高观点下再看问题本质-圆锥曲线极点与极线的一个性质应用

高观点下再看问题本质——圆锥曲线极点与极线的一个性质应用

近年来，关于圆锥曲线的切线及其相关问题的研究受到了教师们的青睐，请看2024年江西高考理科数学试题：

设点P(x0,y0）在直线x=m(y0≠±m,0在此给出一种证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则切线PA的方程为xx1－yy1=1，切线PB的方程为xx2－yy2=1。因点P在切线PA和PB上，故有x0x1－y0y1=1，

x0x2－y0y2=1，由此可知点A，B在直线xx0－yy0=1上。由于点P在直线x=m(y0≠±m,0我们还可以将问题做一般化探究：

过双曲线x2a2－y2b2=1(a>0，b>0)左（右）准线上的任意一点P引双曲线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB必过左（右）焦点。反之，AB为过左（右）焦点的一条弦，过A，B分别引双曲线的切线交于点P，则点P在该双曲线的左（右）准线上。

其实我们还可以得到更一般的结论。为了叙述方便，本文先介绍圆锥曲线极线和极点的定义。

定义如果圆锥曲线的两条切线相交于点P，切点分别为A，B两点，那么点P称为直线AB关于该曲线的极点，直线AB称为点P关于该曲线的极线。

（注：此定义只考虑极点在曲线外的情况。）

定理1直线AB是点P关于双曲线x2a2－y2b2=1(a>0，b>0)的极线，那么，直线AB过点Q(a2n,0)的充要条件是点P在直线x=n上。

为了方便对定理1的理解与证明，这里再介绍一个引理。

引理1双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)在点K(x0,y0）处的切线方程为xx0a2－yy0b2=1；对双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)，点P(x0,y0）的极线方程为xx0a2－yy0b2=1。

引理1中双曲线在点K处的切线方程不难得到，相信很多读者都不陌生。以下探讨点P对于该双曲线的极线方程。

证明：设切点A(x1,y1)，B(x2,y2)，切线PA的方程为xx1a2－yy1b2=1，切线PB的方程为xx2a2－yy2b2=1。因点P(x0,y0）在切线PA和PB上，故有x0x1a2－y0y1b2=1，x0x2a2－y0y2b2=1，由此可知点A，B在直线xx0a2－yy0b2=1上，即点P(x0,y0）的极线方程为xx0a2－yy0b2=1。

利用引理1，证明定理1就会简单不少了。

充分性：设P(n,t)，由引理1知，点P关于双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的极线方程为nxa2－tyb2=1，显然，点Q(a2n,0)满足该方程，即该极线过点Q(a2n,0)。

必要性：设P(x0,y0），则点P关于双曲线的极线方程为xx0a2－yy0b2=1，由于极线AB过点Q(a2n,0)，所以a2x0na2=1，即x0=n，即点P在直线x=n上。

特别地，当点P(±a2c,t)在双曲线x2a2－y2b2=1(a>0，b>0)的准线x=±a2c上，它关于该双曲线的极线AB：±a2xa2c－tyb2=1，即±xc－tyb2=1，易见，该极线过焦点F(±c,0）。

这样，我们就可以看到本文开头提到的2024年江西高考理科数学试题的本质了。

圆锥曲线大花园里面还不止双曲线一种，还有与之具有相似性质的圆、椭圆与抛物线。因此，类比双曲线中上述性质的推导过程和结果，可以尝试在圆、椭圆和抛物线中找寻类似的性质。（证明略）

引理1*圆锥曲线x2A+y2B=1在点K(x0,y0）处的切线方程为xx0A+yy0B=1；对圆锥曲线x2A+y2B=1，点P(x0,y0）的极线方程为xx0A+yy0B=1。

定理1*直线AB是点P关于圆锥曲线x2A+y2B=1的极线，那么，直线AB过点Q(An,0)的充要条件是点P在直线x=n上。

特别地，当点P(±a2c,t)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线x=±a2c上，它关于该椭圆的极线AB：±a2xa2c+tyb2=1，即±xc+tyb2=1，易见，该极线过焦点F(±c,0)。

引理1**抛物线y2=2px(p>0)在点K(x0,y0）处的切线方程为yy0=p(x+x0)；对抛物线y2=2px(p>0)，点P(x0,y0）的极线方程为yy0=p(x+x0)。

定理1**直线AB是点P关于抛物线y2=2px(p>0)的极线，那么，直线AB过点Q(n,0)的充要条件是点P在直线x=-n(n>0)上。

特别地，当点P(-p2,t)在抛物线y2=2px(p>0)的准线x=-p2上，它关于该抛物线的极线AB：ty=p(x－p2)，易见，该极线过焦点F(p2,0)。

下面，我们将上述结论进一步推广，得到更一般的结论。

定理2直线AB是点P关于圆锥曲线x2A+y2B=1的极线，那么，直线AB过点Q(-mAn,Bn)的充要条件是点P在直线y=mx+n上。

定理2*直线AB是点P关于抛物线y2=2px(p>0)的极线，那么，直线AB过点Q(nm,pn)的充要条件是点P在直线y=mx+n上。

以下给出定理2的证明，定理2*的证明留给有兴趣的读者。

充分性：设点P(x0,mx0+n)，则它关于圆锥曲线x2A+y2B=1的极线AB方程为xx0A+y(mx0+n)B=1，化简可得(xA+myB)x0+nyB－1=0，令xA+myB=0，nyB－1=0，得x=－mAn，y=Bn，即直线AB恒过定点Q(-mAn,Bn)。

必要性：设点P(x0,y0)，则它关于圆锥曲线x2A+y2B=1的极线AB方程为xx0A+yy0B=1，由于直线AB过点Q(-mAn,Bn)，则有－mAx0nA+By0nB=1，即－mx0n+y0n=1，即y0=mx0+n，故点P恒在定直线y=mx+n上。

下面我们考察2024年安徽高考理科数学试题：

点F1(－c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2c于点Q。

(1)如果点Q的坐标是（4,4），求此时椭圆C的方程;

(2)证明：直线PQ与椭圆只有一个交点。

分析：利用准线方程与垂直条件可以求得椭圆方程为x24+y23=1。

对于第（2）问，我们可以求出直线PQ的方程，并将其与椭圆方程联立，通过判别式可得交点只有一个。在本题中，点Q是在椭圆右准线上的点，若延长PF2交椭圆于点M，则PM为点Q关于椭圆的极线，点Q为弦PM关于椭圆的极点，其中PM经过右焦点F2，与定理1*的特别情况相一致。可见，一道高考题的命题背景可能就只是一个定理的特殊情况，若掌握了定理原理，也就把握了题目的本质。

在解析几何中，圆锥曲线的相关性质是最为丰富的，而关于极线极点的学习考查看似并不多见，其实不然，只要细心寻找，就可以发现诸如切点弦