1.4 充分条件与必要条件（6种题型）解析版

.4充分条件与必要条件1、命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。2、命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若，则”、“如果，那么”等形式。其中称为命题的条件，称为命题的结论。3、充分条件与必要条件：一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作。此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件。4、要点诠释：①我们说是的充分条件，是指由条件可以推出结论，但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论。一般来说，对给定结论，使得成立的条件是不唯一的。②一般地，要判断“若，则”形式的命题中是否为的必要条件，只需判断是否有“”，即“若，则”是否为真命题。③一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。④一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。5、充要条件：一般地，如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作。此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称充要条件。显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件。概括地说，如果，那么与互为充要条件。6、逆命题（旧教材）：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。7、否命题（旧教材）：一般地，对于两个命题，如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题。8、充分、必要与充要条件的判定：如果且，则称是的充分不必要条件，是的必要不充分条件。如果且，则称是的必要不充分条件，是的充分不必要条件。如果既有，又有，则是的充要条件，也是的充要条件。如果且，则是的既不充分也不必要条件。9、从集合的角度理解充分与必要条件：设与命题对应的集合为，与命题对应的集合为，①若，则是的充分条件；②若，则是的必要条件；③若，则是的充分不必要条件；④若，则是的必要不充分条件；⑤若，则是的充要条件；【题型1】充分不必要条件1．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{0，1，2}，则“a＝0”是“M⊆N”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为M⊆N，则a＝0或a＝2，所以a＝0⇒M⊆N，由M⊆N推不出a＝0．故选：A．2．“x+1＝0”是“x2﹣2x﹣3＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：当x＝﹣1时，x2﹣2x﹣3＝0一定成立，但x2﹣2x﹣3＝0时，x＝﹣1或x＝3，故x+1＝0是x2﹣2x﹣3＝0的充分不必要条件．故选：A．3．已知a，b∈R，则“a＜b﹣1”是“a＜b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，若a＜b﹣1，一定a＜b，但反过来，若a＜b，不一定a＜b﹣1，例如，a=3，b=7所以“a＜b﹣1”是“a＜b”的充分不必要条件．故选：A．4．已知p：3x+2＞1，q：-2≤x＜1，则pA．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【解答】解：p：3x+2＞1q：﹣2≤x＜1，故p是q的充分不必要条件．故选：A．5．“﹣3＜m＜1”是“不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x﹣1＜0对任意的x∈R恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：（m﹣1）x2+（m﹣1）x﹣1＜0对任意的x∈R恒成立，①当m＝1时，﹣1＜0，恒成立；②当m≠1时，m-1＜0Δ=(m-1)2综上所述，{m|﹣3＜m≤1}，{m|﹣3＜m＜1}⫋{m|﹣3＜m≤1}，∴“﹣3＜m＜1”是“不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x﹣1＜0对任意的x∈R恒成立”的充分不必要条件．故选：A．【小结】【题型2】必要不充分条件1．子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意“工欲善其事，必先利其器．”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良，从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，综上，“利其器”是“善其事”的必要不充分条件．故选：B．2．“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若甲和乙的生肖相同，则甲和乙的生肖不一定都是龙；若甲和乙的生肖都是龙，则甲和乙的生肖肯定相同，所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的必要不充分条件．故选：A．3．“1x＜1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由1x＜1可得x＜0或所以1x＜1是故选：B．4．