《数字系统设计基础》课件第2章

2.1逻辑代数2.2逻辑代数的常用公式和规则2.3逻辑函数及其表示方法2.4逻辑函数的化简习题

第2章逻辑代数与逻辑函数逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数，但逻辑代数中也是用字母来表示变量。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，逻辑变量的取值仅为“0”和“1”，逻辑代数中的“0”和“1”表示两种不同的逻辑状态，如是和非、有和无、开和关、高电位和低电位等。2.1逻辑代数2.1.1三种基本逻辑

在二值逻辑中，最基本的逻辑有与逻辑、或逻辑、非逻辑三种。

1.与逻辑

如图2－1所示串联开关电路表示了一个简单的与逻辑电路。电源通过开关A和B向灯泡供电，只有开关A和B同时闭合时，灯泡才亮；A和B中只要有一个断开或二者都断开，

灯泡则不亮。该电路功能表如表2－1所示。对于此例，可以得出这样一种因果关系：当决定某一事件(如灯亮)的条件(如开关合上)全部具备时，该事件才会发生。这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。图2-1与逻辑举例表2-1与逻辑举例状态表如图2-2所示，并联开关电路表示了一个简单的或逻辑电路。电源通过开关A和B向灯泡供电，只要开关A或B中有一个或者二个都闭合时，灯泡就会亮；而当A和B同时断开

时，灯泡才不亮。该电路功能表如表2-2所示。这样可得出另一种因果关系：当决定某一事件的所有条件中，只要有一个或几个条件具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或

逻辑关系，简称或逻辑。图2-2或逻辑举例表2-2或逻辑举例状态

3.非逻辑

如图2-3所示开关电路表示了一个简单的非逻辑电路。电源通过开关A和灯泡并联电路向灯泡供电，当开关A断开时，灯泡亮；反之，当开关A闭合时，灯泡则不亮。该电路

功能表如表2-3所示。这种因果关系是：当某一条件具备时，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。图2-3非逻辑举例表2-3非逻辑举例状态表上述三种基本逻辑可以用逻辑代数来描述。设定变量A和B对应两个开关的状态，开关闭合的状态用“1”表示，开关断开的状态用“0”表示；设变量Y与灯泡的状态对应，灯泡亮用“1”表示，不亮用“0”表示。根据上述设定，可得到与、或、非三种基本逻辑关系的图表分别如表2-4~表2-6所示。这种图表称为逻辑真值表，简称真值表。表2-4与逻辑真值表表2-5或逻辑真值表表2-6非逻辑真值表

在逻辑代数中，把与、或、非看做逻辑变量间的三种最基本的逻辑运算，并以符号“·”

表示与运算，在不引起混淆的前提下，“·”常被省略；符号“+”表示或运算；用变量上方的符号“-”表示非运算。因此，三种基本逻辑关系，用数学表达式来描述，可以写成如下形式：

(1)与逻辑：Y=A·B=AB。

(2)或逻辑：Y=A+B。

(3)非逻辑：

。在数字逻辑电路中，把实现与逻辑关系的基本单元电路称做与门，实现或逻辑的基本单元电路称做或门，实现非逻辑的基本单元电路称做非门(或反相器)。逻辑电路中，采用了一些逻辑图形符号，表示上述三种基本逻辑关系。这些图形符号也用于表示相应的门电路。如图2-4所示，图中第一行符号是目前国家标准局规定的符号，第二行符号是一些国外资料及书刊常用符号。图2-4基本逻辑的逻辑符号

与门的逻辑符号中，符号“&”表示与运算，“&”在英文中是“and”的速写；或门的逻辑符号中，符号“≥1”表示或运算，表示输入中有一个及一个以上的“1”

，输出就为“1”；非门的逻辑符号中，用小圆圈“°”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。2.1.2基本逻辑运算

最基本的逻辑运算有三种：逻辑加、逻辑乘、逻辑非。

1.逻辑加(或运算)

Y=A+B

逻辑加的意义是:A或者B只要有一个为1，则函数值就为1。它表示或逻辑关系，因而，逻辑加又称为或运算。逻辑加的运算规则为

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=1必须指出，逻辑加的运算和二进制加法的规则是不同的。

由此可推出一般形式：

A+0=A

A+1=1

A+A=A

2. 逻辑乘(与运算)

Y=A·B

逻辑乘的意义是：只有A和B都为1时，函数值才为1。它表示与逻辑关系，因而，逻辑乘又称为与运算。逻辑乘的运算规则为

0·0=0

0·1=0

1·0=0

1·1=1由此可推出一般形式：

A·0=0

A·1=A

A·A=A

3.逻辑非(非运算)

