法找出一个基准效用值，即效用值等于0.5结果值，称为确定当量oξ。其余效用值按照类似方法测定，或是按百分比用线性内插方法，用同一个标准计算得到。第32页3.2.2效用函数结构方法 设决议问题结果值集合为： O＝（o1,o2,…,on）①取

o*≽max{o1,o2,…,on} o0≼min{o1,o2,…,on}

并令u(o*)=1，u(o0)=0；②结构简单事态体（0.5,o*；0.5,o0），用确定当量法找到该事态体确实定当量oξ，使得： oξ～（0.5,o*；0.5,o0）第33页3.2.2效用函数结构方法③对结果值进行归一化处理，记归一化结果值为x(oj)

则：x*=x(o*)=1，x0=x(o0)=0，0≤x(oj)≤1④记确定当量oξ归一化值为ε，也记为x0.5第34页得到经归一化变换后效用曲线上三个点： （0,0）,（ε,0.5）,（1,1）ux011ε0.5第35页3.2.2效用函数结构方法⑤在新区间[0,ε]和[ε,1]按一样方法插入点（x0.25,0.25）和（x0.75,0.75），保持百分比关系计算得：第36页效用曲线上新增两个点： （ε2,0.25）,（2ε－ε2,0.75）ux011ε0.50.25ε20.752ε－ε2第37页⑥若认为点数太少，效用曲线不够准确，可继续按一样方法在新产生区间内插入效用中点，直到产生足够点为止。第38页做该问题决议树，如图所表示。决议人对四种后果优劣排序是：例

天气预报说球赛时可能下雨，一个足球兴趣者要决定是否去球场看球。不下雨去球场看球是最理想，假如必定下雨则留在家中看电视为好；不下雨在家中看电视即使不以下雨看电视，但比下雨去球场看球挨淋要强。试设定各种后果效用值。

看球看电视θ1θ2θ1θ2C1下雨看球C2无雨看球C3下雨看电视C4无雨看电视第39页第一步：令第二步：问询决议人，下雨在家看电视这种后果与去球场看球有多大约率下雨被淋相当，若决议人回答是0.3，则C1：下雨看球，C2：无雨看球，C3：下雨看电视，C4：无雨看电视第三步：问询决议人，无雨看电视这种后果与去球场看球有多大约率下雨被淋相当，若决议人回答是0.6，则得到第40页看球：0.5*0+0.5*1=0.5看电视:0.5*0.7+0.5*0.4=0.55看球：0.4*0+0.6*1=0.6看电视:0.4*0.7+0.6*0.4=0.52下雨概率0.5：下雨概率0.4：看球看电视θ1θ2θ1θ2C1下雨看球C2无雨看球C3下雨看电视C4无雨看电视第41页产品开发问题(i) Note minimumpossiblepayoffis-60(103) maximumpossiblepayoffis175(103) Choose leastfavourablepayoff=-80 mostfavourablepayoff=200(anyconvenientnumbers≤-60forleastfavourable

payoffand≥175formostfavourablepayoffwilldo)Set u(-80)=0

u(200)=1Thisestablishestheendpointsoftheutilitycurveas (-80,0), (200,1)第42页产品开发问题(ii) PosetotheDMaquestionwhichwillgivehis certainmonetaryequivalent(CME)ofthe followinglotteryDenotetheCMEofthislotterytobe

x

第43页Then u(x)=0.5u(200)+0.5u(-80) =0.5×1+0.5×0=0.5WhatevervalueDMspecifiesforx,itsutilitywillbe0.5asxistheCMEoftheabovelottery.Forx=200,the"certain"optionwillbepreferredtothelottery,butasxisreduced,indifferencewilloccuratsomepoint.Themorerisk-averseDMis,thelowerthisCMEvaluewillbeandthemoreconcavetheutilitycurve.(iii) ObtainfurtherpointsbyputtingquestionstoDMusing othermonetaryvalueswhoseutilitieshavepreviously beenfound第44页Then u(y)=0.5u(200)+0.5u(x)

=0.5×1+0.5×0.5=0.75Continueuntilsufficientpointsareobtained.

e.g. wemightaskDMtoevaluateysuchthat第45页产品开发问题(i)(ii)第46页SupposeDMprovidesthefollowingpreferences(iii)(iv)第47页SupposeDMprovidesthefollowingpreferences(v)第48页3.2.3效用与风险关系在风险型或不确定型决议问题中，决议者选择方案几乎都要负担一定风险，不一样决议者对风险态度是有区分。效用表示了决议者对决议方案各结果值偏好程度，也反应了不一样类型决议者对风险不一样态度。所以从不一样类型效用函数能够看出决议者对风险不一样态度。第49页3.2.3效用与风险关系中立型效用函数

设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有则称该效用函数为中立型。其效用曲线是一条直线。中立型效用函数效用值和结果值成正百分比，所以能够用结果值直接评选方案。第50页3.2.3效用与风险关系保守型效用函数

设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有则称该效用函数为保守型。其效用曲线是一条上凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，但增加速度逐步由快至慢。反应了决议者随结果值增加越来越慎重，对风险持厌恶态度。第51页3.2.3效用与风险关系冒进型效用函数