“x+y＞2z”是“x＞y＞z”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，令x＝1，y＝3，z＝1.5，满足x+y＞2z，但不满足x＞y＞z；反之，当x＞y＞z时，x＞z，y＞z，∴x+y＞z+z，即x+y＞2z，所以“x+y＞2z”是“x＞y＞z”的必要不充分条件．故选：B．5．已知p：（x+2）（x﹣3）＜0，q：|x﹣1|＜2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为p：（x+2）（x﹣3）＜0⇒﹣2＜x＜3；q：|x﹣1|＜2⇒﹣1＜x＜3，所以q⇒p，p推不出q，所以p是q的必要不充分条件．故选：B．【小结】【题型3】充要条件1．已知a∈R，集合A＝{2，|a+1|，a+3}，则“a＝0”是“1∈A”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：若1∈A，则|a+1|＝1或a+3＝1，所以a＝﹣2，或a＝0，当a＝﹣2时，a+3＝|a+1|＝1，不满足集合中元素的互异性，当a＝0时，A＝{2，1，3}，由1∈A，可得a＝0；当a＝0时，显然1∈A也成立．故选：C．2．“|x|＝1”是“x2＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，由|x|＝1可得x＝±1，则有x2＝1，由x2＝1可得x＝±1，则有|x|＝1，所以“|x|＝1”是“x2＝1”的充要条件．故选：C．3．已知实数a，b满足ab＝0，则“a+b＝0”是“a＝b＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a+b＝0得（a+b）2＝0，即a2+b2+2ab＝0，又ab＝0，所以a2+b2＝0，所以a＝b＝0，充分性成立；显然由a＝b＝0，可得a+b＝0，必要性成立，综上可知，“a+b＝0”是“a＝b＝0”的充要条件．故选：C．4．已知“p：一元二次方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根；q：c＜0．”则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：一元二次方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根，则这两根的乘积小于0，∴根据韦达定理c＜0，∴p是q的充分条件；若c＜0，则Δ＝b2﹣4c＞0，根据韦达定理方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根，∴p是q的必要条件，∴p是q的充分必要条件．故选：C．5．“a＞0”是“关于x的不等式x2﹣x﹣a＜0有整数解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，设f（x）＝x2﹣x﹣a，若a＞0，有f（0）＜0，不等式x2﹣x﹣a＜0有整数解，反之，若不等式x2﹣x﹣a＜0有整数解，而f（x）＝x2﹣x﹣a是对称轴为x=1必有f（0）＝f（1）＝﹣a＜0，必有a＞0，故“a＞0”是“关于x的不等式x2﹣x﹣a＜0有整数解”的充要条件．故选：C．【小结】【题型4】既不充分也不必要条件1．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立，“成人”不一定能推出“学好数学”，必要性不成立，故“学好数学”是“成人”的既不充分也不必要条件．故选：D．2．若x，y∈R，则“x2＞y2”是“x＞y”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x，y∈R，则“x2＞y2”推不出“x＞y”，如：x＝﹣3，y＝2，若“x＞y”也推不出“x2＞y2”，如：x＝2，y＝﹣3，故“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故选：D．3．设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．4．已知a，b∈R，则“ab＞1”是“a＞A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“ab＞1”推不出“a＞b”，例如a＝﹣2，由“a＞b”也推不出“ab＞1”，例如a＝1，所以“ab＞1”是“a＞故选：D．5．已知a，b∈R，则“1a＜1b”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由1a若1a＜1b，则b-aab＜0，当ab＜0时，b＞若a＞b，则当ab＜0时，1a-1b=综上所述，“1a＜1b”是“故选：D．【小结】【题型5】探求命题成立的一个充分、必要条件1．给出下列四个选项，其中能成为x＞y的充分条件是（）A．xt2＜yt2 B．xt＜yt C．x2＞y2 D．0＜【解答】解：对于A，若xt2＜yt2，则t2＞0，∴x＜y，充分性不成立，A错误；对于B，若xt＜yt，则当t＞0时，x＜y，充分性不成立，B错误；对于C，取x＝﹣2，y＝﹣1，满足x2＞y2，但x＜y，则充分性不成立，C错误；对于D，若0＜1x＜1y，则x故选：D．2．已知a，b∈R，下列条件中，使a＞b成立的必要条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．a﹣2＞b【解答】解：对于A选项，由a＞b可以得到a＞b﹣1，故a＞b﹣1是a＞b必要而不充分的条件，A正确；对于B选项，a＞b+1可以得到a＞b，反之不成立，故a＞b+1是a＞b的充分不必要条件，B错误；对于C选项，|a|＞|b|无法推出a＞b，a＞b也不能推出|a|＞|b|，即|a|＞|b|是a＞b的既不充分也不必要条件，C错误；a﹣2＞b，即a＞b+2时，a＞b一定成立，当a＞b时a＞b+2不一定成立，所以a﹣2＞b是a＞b的充分不必要条件，D错误．