2024高考数学二轮专题复习测试专题强化练十三含解析

PAGE专题强化练(十三)1．设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为eq\f(1,2)，△ABF2的周长为16.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N.证明：O，M，N三点共线．(1)解：由题意知，4a＝16，a＝4.又因为e＝eq\f(1,2)，所以c＝2，b＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．则eq\f(xeq\o\al(2,1),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),12)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),12)＝1，相减得eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),16)＝－eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),12)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(3,4)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y0,x0)＝－eq\f(3,4)，即k·kOM＝－eq\f(3,4)，所以kOM＝－eq\f(3,4k).同理可得kON＝－eq\f(3,4k)，所以kOM＝kON，所以O，M，N三点共线．2．(2024·哈尔滨三中月考)已知过圆C1：x2＋y2＝1上一点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C2：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点和右顶点．(1)求椭圆C2的方程；(2)已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q(－1，0)，求证：PM⊥PN.(1)解：直线lOE的方程为y＝eq\r(3)x，则直线lAB的斜率kAB＝－eq\f(\r(3),3).所以lAB：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(2\r(3),3)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，B(2，0)，椭圆方程为：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\f(4,3))＝1.(2)证明：①当kMN不存在时，M(－1，1)，N(－1，－1)，因为eq\o(PM,\s\up14(→))·eq\o(PN,\s\up14(→))＝(1，1)·(1，－1)＝0，所以eq\o(PM,\s\up14(→))⊥eq\o(PN,\s\up14(→)).②当kMN存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝k(x＋1)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,\f(x2,4)＋\f(y2,\f(4,3))＝1，,))得：(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－4＝0.所以x1＋x2＝－eq\f(6k2,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－4,1＋3k2)，又已知左顶点P为(－2，0)，eq\o(PM,\s\up14(→))·eq\o(PN,\s\up14(→))＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2，又y1y2＝k(x1＋1)k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq\f(－3k2,1＋3k2)，所以eq\o(PM,\s\up14(→))·eq\o(PN,\s\up14(→))＝eq\f(3k2－4,1＋3k2)－eq\f(12k2,1＋3k2)＋4＋eq\f(－3k2,1＋3k2)＝eq\f(3k2－4－12k2＋4＋12k2－3k2,1＋3k2)＝0，所以eq\o(PM,\s\up14(→))⊥eq\o(PN,\s\up14(→)).综上PM⊥PN得证．3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若e＝eq\f(\r(3),2)，求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A、B两点，M、N分别为线段≤eq\f(\r(3),2)，求k的取值范围．解：(1)由题意得c＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2eq\r(3).又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3，所以椭圆的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝kx，))得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq\f(－a2b2,b2＋a2k2)，依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.因为eq\o(F2A,\s\up14(→))＝(x1－3，y1)，eq\o(F2B,\s\up14(→))＝(x2－3，y2)，所以eq\o(F2A,\s\up14(→))·eq\o(F2B,\s\up14(→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.＝－1－eq\f(81,a4－18a2).因为eq\f(\r(2),2)<e≤eq\f(\r(3),2)，所以2eq\r(3)≤a<3eq\r(2)，12≤a2<18.所以k2≥eq\f(1,8)，即k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，＋∞)).4．(2024·沈阳二中模拟)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点与抛物线C2：y2＝8eq\r(2)x的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为3－2eq\r(2).(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满意PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．解：(1)设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a>b，且F(2eq\r(2)，0)，c＝2eq\r(2)，a－c＝3－2eq\r(2)⇒a＝3，b＝1，所以椭圆C1的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：y＝k(x－3)，则直线PB：y＝－eq\f(1,k)(x－3)，联立：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－3），,\f(x2,9)＋y2＝1，))得(1＋9k2)x2－54k2x＋(81k2－9)＝0，则|PA|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6,1＋9k2).同理可得：|PB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\f(6,1＋9·\f(1,k2))＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6k,9＋k2)，所以△PAB的面积为：S＝eq\f(1,2)|PA||