逻辑非的意义是：函数值为输入变量的反。它表示非逻辑关系，因而，逻辑非又称为非运算。逻辑非的运算规则为

由此可推出：

4.复合逻辑运算

在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的复合逻辑。最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或运算。

1)与非运算

与和非的复合运算称为与非运算。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。

其逻辑表达式为

与非逻辑的真值表如表2-7所示。由真值表可见，对于与非逻辑，只要输入变量中有一个为0，输出就为1。或者说，只有输入变量全部为1时，输出才为0。其逻辑符号如图

2-5(a)所示。表2-7与非逻辑的真值表

2)或非运算

或和非的复合运算称为或非运算。它是将输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。

其逻辑表达式为

或非逻辑的真值表如表2-8所示。

由真值表可见，对于或非逻辑，只要输入变量中有

一个为1，输出就为0。或者说，只有输入变量全部为0时，输出才为1。其逻辑符号如图2-5(b)所示。表2-8或非逻辑的真值表图2-5复合逻辑符号

3)与或非运算

与或非逻辑是与逻辑和或非逻辑运算的复合。它是将输入变量A、

B及C、D先进行与运算，然后再进行或非运算。其逻辑表达式为

与或非逻辑的真值表如表2-9所示，逻辑符号如图2-5(c)所示。表2-9与或非逻辑的真值表

4)异或及同或逻辑

所谓异或运算，是指两个输入变量A和B取值不同时，输出Y为1，取值相同时输出为0的一种逻辑运算。其逻辑表达式为

式中符号“

”表示异或运算。异或逻辑的真值表如表2-10所示，逻辑符号如图2-6(a)所示。表2-10异或逻辑的真值表图2-6异或及同或逻辑符号异或逻辑的运算规则为

由此可推出异或运算一般形式：

所谓同或运算，是指两个输入变量A和B取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0的一种逻辑运算。其逻辑表达式为

Y=A⊙B=AB+

式中符号“⊙”表示同或运算。同或逻辑的真值表如表2-11所示，逻辑符号如图2-6(b)所示，是异或逻辑符号的取非。表2-11同或逻辑的真值表同或逻辑的运算规则为

0⊙0=1

0⊙1=0

1⊙0=0

1⊙1=1

由此可推出同或运算一般形式：

A⊙0=

A⊙1=A

A⊙

=0

A⊙A=1由表2-10和表2-11可见，异或和同或互为反运算，即有A

B=A⊙B

A⊙B=

所以，有时又将同或逻辑称为异或非逻辑。

对于两变量来说，若两变量的原变量相同，则取非后两变量的反变量也相同；若两变量的原变量相异，则取非后两变量的反变量也必相异。因此，可得到

A

B=⊙

A⊙B=⊙另外，若变量A和B相同，则必与B相异或A与相异；若变量A和B相异，则必与B相同或A与相同。因此又有

A

B=⊙B=A⊙

A⊙B=

B=A

对于有n个输入变量的异或逻辑，其输出值和输入变量取值的对应关系是：输入变量的取值组合中，有奇数个1时，异或逻辑的输出值为1；反之，输出值为0。利用此特性，可作为奇偶校验码校验位的产生电路。

偶数个变量的同或运算，等于该偶数个变量的异或之非。如：

A⊙B=

A⊙B⊙C⊙D=

奇数个变量的同或运算，等于这奇数个变量的异或。如：

A⊙B⊙C=

逻辑代数的常用公式，反映了逻辑代数运算的基本规律，是用于化简逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本公式，必须熟悉和掌握。其正确性都可以用真值表加以验证。2.2逻辑代数的常用公式和规则2.2.1逻辑代数基本公式

1.常量与变量之间的关系

(1)0-1律：

A+0=A

A·1=A

A+1=1A·0=0

A⊙0=

A1=

A⊙1=A

A0=A

(2)同一律：

A+A=A

A·A=A

A⊙A=1A

A=0

(3)互补律：

A+

=1A·

=0

A⊙

=0

=1

2.逻辑代数的基本公式

逻辑代数中，常用的基本定律有9个，分别为0-1律、互补律、重叠律、交换律、结合律、分配律、反演律、吸收律、对合律，其公式列于表2-12。其中，与普通代数相似的定律有交换律、结合律、分配律，特殊的定律有反演律、对合律。反演律也称为狄摩根定律。表2-12逻辑代数的基本公式

【例2-1】

试证明反演律。

证明用列真值表法，对应A、B所有取值组合，列出原式两边相应的真值表如表2-13所示。表2-13反演律(狄摩根定律)真值表由表2-13可看出，和真值表结果完全相同，故原式成立。