故选：A．3．不等式1xA．x＜1 B．x＜13 C．x＞1【解答】解：由1x＞1，得1x-1=1-xx＞因为{x|0＜x＜12}⫋{x|0＜所以0＜x＜12是0＜故选：D．4．设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（）A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3【解答】解：因为|x﹣3|＜2，所以﹣2＜x﹣3＜2，解得1＜x＜5，由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合．故选：D．5．若x，y∈R，则“x＞y”的一个必要不充分条件可以是（）A．2x﹣y＞0.5 B．x2＞y2 C．xy＞1 D．2x﹣【解答】解：A：2x﹣y＞0.5＝2﹣1⇒x﹣y＞﹣1⇒x＞y﹣1，不能推出x＞y，但由x＞y能推出2x﹣y＞0.5，故A正确；B：x2＞y2⇒|x|⇒|y|⇒x＞y＞0或x＜y＜0，不能推出x＞y，由x＞y，也不能推出x2＞y2，故B错误；C：xy＞1⇒x-yy＞0⇒y(x-y)＞0，解得x＞y＞0或x＜y由x＞y，也能推出xy＞1，故D：2x﹣y＞2⇒x﹣y＞1⇒x＞y+1⇒x＞y，反之x＞y时，2x﹣y不一定大于2，如x＝1.5，y＝1，故D错误．故选：A．6．不等式x2﹣x﹣m＞0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是（）A．m≤-14 B．m＜-14 C．【解答】解；不等式x2﹣x﹣m＞0在R上恒成立，即一元二次方程x2﹣x﹣m＝0在R上无实数解，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣m）＜0，解得：m＜-14，易见A选项，m＜-14可推导m≤-14，且m≤-14不可推导C选项，m＜-14不可推导出m＜-1D选项，m＜-14不可推导-1＜m＜-1故选：A．7．“不等式mx2+x+4m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．m＞14 B．0＜m＜14 C．【解答】解：∵不等式mx2+x+4m＞0在R上恒成立，且当m＝0不满足题意，∴m＞0Δ=1-16m2选项A，m＞14是充要条件，选项B，由m＞14推不出0＜m＜1，选项C，由m＞14⇒m＞选项D，由m＜18推不出m＞1故选：C．8．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥2 D．m≥0【解答】解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故选：A．9．命题“2x2﹣5x﹣3＜0”的一个充要条件是（）A．-12＜x＜3 B．-12＜x＜4 C．﹣3＜【解答】解：2x2﹣5x﹣3＜0⇔（2x+1）（x﹣3）＜0⇔-1故选：A．10．已知a，b，c∈R，则“a＞b”的一个充要条件是（）A．a2＞b2 B．3a＞3b C．ac2＞bc【解答】解：对于选项A：例如a＝﹣2，b＝﹣1，满足a2＞b2，不满足a＞b，即a2＞b2不能推出a＞b，故A错误；对于选项B：因为y=3x在R上单调递增，则3a＞3所以“3a＞3b”是“a＞对于选项C：例如c＝0，则ac2＝bc2＝0，即a＞b不能推出ac2＞bc2，故C错误；对于选项D：例如a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣1，满足ac＞bc，不满足即ac＞bc不能推出a＞故选：B．【小结】【题型6】根据条件求参数取值范围1．集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣2，2] D．（2，+∞）【解答】解：由题意，x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是[2，+∞）．故选：B．2．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件为0＜x＜4，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≥3} B．{a|a≥1} C．{a|a≤3} D．{a|a≤1}【解答】解：由|x﹣1|＜a得1﹣a＜x＜1+a，依题意，（0，4）⊆（1﹣a，1+a），则1-a≤01+a≥4解得a≥3．故选：A．3．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，6] B．（﹣∞，﹣1] C．[6，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）【解答】解：由﹣4＜x﹣a＜4，得﹣4+a＜x＜4+a，即p：﹣4+a＜x＜4+a，对应的集合A＝（﹣4+a，4+a），结合q：2＜x＜3，得q对应的集合B＝（2，3），若p是q的必要条件，可知（2，3）⊆（﹣4+a，4+a），∴2≥-4+a3≤4+a，解得﹣1≤a故选：A．4．若不等式|x﹣a|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数a的取值范围是（）A．[2，3] B．（2，3] C．[2，3） D．（2，3）【解答】解：由|x﹣a|＜1得：a﹣1＜x＜a+1，∵不等式成立的必要条件是1＜x≤4，则{x|a﹣1＜x＜a+1}⊆{x|1＜x≤4}，∴a-1≥1a+1≤4，解得2≤a故选：A．5．若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＞b，b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是（）A．