广东省中山市2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷含答案

广东省中山市2023—2024学年高三上学期第二次月考数学试卷注意事项：（1）答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息；（2）请将答案正确填写在答题卡上。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则（

）A．B．C．D．2．已知幂函数的图象不过原点，则的值为A．0 B．-1 C．2 D．0或23．若a＞1，则的最小值是（

）A．2 B．aC． D．34．已知，则等于（

）A． B． C． D．5．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．6．函数在上的图象大致为（

）A． B．C． D．7．已知锐角、满足、，则（

）A． B． C．或 D．或8．已知，且，则（）A． B．C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．以下选项中，是，的一个必要条件的为（

）A． B． C． D．10．下列论述中，正确的有（

）A．正切函数的定义域为B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角C．第一象限的角一定是锐角D．圆心角为且半径为2的扇形面积是11．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（

）A．4 B．12 C． D．12．双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（，为自然对数的底数）．下列关于与说法正确的是（

）A．与在上均为增函数B．与的图象都关于原点对称C．，都有D．，都有三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．，，，则的最小值是________.14．已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是．15．已知函数是偶函数，那么的一个取值可以是.（答案不唯一）16．对于任意两个正实数，定义．其中常数，“”是实数乘法运算，若，则；若，与都是集合中的元素，则．四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）计算：(1)；(2)计算：.18.（本小题满分12分）已知函数．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；19．（本小题满分12分）已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若关于不等式有且仅有一个整数解，求正实数的取值范围.20．（本小题满分12分）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴的合，终边经过点，且.(1)求的值：(2)求的值.21．（本小题满分12分）党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．（1）求a的值；（2）若交通流量，求道路密度x的取值范围；（3）求车辆密度q的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数.（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；（2）当时，证明：.广东省中山市2023—2024学年高三上学期第二次月考数学试卷答案一、单选题1．已知，，则（

）A．B．C．D．2．已知幂函数的图象不过原点，则的值为A．0 B．-1 C．2 D．0或22．A【分析】根据函数是幂函数可知，得出：或，然后验证，得到的值.【详解】函数是幂函数，，解得：或，当时，，过原点，不满足条件；当时，，不过原点，满足条件，.故选:A.【点睛】本题考查幂函数的解析式和函数性质，形如的函数是幂函数，熟记和时，函数的性质和图象是解题的关键，本题主要考查基础知识的掌握情况.3．若a＞1，则的最小值是（

）A．2 B．aC． D．33．D【分析】原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2【详解】由a＞1，有a－1＞0∴，当且仅当，即a＝2时取等号.故选：D【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题4．已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用、诱导公式、余弦的二倍角公式即可求解.【详解】.故选：C5．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．5．B【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.6．函数在上的图象大致为（

）A． B．C． D．6．A【分析】易得函数为偶函数，排除部分选项，再采用特殊值法由，确定选项.【详解】因为，所以函数为偶函数，故排除D；因为，故排除B；因为，故排除C.故选：A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的应用，特殊值法的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.7．已知锐角、满足、，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】首先求出、，再根据两角和的余弦公式求出，即可得解.【详解】因为锐角、满足、，所以、，所以，因为，所以.故选：B8．已知，且，则（）A． B．C． D．8．B【分析】设，得出x＝2k，y＝3k，z＝5k，从而得出，比较得31021556，且，根据幂函数单调性即可得出.【详解】设，∴x＝2k，y＝3k，z＝5k；∴，；∵215＝85，或215＝323；310＝95，56＝253，∴31021556，又，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查对数的定义，对数式和指数式的互化，分数指数幂的运算，以及幂函数的单调性，属于中档题．二、多选题9．以下选项中，是，的一个必要条件的为（

）A． B． C． D．9．CD【解析】根据必要条件的定义依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，由，不能得到，故不满足；对于B选项，由，不能得到，故不满足；对于C选项，当，时，成立，故满足题意；对于D选项，当，时，成立，故满足题意；综上，CD是，的必要条件.故选：CD.【点睛】本题考查必要条件的概念，是基础题.10．下列论述中，正确的有（