同或、异或逻辑的特点还表现在变量的调换律。

同或调换律：

若A⊙B=C，则必有

A⊙C=B，B⊙C=A

异或调换律：

若A

B=C，则必有

A

C=B，B

C=A

2.2.2逻辑代数的三个规则

在逻辑代数运算中有三个重要规则，分别是：代入规则、反演规则和对偶规则。

1.代入规则

在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若将所有出现A的地方都代之以另一个逻辑式，则等式仍然成立，这个规则就叫做代入规则。

利用代入规则，可以将上述基本等式中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大公式的应用范围。

【例2-2】

已知，试证明等式。

证明由于，将等式两边所有出现B的地方都代之以另一个逻辑式BC，则有

所以

这样就得到三变量的摩根定律。同理可将摩根定律推广到n变量。

2.反演规则

对任何一个逻辑表达式Y，若将式中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、反变量互换，长非号(两个或两个以上变量上的非号)不变，这样可得Y的反函数，这个规则叫做反演规则。

反演规则又称为德·摩根定律，或称互补规则。它的意义在于可方便地求得反函数。

【例2-3】

已知，求。

解根据反演规则，可直接写出

【例2-4】

已知,求。

解根据反演规则，可直接写出

运用反演规则时，要注意运算的优先顺序，必要时可增减括号。例如，在例2-3中，函数Y是先进行和两个与运算，然后再进行两者的或运算。所以，在的表达式中，应先进行和两个或运算，然后再进行两者的与运算，故必须加括号写成。

3.对偶规则

对任何一个逻辑表达式Y，若将式中所有的与、或互换，“0”和“1”互换，这样可得一个新的逻辑式Y*，Y*就叫做Y的对偶式，或者说Y和Y*互为对偶式。

【例2-5】

已知Y=

B+CD+0，求Y的对偶式Y*。

解可直接写出

Y*=(+B)(C+D)·1

写对偶式时，同样应注意运算的优先顺序，必要时要增减括号。但需注意，不要将原、反变量互换。

对偶规则：若等式Y=W成立，则等式Y*=W*也成立。

【例2-6】

已知(A+B)C=AC+BC

成立，试证明

A·B+C=(A+C)·(B+C)。

证明令

Y1=(A+B)C，Y2=AC+BC

则Y1、Y2

的对偶式分别为

=A·B+C

=(A+C)·(B+C)

由已知条件知Y1=Y2，利用对偶规则得到

上式即得证。

利用对偶规则，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半，如表2-10中的公式1和公式2互为对偶式。利用对偶式，有时可以简化等式的证明，因为有些情况下证明对偶式相等更为容易些。2.2.3逻辑代数常用公式

公式1

A+AB=A

证明

A+AB=A(1+B)=A

特点：两个乘积项中，若其中一项(AB项)以另一项(A项)为因子，则该项(AB项)是多余的，可以消去。

根据对偶规则有A·(A+B)=A

公式2

A+B=A+B

证明

特点：两个乘积项中，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的。根据对偶规则有

A·(

+B)=AB

公式3

AB+A

=A

证明

AB+A

=A(B+

)=A·1=A

特点：两个乘积项，除公有因子外，不同因子恰好互补，则这两个乘积项可合并为一个由公有因子组成的乘积项。根据对偶规则有(A+B)·(A+

)=A

公式1、2、3称为吸收律。公式4

冗余律

AB+

C+BC=AB+

C

证明

AB+C+BC=AB+C+BC(A+)

=AB+C+ABC+BC

=AB(1+C)+C(1+B)

=AB+C

此定律可推广为

AB+C+BCEFG=AB+C

证明

AB+C+BCEFG=AB+C+BC+BCEFG(加多余项BC)

=AB+C+BC(1+EFG)

=AB+C

公式4及其推论的特点：若两个乘积项中的部分因子恰好互补，而这两个乘积项中的其余因子都是第三乘积项中的因子，则第三乘积项是多余的。根据对偶规则有

(A+B)(

+C)(B+C)=(A+B)(

+C)

公式5

交叉互换律

AB+

C=(A+C)·(

+B)

证明

AB+

C=(AB+

)(AB+C)

=(A+

)(B+

)(A+C)(B+C)

=(A+C)(

+B)

根据对偶规则有

(A+B)(

+C)=AC+

B

2.3.1逻辑函数

如果以逻辑变量作为输入，以某种逻辑运算结果作为输出，那么，当输入变量的取值确定后，输出的结果也会随之而定。输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的这种关系称为逻辑函数，一般写作

Y=F(A、B、C、D…)