b≥3 B．2＜b≤3 C．b≤2 D．b＜2【解答】解：因为集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＞b，b∈R}，若A⊆B，则b≤2，故A⊆B的一个充分不必要条件是b＜2．故选：D．6．若集合A＝{x|x2+x﹣2＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的一个充分不必要条件是（）A．a＞﹣2 B．a≥﹣2 C．a＞﹣1 D．a＞2【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x2+x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞1}，若A∩B≠∅，必有a＞1，反之，若a＞1，则A∩B≠∅，故“A∩B≠∅”的充分必要条件是a＞1，依次分析选项：对于A，a＞﹣2是“A∩B≠∅”的必要不充分条件，不符合题意；对于B，a≥﹣2是“A∩B≠∅”的必要不充分条件，不符合题意；对于C，a＞﹣1是“A∩B≠∅”的必要不充分条件，不符合题意；对于D，a＞2是“A∩B≠∅”的充分不必要条件，符合题意．故选：D．7．已知p：“x＞2”，q：“x2﹣x﹣a＞0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[-14，2] B．（﹣∞，2] C．【解答】解：若p是q的充分不必要条件，则当x＞2时，可推出x2﹣x﹣a＞0成立，因为f（x）＝x2﹣x﹣a的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=1所以f（x）在（12，+∞）上是增函数，可知f（x）在（2，+∞）上的最小值大于f（2）＝2﹣a若x2﹣x﹣a＞0在（2，+∞）上成立，则22﹣2﹣a≥0，解得a≤2．反之，若不等式x2﹣x﹣a＞0成立，则在a≤2时有如下三种情况：①若-14不等式的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），且x2=1+1+4a2≤2，此时（2，+∞）⊂②若a=-1不等式x2﹣x﹣a＞0即x2﹣x+14＞0，解集为（﹣∞，12）∪（12③若a＜-14，不等式x2﹣x﹣a＞0的解析为综上所述，对任意a≤2，都可以使“x＞2”是“x2﹣x﹣a＞0”的充分不必要条件．因此，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．8．设f（x）＝x2﹣2ax+4（x∈R），则关于x的不等式f（x）＜0有解的一个必要不充分条件是（）A．﹣2＜a＜0 B．a＜﹣2或a＞2 C．|a|＞4 D．|a|≥2【解答】解：若f（x）＝x2﹣2ax+4＜0有解，则Δ＝4a2﹣16＞0，解得|a|＞2，结合选项可知，D符合题意．故选：D．9．已知p：x2﹣2x﹣8＜0，q：2﹣a＜x＜a+1，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）∪（0，+∞） B．[4，+∞） C．[﹣3，0] D．（﹣3，0）【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＜0，∴﹣2＜x＜4，记P＝{x|﹣2＜x＜4}，Q＝{x|2﹣a＜x＜a+1}，由q是p的必要不充分条件，可得P⊆Q且P≠Q，故2-a≤-2a+1≥4，且等号不同时成立，解得a∈故选：B．10．已知p：2xx+1＜1是q：a＜x＜aA．（﹣1，1） B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0] D．[0，1]【解答】解：由不等式2xx+1＜1，2x-x-1x+1＜0，x-1x+1＜0，等价于（所以p：（﹣1，1），q（a，a+1），由题意可得（a，a+1）是（﹣1，1）的一个真子集，可得-1≤aa+1≤1，解得﹣1≤a当a＝﹣1时，a+1＝0≠1；当a+1＝1时，a＝0≠﹣1，综上可得a∈[﹣1，0]．故选：C．【小结】当堂检测一．选择题（共8小题）1．（2024春•临汾期末）褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类．若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，若“甲是马鸡”，则“甲不一定是褐马鸡”，反之，若“甲是褐马鸡”，则“甲一定是马鸡”，故“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件．故选：B．2．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；2x+1为整数时，x不一定是整数，如x=1故选：A．3．（2023•天津）已知a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：a2＝b2，即（a+b）（a﹣b）＝0，解得a＝﹣b或a＝b，a2+b2＝2ab，即（a﹣b）2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2+b2＝2ab”，充分性不成立，“a2+b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的必要不充分条件．故选：B．4．（2024•怀仁市校级模拟）设a，b∈R，则“a＜1且b＜1”是“a+b＜2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，若a＜1且b＜1，则a+b＜2，即充分性成立；反之，若a+b＜2，例如a＝1，b＝0，满足a+b＜2，但不满足a＜1且b＜1，即必要性不成立；综上所述：“a＜1且b＜1”是“a+b＜2”的充分不必要条件．