J单元-计数原理

数学J单元计数原理J1基本计数原理J2排列、组合12．J2[2015·广东卷]某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)12．1560[解析]根据题意知写了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560(条)．18．J2、K2、K6、K4[2015·湖南卷]某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．18．解：(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B因为P(A1)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝eq\f(2,5)×1－eq\f(1,2)＋1－eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故所求概率P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,10).(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为eq\f(1,5)，所以X～B3，eq\f(1,5).于是P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\f(1,5)0eq\f(4,5)3＝eq\f(64,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\f(1,5)1eq\f(4,5)2＝eq\f(48,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\f(1,5)2eq\f(4,5)1＝eq\f(12,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\f(1,5)3eq\f(4,5)0＝eq\f(1,125).故X的分布列为X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)X的数学期望为E(X)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).6．J2[2015·四川卷]用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个6．B[解析]由题意知，万位上排4时，有2×Aeq\o\al(3,4)个大于40000的偶数，万位上排5时，有3×Aeq\o\al(3,4)个，故共有5×Aeq\o\al(3,4)＝120(个)．22．J2、J3、K2(1)已知n为正整数，在(1＋x)2n与(1＋2x3)n展开式中x3项的系数相同，求n的值．(2)设袋中共有7个球，其中4个红球，3个白球．从袋中随机取出3个球，求取出的白球比红球多的概率．解：(1)(1＋x)2n中x3项的系数为Ceq\o\al(3,2n)，(1＋2x3)n中x3项的系数为2n.由Ceq\o\al(3,2n)＝2n，得eq\f(2n（2n－1）（2n－2）,3×2×1)＝2n，解得n＝2.(2)从袋中取出3个球，总的取法有Ceq\o\al(3,7)＝35(种)；其中白球比红球多的取法有Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,4)＝13(种)．因此取出的白球比红球多的概率为eq\f(13,35).J3二项式定理11．J3[2015·安徽卷]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x)))eq\s\up12(7)的展开式中x5的系数是________．(用数字填写答案)11．35[解析]Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(x3)7－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,7)·x21－4r，令21－4r＝5，得r＝4，因此x5的系数为Ceq\o\al(4,7)＝35.9．J3[2015·广东卷]在(eq\r(x)－1)4的展开式中，x的系数为________．9．6[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－1))eq\s\up12(4)展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(eq\r(x))4－r(－1)r(0≤r≤4)，令4－r＝2，得r＝2，所以x的系数是Ceq\o\al(2,4)＝6.3．J3[2015·湖北卷]已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．293．D[解析]因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，解得n＝10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选D.15．J3[2015·全国卷Ⅱ](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.15．3[解析](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a，第二个因式取Ceq\o\al(1,4)x及Ceq\o\al(3,4)x3；另一部分来自第一个因式取x，第二个因式取Ceq\o\al(0,4)x0，Ceq\o\al(2,4)x2及Ceq\o\al(4,4)x4.所以系数之和为aCeq\o\al(1,4)＋aCeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝8a＋8＝32，所以a＝3.10．J3[2015·全国卷Ⅰ](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．6010．C[解析][(x2＋x)＋y]5的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2＋x)ry5－r，由题意取r＝3，得T4＝Ceq\o\al(3,5)(x2＋x)3y2＝Ceq\o\al(3,5)(x＋1)3x3y2，记(x＋1)3的通项T′r′＋1＝Ceq\o\al(r′,3)xr′，由题意得r′＝2，所以x5y2的系数为Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(2,3)＝30.9．J3[2015·北京卷]在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________．(用数字作答)9．40[解析]展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)25－rxr，令r＝3，得Ceq\o\al(3,5)25－3＝40.11．J3[2015·福建卷](x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________．(用数字作答)11．80[解析](x＋2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－r·2r(0≤r≤5，且r∈N)，令5－r＝2，得r＝3，所以x2的系数为Ceq\o\al(3,5)·23＝80.J4单元综合6．[2015·绵阳二诊]某人从{W，X，Y，Z}中选2个不同的字母，从{0，2，6，8}中选3个不同的数字编拟车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有()A．198个B．180个C．216个D．234个6．A[解析]不选2时，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(种)选法；选2，不选Z时，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝72(种)选法；选2和Z时，若2在数字的中间，有Aeq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝36(种)选法，若2在数字的第三位，有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,3)＝18(种)选法．根据分类计数原理，共有72＋72＋36＋18＝198(种)选法，故选A.4．[2015·衡水中学月考]若(x2＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－mx))eq\s\up12(5)的展开式中x2的系数是250,则实数m的值为()A．±5B．5C．±eq\r(5)D.eq\r(5)4．C[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－mx))eq\s\up12(5)的展开式的通项为Ceq\o\al(r,5)x－2(5－r)·(－mx)r＝Ceq\o\al(r,5)(－m)rx3r－10，由3r－10＝2得r＝4，系数为Ceq\o\al(4,5)(－m)4＝5m4，所以2×5m4＝250，得m＝±eq\r(5).12．[2015·浙江重点中学协作体一模]设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有________种．

12．26[解析]青蛙不能跳1次、2次或4次到达D点，故青蛙的跳法只有下列两种：(1)青蛙跳3次到达D点，有ABCD，AFED两种跳法；(2)青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D，只能到达B或F，则共有AFEF，ABAF，AFAF，ABCB，ABAB，AFAB这6种跳法，随后两次跳法各有四种，比如由F出发的有FEF，FED，FAF，FAB共四种，因此共有6×4＝24(种)跳法，故共有24＋2＝26(种)跳法．6．[2015·浙江重点中学协作体一模]将二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))eq\s\up12(n)的展开式按x的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有()A．3个B．4个C．5个D．6个6．A[解析]展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up