其中，A、B、C、D…称为输入逻辑变量，F称为输出逻辑函数。由于输入变量和输出逻辑函数值的取值都是只有“0”和“1”两种状态，所以称之为二值逻辑函数。2.3逻辑函数及其表示方法2.3.2逻辑函数表示方法

任何一个具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。常用的表示逻辑函数的方法有逻辑真值表、逻辑函数表达式、逻辑电路图和卡诺图等。这一节介绍前三种表示方法，卡诺图表示方法将在后面专门介绍。

1.逻辑真值表

逻辑真值表简称真值表，是将输入逻辑变量的所有可能的取值组合和与之对应的输出函数值排列在一起而组成的一个表格。真值表是采用逐点观察法来描述逻辑问题的。

【例2-7】

三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试用真值表建立该逻辑函数。

解

第一步：设输入变量为A、B、C三个信号，“同意”用逻辑“1”表示，“不同意”用逻辑“0”表示。那么，三个输入变量共有8种取值组合，即000、001、010、011、100、101、110、111。

第二步：设输出变量为Y，“事情通过”为逻辑“1”，“事情没通过”为逻辑“0”。

第三步：根据题意及上述规定列出函数的真值表，如表2-14所示。表2-14例2-7逻辑函数的真值表逻辑真值表的特点是唯一性，n个输入变量对应2n种不同的取值组合。此例中，由于输入变量有3个，故共有8种取值组合。

2.逻辑函数表达式

按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非等运算的组合形式，称为逻辑函数表达式。如Y=

+AB是一个与或表达式，与或表达式是最常用的一种函数表达式。其实一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来表示，通常逻辑函数的表达形式如下：

(1)与-或表达式：

F1=A

+B

(2)或-与表达式：F2=(A+B)(

+

)

(3)与非-与非表达式：F3=

(4)或非-或非表达式：F4=

(5)与或非表达式：F5=由真值表可以方便地写出逻辑函数表达式。方法是：找出真值表中使输出逻辑函数Y=1的所有输入变量取值的组合，将对应的每一种组合用一个乘积项来表示，表示的时候变量取值为“１”用原变量表示，变量取值为“０”用反变量表示，最后将所有Y＝１的乘积项相加，即得Y的与-或表达式，或称为积之和式。

例如，表2-15所示真值表中，对应于Y＝１的输入变量组合有A=0、B=0，用乘积项来表示；有A=1、B=1，用乘积项AB来表示。将所有Y＝１的乘积项相加，得到逻辑函数

表达式为Y=

+AB。表2-15真值表同样，把每个输出变量Y＝０的相对应的一组输入变量的组合状态以逻辑加形式表示，表示的时候，变量取值为“０”用原变量表示，变量取值为“１”用反变量表示，最后将所有Y＝０的逻辑加相与，即得Y的或-与表达式，又称为和之积式。

例如，表2-13所示真值表中，对应于Y＝0的输入变量组合有A=0、B=1，用逻辑加(A+

)表示；有A=1、B=0，用逻辑加(

+B)表示。将所有Y＝0的逻辑加进行逻辑乘，得到逻辑函数表达式为Y=(A+

)(

+B)。该式也表示了表2-13所示真值表的逻辑功能。

3.逻辑电路图

用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑电路图，简称逻辑图。如图2-7所示逻辑图即为表达式L=

+AB对应的逻辑电路图。由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。图2-8所示逻辑图的函数表达式为

L=AB+BC+AC

图2-7逻辑图1图2-8逻辑图22.3.3逻辑函数相等

逻辑函数F1(A1

，A2，…，An)和逻辑函数F2(A1，A2，…，An)，如果对应于输入变量A1，A2，…，An的任一组状态组合，F1和F2的值都相同，则称F1和F2是相等的，记作F1=F2。如果F1=F2，那么它们就应该有相同的真值表，或者说，如果F1和F2的真值表相同，则F1=F2。因此，可以用真值表来证明两个函数是否相等。

【例2-8】

设F1=

+AB，F2=(A+

)(

+B)，试证明F1=F2。

证明根据F1和F2的函数表达式，列出它们的真值表如表2-16所示。也就是将输入变量的各种取值组合状态逐一代入逻辑表达式，从而求出相应的逻辑值而得到的。例如，对

应于A、B的一组输入组合A=0、B=1，则

F1=

+AB=1·0+0·1=0

F2=(A+

)(

+B)=(0+0)·(1+1)=0表2-16例2-8的真值表故由表2-16可见，对应于A、B的任一种取值组合，F1和F2的值均完全相同，所以函数F1=F2。

在“相等”的意义下，同一逻辑功能的完成可以有多种不同的函数表达式。例如

F1=

+AB

和F2=(A+

)(

+B)是表示同一函数的两种不同的表达式。虽然实现F1和F2的相应逻辑电路的结构形式和组成不同，但它们所具有的逻辑功能是完全相同的。2.3.4逻辑函数的两种标准形式