故选：A．5．（2024•和平区二模）若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为（）A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0【解答】解：不等式x2＜1等价于﹣1＜x＜1，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则（﹣1，1）是A的真子集，故选：A．6．（2024春•牡丹江校级期末）已知a为非零实数，则“a＞1a”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a＞1a可得，a＞1或﹣1＜故a＞1a”是“故选：B．7．（2024春•江西期末）已知集合M＝{x|ax2﹣x+1＝0}（a∈R），则“a=14”是“集合A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：集合M＝{x|ax2﹣x+1＝0}仅有1个真子集，即集合M只有一个元素，若a＝0，方程ax2﹣x+1＝0等价于﹣x+1＝0，解得x＝1，满足条件；若a≠0，方程ax2﹣x+1＝0要满足Δ＝1﹣4a＝0，有a=1则集合M＝{x|ax2﹣x+1＝0}仅有1个真子集，有a＝0或a=14，则a=1集合M仅有1个真子集时不一定有a=14，所以a=1故选：B．8．（2023•安康一模）设c∈R，则a＞b成立的一个必要不充分条件是（）A．ac2＞bc2 B．ca＜cb C．2a+c＞2b+c D．a【解答】解：ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b，是a＞b的充分条件，A错；当c＝0时，不是必要条件，B错；∵f（x）＝2x在R上递增，∴2a+c＞2b+c⇔a＞b，是充要条件，C错；a＞b可得a﹣b＞0，又﹣2c＜0，可得a﹣b＞﹣2c，反之不一定成立，D对．故选：D．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2024春•广东期末）若“x＜k﹣2或x＞k”是“﹣2＜x＜3”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5【解答】解：根据题意，令A＝{x|x＜k﹣2或x＞k}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，因为“x＜k﹣2或x＞k”是“﹣2＜x＜3”的必要不充分条件，所以B真包含于A，所以k≤﹣2或k﹣2≥3，解得k≤﹣2或k≥5．结合选项可知符合题意的有B、C、D．故选：BCD．（多选）10．（2024春•鞍山期末）设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，B是A的充分不必要条件，则实数a的值可以为（）A．15 B．0 C．3 D．【解答】解：因为x2﹣8x+15＝0的两个根为3和5，所以A＝{3，5}，B是A的充分不必要条件，所以B是A的真子集，所以B＝∅或B＝{3}或B＝{5}，当B＝∅时，满足a＝0即可，当B＝{3}时，满足3a﹣1＝0，所以a=1当B＝{5}，满足5a﹣1＝0，所以a=1所以a的值可以是0，13，1故选：ABD．（多选）11．（2024春•德化县校级期末）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x＞5，则x＞10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0＜x＜5，则|x﹣1|＜1【解答】解：A．两个三角形全等⇒这两个三角形相似，反之，不成立，故p是q的充分条件；B．p：x＞5，q：x＞10，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件；C．p：ac＝bc，q：a＝b，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件；D．|x﹣1|＜1⇔0＜x＜2，p：0＜x＜5，q：0＜x＜2，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件；∴只有B，C，D中p是q的必要条件．故选：BCD．三．填空题（共3小题）12．（2023秋•虹口区期末）已知α：2x+1＞1，β：m≤x≤2，若α是β的充分条件，则实数m【解答】解：因为2x+1＞1，即2-(x+1)x+1＞0，整理可得：（x+1）（β：m≤x≤2，因为α是β的充分条件，则m≤﹣1．即m的范围为（﹣∞，﹣1]．13．（2024春•海淀区期末）已知集合A＝[a，+∞）、B＝[3，+∞）．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则a的取值范围为（﹣∞，3）．【解答】解：根据题意，因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集，又由集合A＝[a，+∞）、B＝[3，+∞）．所以a＜3，则a的取值范围为（﹣∞，3）．14．（2024春•平罗县校级期末）若不等式|x﹣3|≤a成立的一个充分不必要条件是﹣1≤x≤7，则实数a的取值范围为（4，+∞）．【解答】解：由|x﹣3|≤a⇒3﹣a≤x≤3+a，因为不等式|x﹣3|≤a成立的一个充分不必要条件是﹣1≤x≤7，所以有3+a≥73-a≤-1，等号不同时成立，a当a＝4时，﹣1≤x≤7是不等式|x﹣3|≤a成立的充要条件，不符合题意，所以a＞4，实数a的取值范围为（4，+∞）．四．解答题（共5小题）15．