设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有则称该效用函数为冒进型。其效用曲线是一条下凸曲线，表示效用值随结果值增加而增加，且增加速度越来越快。反应了决议者随结果值增加越来越勇于冒险追求高额回报态度。第52页3.2.3效用与风险关系ux110中立型效用函数保守型效用函数冒进型效用函数第53页3.2.3效用与风险关系混合型效用函数 三种基本效用函数混合，如：ux110混合型效用函数表示当x＜x0时，即结果值不大时，决议者含有一定冒险精神；当x＞x0时，即结果值较大时，决议者对风险转而持慎重态度。x0第54页3.3效用函数表一、效用函数表结构 实际结构效用函数时，取n=6定出效用曲线上26（64）个点，效用函数精度已经足够。 书后附表6给出了n=6对于不一样权衡指标值ε(ε<0.5)效用函数值。ε<0.5时，对应是保守（上凸）型效用函数，效用函数值可直接查表。ε>0.5时，对应是冒进（下凸）型效用函数，效用函数值无法直接查表。第55页3.3效用函数表一、效用函数表结构能够证实：

ε>0.5效用曲线u(x)与ε’=1－ε效用曲线u’(x)是关于直线u=x对称。所以，ε>0.5效用函数值能够按下面方法求得：u(x)＝1－u’(1－x)详细步骤见教材P62。注：查表时在给定ε列若没有对应x值，则找出与之相邻两个值x1、x2，查出对应效用值后用线性内插方法确定u(x)。第56页3.3效用函数表二、效用函数表使用例3.1某企业欲投产一个新产品，有三种方案可供选择。已知市场存在三种状态：畅销、普通、滞销，三种方案在不一样市场状态下所赢利润额组成以下决议矩阵：决议者认为：oξ＝4.5～（0.5,20；0.5,－5）第57页例3.1试求该企业决议者效用矩阵。解：o*≽max{oij}＝20， o0≼min{oij}＝－5

u(o*)=1， u(o0)=0将决议矩阵结果值归一化：得归一化后决议矩阵为：第58页例3.1试求该企业决议者效用矩阵。由 oξ＝4.5～（0.5,20；0.5,－5）得：查P369附表6，ε＝0.38所在列，以x22＝0.5为例

：0.490621＜x22＝0.5

＜0.503698而 u(0.490621)＝0.65625，u(0.503698)＝0.671875用线性内插法：解得u(x22)＝0.6675。第59页例3.1试求该企业决议者效用矩阵。同理得：u(x11)＝0.7300，u(x12)＝0.6091， u(x13)＝0.4306，u(x31)＝0.8742

u(x32)＝0.5596，u(x33)＝0.2068且 u(x21)＝u(o*)=1，u(x23)＝u(o0)=0得决议者效用矩阵为：第60页例3.2在上例中，若决议者认为：

oξ＝11.25～（0.5,20；0.5,－5）

试求该企业决议者效用矩阵。

解：同上例方法得归一化后决议矩阵为：第61页例3.2

由 oξ＝11.25～（0.5,20；0.5,－5）得：查P369附表6，ε’＝1-0.65=0.35所在列，以x32＝0.44为例，

u(x32)＝1－u’(1－x32)＝1－u’(0.56)： 0.53689＜0.56

＜0.5775而 u(0.53689)＝0.734375，u(0.5775)＝0.75用线性内插法解得u’(0.56)＝0.7433，所以：

u(x32)＝1－u’(0.56)＝0.2567第62页例3.2

同理得：u(x11)＝0.3819，u(x12)＝0.2598， u(x13)＝0.1271，u(x22)＝0.2920

u(x31)＝0.5725，u(x33)＝0.0251且 u(x21)＝u(o*)=1，u(x23)＝u(o0)=0得决议者效用矩阵为：第63页§3.4

效用函数曲线拟合

前面讨论了针对特定结果值，怎样测定其效用，我们得到只是一些离散效用值，要得到连续效用函数，则需要用曲线拟合方法。常见拟合曲线形式线性函数型

u(x)＝c1＋a1（x－c2） 其中c1、a1、c2为待定参数。

前面查表时用内插法确定一些效用值，实际上就相当于效用函数为分段线性函数。第64页§3.4

效用函数曲线拟合常见拟合曲线形式指数函数型其中ci、ai（i＝1，2，3）均为待定参数。双指数函数型指数加线性函数型第65页§3.4

效用函数曲线拟合常见拟合曲线形式幂函数型其中c1、a1、c2为待定参数。不论采取哪种形式函数，普通都尽可能化为线性函数经过最小二乘法确定待定参数。对数函数型第66页§3.4

效用函数曲线拟合3.4.1幂函数型效用曲线拟合幂函数普通形式 y＝ta

（0＜a＜1） 当0＜a＜1时，幂函数曲线是上凸。在区间（0，＋∞）上，曲线曲率是改变，所以为了取得最正确曲线拟合效果，普通取幂函数曲线某一段(待定)，作为效用函数近似曲线。为此，作坐标平移变换：

参见教材P66图3.6第67页3.4.1幂函数型效用曲线拟合幂函