逻辑函数的标准形式有两种，标准与-或式和标准或-与式，即最小项表达式和最大项表达式。在讨论逻辑函数的标准形式之前，首先要了解最小项、最大项的定义和性质。

1.标准与-或式——最小项表达式

我们已经知道，一个逻辑函数的表达式不是唯一的。例如：

F(A，B，C)=AB+

C(2-1)

=AB(C+

)+

C(B+

)

=ABC+AB

+

BC+

C

(2-2)式(2-1)和式(2-2)都是函数F(A，B，C)的与-或表达式，但它们的不同之处在于，式(2-2)中的每一个乘积项都包含了全部输入变量，而且每个输入变量均以原变量或反变量的形式在乘积项中仅出现一次，这种包含了全部输入变量的乘积项称为最小项。只有一组变量取值才能使最小项的值为1。例如，式(2-2)中乘积项C，只有在变量取值A=0、B=0、C=1时，才能使C=1，其余任何变量取值组合均使

C=0；而式(2-1)中的乘积项AB，它在A=1、B=1、C=0和A=1、B=1、C=1两组变量取值情形下，均能使AB=1，所以AB不是最小项。像式(2-2)这样，全部由最小项相加而构成的与-或表达式称为最小项表达式。这是与-或表达式的标准形式，又称为标准与-或式或标准积之和式。对n变量逻辑函数来说，由于输入变量共有2n种不同组合，所以共有2n个最小项。包含A、B、C三个变量的逻辑函数应该有23=8个最小项。例如，变量A、B、C取值为0、0、

0时，对应的最小项为；变量A、B、C取值为0、0、1时，对应的最小项为C等等。

输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值为1，例如当A、B、C取值为1、0、1时，最小项A

C=1，若把A

C的取值101看做一个二进制数，那么它对应的十进制数就是5。为了使用方便，将最小项A

C记作m5，这样，可以对每个变量取值组合用一个编号来表示，使得逻辑函数的最小项表达式书写十分方便。例如，逻辑函数

F(A，B，C)=ABC+AB

+

BC+

C

=m7+m6+m3+m1=∑m(1，3，6，7)

三变量逻辑函数的最小项及编号如表2-17所示。表2-17三变量逻辑函数的最小项及编号三变量逻辑函数的最小项有8个，记作m0～m7；四变量逻辑函数的最小项有16个，记作m0～m15。若两个最小项仅有一个因子不同，称这两个最小项具有相邻性，例如，最小项C和A

C具有相邻性。n变量逻辑函数的一个最小项有n个相邻项。

从最小项的定义可知其具有以下重要性质：

(1)在输入变量的任何一组取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。

(2)任意两个最小项的乘积为0。

(3)全体最小项之和为1。

(4)具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一对因子。任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与-或表达式，而且这种形式是唯一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。通常利用等式A=A

+AB，将非标准与-或式中的每一个乘积项所缺的变量逐步补齐，从而展开成最小项表达式。

【例2-9】

将函数F(A，B，C)=

+BC+A

展开成最小项表达式。

解

F(A，B，C)=

+BC+A

=

+BC(A+

)+A

(B+

)

=

+ABC+

BC+AB

+A

=m0+m7+m3+m6+m4

=∑m(0，3，4，6，7)

【例2-10】

将逻辑函数Y=A

D+

CD+AC展开成最小项表达式。

解这是一个包含A、B、C、D四个输入变量的函数，所以需把各个乘积项所缺的变量逐步补齐。

Y=A

D+

CD(B+

)+AC(B+

)(D+

)

=A

D+

BCD+

CD+ABC(D+

)+A

C(D+

)

=A

D+

BCD+

CD+ABCD+ABC

+A

C

+A

C

=∑m(3，7，9，10，11，14，15)

2.标准或-与式——最大项表达式

逻辑函数的标准形式除去最小项表达式外，还有最大项表达式。

在逻辑函数F(A，B，C)=(A+

+C)(A+

+

)(A+B+C)(

+B+C)的或-与表达式中，每个或项都包含了全部变量，每个变量均以原变量或反变量的形式在或项中出现且仅出现一次，这种包含了全部输入变量的或项称为最大项。只有一组变量取值才能使最大项的值为0。三变量逻辑函数的最大项有23个，n变量逻辑函数的最大项则有2n个，其数目与最小项数目是相等的。