（2023秋•双塔区校级期末）已知集合A={x|m-12＜x＜m+1}，B＝{x|2x2（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若集合A∩（∁RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B={x|2x2+x-3＞0}={x|x＜-根据充分不必要条件的定义可知A是B的真子集，所以m+1≤-32或m-12≥1故实数m的取值范围为(-∞，-5（2）由（1）可知，∁RB={x|-32≤x≤1}由集合A∩（∁RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知-1≤m-1解得0＜m＜12，故实数m的取值范围为16．（2023秋•安徽期末）已知集合A＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}，B={x|1（1）若m=12，求A∩（∁R（2）若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由B={x|12≤x＜2}，则∁RB={x|x＜若m=12，则A={x|0≤x≤32}，所以A∩（∁（2）若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B．当2m﹣1＞m+1时，即m＞2时，A＝∅，符合题意；当2m﹣1≤m+1时，即m≤2时，A≠∅，要满足A⊆B，可得12≤2m-1≤m+1＜2，解得综上，实数m的取值范围为[3417．（2024春•新城区校级期末）已知集合A={x|22-x≥1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣（1）若m＝2，求（∁RA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由22-x≥1，得所以x(2-x)≥02-x≠0解得0≤x＜2，所以A＝[0，2）所以∁RA＝（﹣∞，0）∪[2，+∞），当m＝2时，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），所以（∁RA）∩B＝（﹣1，0）∪[2，3）；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，因为B＝{x|x2﹣2x﹣m2+1＜0}，则x2﹣2x﹣m2+1＜0对任意的x∈[0，2）恒成立，令f（x）＝x2﹣2x﹣m2+1，所以f(0)＜0f(2)≤0即-m2+1＜0-m所以m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）18．（2023秋•湖北期末）已知集合A＝{x|4≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|2a﹣3≤x≤a+1}．（1）求A∪B，（∁RA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为集合A＝{x|4≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，所以A∪B＝{x|1＜x≤6}；又∁RA＝{x|x＜4或x＞6}，则（∁RA）∩B＝{x|1＜x＜4}．（2）因为x∈A是x∈C的必要不充分条件，所以集合C是集合A的真子集，C≠∅，则2a﹣3≤a+1，得a≤4，由题意a+1≤62a-3≥4a≤4，所以综上所述：a的取值范围为[719．（2023秋•潍坊期末）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣8）≤0}，B＝{x||x|＜3}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|m﹣6＜x＜4m}，且“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）不等式（x+2）（x﹣8）≤0即﹣2≤x≤8，所以A＝{x|（x+2）（x﹣8）≤0}＝[﹣2，8]，而B＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}＝（﹣3，3），所以A∩B＝[﹣2，3）；（2）由“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，可知集合A是集合C的真子集，说明集合C＝{x|m﹣6＜x＜4m}是非空集合，可得4m＞m﹣6，即m＞2．因为A＝[﹣2，8]，且A⫋C，所以m-6＜-24m＞8，解得2＜m所以实数m的取值范围是（2，4）．练一练一．选择题（共8小题）1．（2024•周口开学）若“x＞a”是“x＞1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【解答】解：由“x＞a”是“x＞1”的必要不充分条件，则{x|x＞a}⫌{x|x＞1}，所以a＜1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1）．故选：A．2．（2023秋•中牟县校级月考）“0＜x＜4”的一个必要不充分条件为（）A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＜0 D．x＜4【解答】解：显然A项是充要条件，不符合题意；由“0＜x＜2”可推出“0＜x＜4”，即B项是充分条件，不符合题意；“x＜0”不能推出“0＜x＜4”，反之“0＜x＜4”也推不出“x＜0”，即C项为既不充分也不必要条件，不符合题意；易知（0，4）⫋（﹣∞，4），所以“0＜x＜4”的一个必要不充分条件为“x＜4”，故选：D．3．