）A．正切函数的定义域为B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角C．第一象限的角一定是锐角D．圆心角为且半径为2的扇形面积是10．BD【分析】根据正切函数的定义判断A，根据象限角的定义判断B，C，根据扇形面积公式判断D.【详解】对于A：正切函数的定义域为，故A错误；对于B：若是第一象限角，则，可得，所以表示第一或第三象限角，故B正确；对于C：是第一象限角，但不是锐角，故C错误；对于D：圆心角为且半径为2的扇形面积，故D正确．故选：BD．11．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（

）A．4 B．12 C． D．11．AD【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，若，即时在上单调递增，所以，，所以，解得；若，即时在上单调递减，所以，，所以，解得（舍去）；当，即时在上单调递减，在上单调递增，所以，，若且，即，，所以，解得或（舍去）；若且，即，，所以，解得或（舍去）；综上可得或.故选：AD12．双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（，为自然对数的底数）．下列关于与说法正确的是（

）A．与在上均为增函数B．与的图象都关于原点对称C．，都有D．，都有12．AC【分析】对于A，利用单调性的定义进行判断；对于B，通过判断函数的奇偶性求解；对于C，直接计算即可；对于D，由前面的判断可知在上为增函数，在上为减函数，所以构造函数在上为增函数，然后利用零点存在性定理可得，使得，从而可进行判断【详解】选项A，设，则，，，，，，即，在上为增函数．同理可知在上也为增函数，故正确；选项B，两函数定义域都为，且，图象关于原点对称,，图象关于轴对称，故错误；选项C，，故正确；选项D，由选项，可知与在上均为增函数，则当时，，在上为增函数．又由选项B可知，为偶函数，在上为减函数．在上为增函数．，，，，使得，即，使得，故错误．故选：AC三、填空题13．，，，则的最小值是________.13．【答案】【解析】【分析】利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】∵，且，∴．当且仅当时，取等号．∴的最小值为．14．已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是．14．【分析】由题意可得，利用基本不等式求出，然后解不等式可求出的取值范围.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，因为存在，使得成立，所以只要，即，得或，所以的取值范围为.15．已知函数是偶函数，那么的一个取值可以是.（答案不唯一）15．【分析】根据偶函数的定义即可求解.【详解】因为该函数为偶函数，所以，当时，有可得：，于是有：或，解得：，当时，有可得：，于是有或，解得：，显然的一个取值可以是，故答案为：.16．对于任意两个正实数，定义．其中常数，“”是实数乘法运算，若，则；若，与都是集合中的元素，则．16．//1.125//2.5【分析】根据给定的定义直接计算可得，再由给定的计算结果所属集合，推理求解作答.【详解】因任意两个正实数，定义，则，解得，满足，所以；因，与都是集合中的元素，则有，，因此，即，则，，所以.故答案为：；四、解答题17．计算：(1)；(2)计算：.【详解】（1）原式.18.已知函数．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；【答案】（1）1（2）的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.【解析】【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.【小问1详解】因为，所以，因此曲线y=f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；【小问2详解】令，解得：x=0或2．x02－0+0－↘极小值↗极大值↘所以f（x）在，内是减函数，在内是增函数．19．已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若关于不等式有且仅有一个整数解，求正实数的取值范围.19．【答案】见解析【解析】【分析】（I）直接解不等式得解集；（II）对分类讨论解不等式分析找到满足的不等式，解不等式即得解.【详解】（I）当时，不等式为，不等式的解集为，所以不等式的解集为；（II）原不等式可化为，①当，即时，原不等式的解集为，不满足题意；②当，即时，，此时，所以；③当，即时，，所以只需，解得；综上所述，，或.20．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴的合，终边经过点，且.(1)求的值：(2)求的值.【解析】【分析】（1）根据三角函数定义可列式计算求得，即可求得答案.（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，将代入，即可求得答案.【详解】（1）由题意知角的终边经过点，且，故，解得，当时，，则；当时，，则，即.（2）,故时，，时，.21．（本小题满分12分）党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．（1）求a的值；（2）若交通流量，求道路密度x的取值范围；（3）求车辆密度q的最大值．21、（1）解：依题意，，即，故正数,所以，a的值为.（2）解：当时，单调递减，F最大为，故的解集为空集；当时，由，解得，即所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．（3）解：依题意，，所以，当时，；当时，，由于，所以，当时，q取得最大值．因为