三变量最大项的编号表如表2-18所示，以A、B、C取值所对应的十进制数给最大项编号，如M0、M1、M2等。表2-18三变量最大项编号表最大项性质：

(1)在输入变量的任何取值下必有一个且只有一个最大项的值是0。

(2)任意两个最大项之和为1。

(3)全体最大项之积为0。

全部由最大项相与而构成的或-与表达式称为最大项表达式，即标准或-与式，或称为标准和之积式。包含n个变量的任何一个逻辑函数，都可以变换成最大项表达式。通常采用的方法是利用等式A=(A+

)(A+B)，将非标准或-与式中的每一个或项所缺的变量逐步补齐，展开成最大项表达式。

【例2-11】

将逻辑函数F(A，B，C)=(A+

)(B+C)写成最大项表达式。

解

F(A，B，C)=(A+

)(B+C)

=(A+

+C)(A+

+

)(A+B+C)(

+B+C)

=M2·M3·M0·M4

=∏M(0，2，3，4)

3.最小项与最大项之间的关系

(1)Mi=或mi=。

例如，m0=，则

(2)若函数F可用n个最小项之和的形式表示，则该函数的反函数可用n个最大项之积的形式表示，而最大项及最小项的标号完全一致。

例如

F=m1+m3+m6+m7

则

(3)一个n变量函数，它的最小项表达式形式下标号与最大项表达式形式下标号恰好互补，而且最小项与最大项的下标号的总和为2n。例如

F(A，B，C)=∑m(0,1,3,6)

可转换为

F(A，B，C)=∏M(2,4,5,7)

【例2-12】

试将逻辑函数Y=AB

+BC化为最大项乘积的形式。

解

Y=AB

+BC=∑m(3，6，7)

则

Y=∏M(0，1，2，4，5)=M0·M1·M2·M4·M5

=(A+B+C)(A+B+

)(A+

+C)(

+B+C)(

+B+

)一个逻辑函数可以写成不同的表达式形式，表达式越简单，所表示的逻辑关系就越明显。化简电路的目的就是用最少的逻辑门实现逻辑函数，以降低系统的成本，提高电路的可靠性。例如函数F=AB

+A

C+

B+B+BC，如果将其化简后函数式则为F=AC+B，只要两个逻辑门就可实现。

函数表达式中，由于与-或表达式最常用，因此本节主要介绍与-或表达式的化简。最简与-或式的标准是：与-或式中含的“与”项个数最少；每个“与”项中含的变量数最少。2.4逻辑函数的化简2.4.1公式化简法

公式化简法的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式，消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。公式化简法经常使用的方法归纳如下。

1.并项法

运用公式AB+A

=A消去B和两个因子。

【例2-13】

2.吸收法

利用公式A+AB=A消去AB项。

【例2-14】

3.消项法

利用公式AB+

C+BC=AB+

C消去多余项BC。

【例2-15】

4.消因子法

利用公式A+

B=A+B消去因子。

【例2-16】

5.配项法

(1)利用A+A=A

配项。

【例2-17】

(2)利用A+

=1配项。

【例2-18】

化简时应灵活运用以上方法。

【例2-19】

化简函数：

F=AD+A

+AB+

C+BD+ACEG+

EG+DEGH

解原式=A+AB+

C+BD+ACEG+

EG+DEGH

(AB+A

=A)

=A+

C+BD+EG+DEGH

(A+AB=A)

=A+C+BD+

EG+DEGH

(A+

B=A+B)

=A+C+BD+

EG

(多余项定律)

【例2-20】

化简函数：

F=A(A+B)(

+C)(B+D)(

+C+E+F)

(

+F)(D+E+F)

解方法1：这是一个或-与表达式，可利用各公式的对偶式直接进行化简。

F=A(A+B)(

+C)(B+D)(

+C+E+F)(

+F)(D+E+F)

=A(

+C)(B+D)(

+F)

=AC(B+D)(

+F)

方法2：先将或-与表达式转换成它的对偶式(与-或表达式)形式，再对对偶式(与-或表达式)进行化简，最后将化简后的结果再取对偶，即得到原函数的最简或-与表达式。先求F的对偶式并进行化简：

F*=A+AB+

C+BD+

CEF+

F+DEF

=A+

C+BD+

F

=A+C+BD+

F

再求F*的对偶式，即

F=(F*)*=AC(B+D)(

+F)

可见，两种化简方法结果是相同的。公式化简法没有固定的步骤，能否以最快的速度进行化简，与经验、技巧和对公式掌握及运用的熟练程度有关。该方法的优点是输入变量个数不受限制，缺点是结果是否为最简有时不易判断。2.4.2卡诺图化简法