（2024春•云南期末）已知x∈R，则“1≤x≤3”是“x-3x-1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为x-3x-1所以（1，3]是[1，3]的真子集，所以“1≤x≤3”是“x-3x-1故选：B．4．（2023秋•魏都区校级月考）“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2【解答】解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为Δ＝（﹣2）2﹣4m≤0即m≥1，又m≥2是m≥1的充分不必要条件．故选：D．5．（2022秋•河南月考）设a，b是实数，则“a＞b”的一个必要不充分条件是（）A．a2＞b2 B．a3＞b3 C．1a＜1b D．2【解答】解：A：由a2＞b2可得：a＞b或a＜﹣b，因为a＞b不能得出a＞b或a＜﹣b，故A错误，B：由a3＞b3可得：a＞b，是充要条件，故B错误，C：由1a＜1b可得：a＞bab＞0D：当a＞b时，一定有a+1＞b，故D正确，故选：D．6．（2024春•淮滨县期末）已知关于x的不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是a＜x＜3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3）【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，由已知不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是a＜x＜3，所以a＜﹣1，则a∈（﹣∞，﹣1）．故选：A．7．（2024春•遵义期中）若m﹣1≤x≤m+1是不等式x2﹣x﹣6≥0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（）A．﹣3≤m≤4 B．﹣4≤m≤3 C．m≤﹣4或m≥3 D．m≤﹣3或m≥4【解答】解：不等式x2﹣x﹣6≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，故{x|m﹣1≤x≤m+1}⊆{x|x≤﹣2或x≥3}，故m﹣1≥3或m+1≤﹣2，解得m≥4或m≤﹣3．故选：D．8．（2024春•鼓楼区期末）“a＞1”是“函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为函数y＝x2﹣2ax+1的图象开口向上，对称轴为x＝a，若函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减，等价于a≥1，显然（1，+∞）是[1，+∞）的真子集，所以“a＞1”是“函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减”的充分不必要条件．故选：A．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2023秋•中牟县校级月考）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A．若x，y是偶数，则x+y是偶数 B．若a＜2，则方程x2﹣2x+a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0【解答】解：A．由x+y是偶数，不能推出x，y是偶数，则p不是q的必要条件；B．方程x2﹣2x+a＝0有实根⇔（﹣2）2﹣4a≥0⇔a≤1⇒a＜2，则p是q的必要条件；C．由一个四边形是菱形，能够得到该四边形的对角线互相垂直，则p是q的必要条件．D．若a＝0，则ab＝0，则p是q的必要条件，∴p是q的必要条件的有BCD．故选：BCD．（多选）10．（2024春•德州期末）已知集合A＝{x|m﹣3≤x≤2m+1}，B＝{x|﹣5≤x≤2}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的值可能为（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．1【解答】解：若A是空集，显然满足题意，此时m﹣3＞2m+1，解得m＜﹣4，若A不是空集，x∈A是x∈B的充分条件，则m-3≥-52m+1≤2，解得-2≤m≤对比选项可知，ACD符合题意．故选：ACD．（多选）11．（2023秋•阳江期末）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（）A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件【解答】解：由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，可得p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，对于A中，由p⇒q，所以p是q的充分条件，所以A正确；对于B中，由p⇒s，所以p是s的充分条件，所以B不正确；对于C中，由r⇔q，所以r是q的充要条件，所以C不正确；对于D中，由s⇔q，所以s是q的充要条件，所以D正确．故选：AD．三．填空题（共3小题）12．（2023秋•河南期中）已知P：实数x满足a≤x＜4a，a＞0，q：实数x满足2＜x≤4，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（1，2]．【解答】解：由已知可得集合（2，4]是[a，4a）的真子集，∴a≤24a＞4得1＜a≤2．实数a13．（2023秋•鼓楼区校级月考）若“1﹣m＜x+m＜2m”是“2x-1＜-1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为【解答】解：因为1﹣m＜x+m＜2m等价于1﹣2m＜x＜m，且2x-