第五章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示-2025届高中数学大一轮复习练习

一、单项选择题1．下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是()A．e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2)B．e1＝(4，－2)，e2＝(－2,1)C．e1＝(3,3)，e2＝(－1,1)D．e1＝(2,3)，e2＝(－1,3)2．(2024·齐齐哈尔模拟)已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于()A．1或－eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)或eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)3．(2023·洛阳模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝2eq\r(13)，则a等于()A．(－6,4) B．(－4,6)C．(4，－6) D．(6，－4)4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝2|eq\o(GD,\s\up6(→))|，那么点C的坐标为()A．(－4,2) B．(－4，－2)C．(4，－2) D．(4,2)5．(2023·漳州模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝λeq\o(EF,\s\up6(→))，则λ等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)6．(2023·成都模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上有一点M，eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\r(3)λeq\o(BA,\s\up6(→))(λ≠0)，则λ等于()A.eq\f(\r(3)＋1,4)B.eq\f(\r(3)＋1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)二、多项选择题7．(2023·昆明模拟)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A．－2B.eq\f(1,2)C．1D．－18.如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则()A.eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(FQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))三、填空题9．(2023·南京模拟)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量的坐标是________．10．已知向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ＝________.11.如图，已知平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.12．(2024·曲靖模拟)已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AD,\s\up6(→))(mn≠0)，若eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，则eq\f(n,m)＝________.四、解答题13.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，B，C在第一象限，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，∠OAB＝eq\f(2π,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3))．(1)求点B，C的坐标；(2)判断四边形OABC的形状，并求出其周长．14．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，eq\r(3))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，2cos2\f(B,2)－1))，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝1，求△ABC面积的最大值．15.(2024·合肥模拟)古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若eq\o(DO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A.eq\r(2)－1 B．1－eq\r(2)C.eq\r(2)＋1 D．－eq\r(2)－116.给定两个长度为3的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为e