1.什么是卡诺图

前面已经提到，描述一个逻辑函数，可以作出它的真值表，但直接把真值表作为运算工具十分不方便。将真值表变换成方格图的形式，称为真值图。按循环码的规则来排列变

量的取值组合所得的真值图称为卡诺图。卡诺图是由美国工程师卡诺首先提出的一种描述逻辑函数的特殊方格图。卡诺图是变形的真值表，是按照逻辑相邻性原则排列最小项而形成的方格图形。它的每一个小方格对应真值表上的一行，即对应一个最小项。n变量函数的卡诺图有2n个小方格，且任意两个相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同，称为逻辑相邻项。卡诺图上，最小项排列的规则

是几何相邻的最小项必须逻辑相邻，逻辑相邻的最小项可以合并。利用卡诺图，可以十分方便地对逻辑函数进行化简。利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理是：具有相邻性的最小项可以合并。用卡诺图化简逻辑函数的突出优点是简便直观、规律性强，因而在逻辑电路的设计中得到广泛的应用。

图2-9所示为三变量、四变量的卡诺图。三变量的卡诺图有23个小方块，四变量的卡诺图有24个小方块。图形两侧标注的0和1表示使对应小方格内最小项为1的变量取值，并且这些取值对应的十进制数即为对应的最小项序号。图2-9三变量和四变量卡诺图由图2-9可以看出，输入变量取值的顺序并非按自然二进制数由小到大，而是按循环码的顺序排列，如三变量卡诺图中AB的取值按00、01、11、10的顺序排列。这样做的目

的是保证图形中相邻的最小项在逻辑上也具有相邻性，即只有一个变量取值不同。处在任何一列或一行两端的最小项也具有逻辑相邻性，因此从几何位置上应当把卡诺图看成是上

下、左右闭合的图形。

2.用卡诺图表示逻辑函数

既然任何一个n变量逻辑函数都能表示成最小项之和的形式，而n变量卡诺图包含了n变量的所有最小项，所以任何一个n变量函数都可用n变量卡诺图来表示。

由真值表画卡诺图时，先根据逻辑函数的输入变量个数画出卡诺图，再将真值表的值填写在每一个小方格中即可。需注意二者的顺序不同。

【例2-21】

已知逻辑函数Y的真值表如表2-19所示，要求画出Y的卡诺图。表2-19逻辑函数Y的真值表图2-10函数Y的卡诺图

解该函数为三变量。先画出三变量函数卡诺图，然后根据真值表将8个最小项的取值“0”或者“1”填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图2-10所示。

由最小项表达式画卡诺图时，只需把逻辑函数最小项表达式中包含的最小项在对应的小方格中填入1，其余的小方格中填入0即可。

【例2-22】

画出函数Y(A、B、C、D)=∑m(0，3，5，7，9，12，15)的卡诺图。图2-11例2-22卡诺图对非标准逻辑函数表达式，将之变换成最小项表达式后再画图。

有些函数变换成最小项表达式时十分繁琐，可以采用直接观察法来填卡诺图。基本原理是：在逻辑函数的与-或式中，乘积项中只要有一个变量因子取值为0，该乘积项则为0，相应方格填0；只有所有变量因子的取值全部为1时，该乘积项才为1。如果乘积项中没有包含全部变量因子，即不是最小项，但只要乘积项中现有变量因子能满足使该乘积项为1的条件，该乘积项的值即为1。例如，F=

B

+

D

+BD，这是一个四变量逻辑函数，第一个乘积项B中缺少变量D，但只要变量A、B、C取值为0、1、0组合，不论D取值为1或0，均可使乘积项B

=1。因此，在卡诺图中对应A=0、B=1、C=0的两个小方格，即B

和B

D均可填1，如图2-12中m4和m5中的1；第二个乘积项D中缺少变量A、B，在卡诺图中对应C=0、D=1四个小方格，即D、B

D、

A

D、AB

D中均可填1，如图2-12中m1、m5、m9和m13中的1；第三个乘积项BD，在卡诺图中对应B=1、D=1的四个小方格中均可填1，如图2-12中m5、m7、m13和m15中的1。这样就得到表示函数F=

B

+

D+BD的卡诺图，如图2-12所示。图2-12函数F=

B

+

D+BD的卡诺图

3.卡诺图化简法

卡诺图不仅是描述逻辑函数的一种方法，而且利用它还可以方便直观地对逻辑函数进行化简。由于卡诺图两个相邻最小项中只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，即利用公式A

+AB=A，便可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。该化简方法简单直观，克服了公式化简法的一些缺陷，故被广泛采用。

1)卡诺图中最小项合并的规律

两个最小项相邻，可消去1个取值不同的变量而合并为1项，图2-13示出了两个最小项合并的例子。4个最小项相邻，可消去两个取值不同的变量而合并为1项，图2-14示出

了4个最小项合并的例子。8个最小项相邻，可消去3个取值不同的变量而合并为1项，图2-15示出了8个最小项合并的例子。图2-132个最小项合并举例图2-144个最小项合并举例图2-158个最小项合并举例不难看出，合并的规律是2n个相邻最小项可合并，如2、4、8个相邻项可合并，不满足2n关系的相邻最小项不可合并，而且相邻关系应是封闭的，如m0、m1、m3、m2四个最小

项，m0与m1，m1与m3，m3与m2均相邻，且m2和m0还相邻。这样的2n个相邻的最小项可合并。而m0、m1、m3、m7，由于m0与m7不相邻，因而这4个最小项不可合并为一项。因此，合并最小项的规律为：2n个相邻的最小项合并，可以消去n个取值不同的变量而合并为1个与项。在将每个合并圈用一个与项表示时，将圈内各最小项中变化的变量消去，不变的变量保留。对于不变的变量，取值为1用原变量表示，取值为0用反变量表示，合并后的与项中只包含这些最小项的公共变量因子。另外，在合并过程中，根据

A+A=A，一个最小项可视需要反复使用。

2)利用卡诺图化简逻辑函数

在卡诺图上化简逻辑函数时，采用画圈合并最小项的方法。函数化简后乘积项的数目等于合并圈的数目；每个乘积项所含变量因子的多少，取决于合并圈的大小。合并圈越大，合并后乘积项中变量数就越少，表达式越简单。总之，化简原则是合并圈数尽可能少，每个合并圈尽可能大。

为了说明在卡诺图上化简逻辑函数的方法，先介绍几个概念。主要项：主要项的圈不被更大的圈所覆盖。如图2-16(a)中的和ABC都是主要项，而图2-16(b)中的不是主要项，因为圈还可以扩大，圈才是主要项。

必要项：凡是主要项的圈中至少有一个“特定”的1格没有被其它主要项所覆盖，这个主要项称为必要项。如图2-16(a)中的和ABC以及(b)中的都是必要项。多余项：一个主要项的圈如果不包含有“特定”1格，也就是它所包含的1格均被其它的主要项圈所覆盖，这个主要项就是多余项，也称冗余项。如图2-16(c)中的B，它所包含的两个1格分别被和BC圈所覆盖，因此它是一个多余项。图2-16主要项、必要项、多余项举例用卡诺图化简逻辑函数时，需注意以下几点：

(1)卡诺图中的每个“1”都要圈到。每个圈必须包含2i个“1”，并且合并圈尽量地大。

(2)“1”可被重复圈，但每圈至少要包含一个自己特有的“1”格。

(3)圈完后，进行圈内变量的化简，变量之间的关系是相与。

(4)圈与圈之间的关系是相或，最后得最简与-或式。用卡诺图化简逻辑函数的步骤：

(1)画出逻辑函数相应的卡诺图。

(2)圈出所有没有相邻项的孤立1格主要项。

(3)找出只有一种合并可能的1格，从它出发把相邻2i个1格圈起来，构成主要项。

(4)剩下的1格可以在多种合并方式中选择一种来加圈合并，所选的合并方式必须使所有1格都无遗漏地至少被圈一次，而且总圈数最少。

(5)圈内变量相与，圈与圈之间相或，得最简与-或式。

【例2-23】

化简函数：

F(A，B，C，D)=∑m(1，2，4，5，6，7，11，12，13，14)

解

(1)作出相应的卡诺图，如图2-17(a)所示。为了叙述方便，在卡诺图中可标出函数F的最小项号码，也可在对应最小项中填1。

(2)圈出没有相邻项的孤立最小项m11，如图2-17(b)所示。

(3)找出只有一种合并可能的最小项1格，从它出发把相邻2i个1格圈起来。如图2-17(b)所示，从m1出发包含m1和m5的圈，从m2出发包含m2和m6的圈，从m7出发包含m4、m5、m6和m7的圈，从m13出发包含m4、m5、m12和m13的圈，从m14出发包含m4、m6、m12和m14的圈。图2-17例2-23卡诺图化简结果，所有最小项都至少被一个圈覆盖，而且每个圈中都包含有“特定”的最小项只被一个圈覆盖，因而没有多余项。最后函数化简的结果是各圈乘积项之和，即

此题容易出错的地方在于易将最小项m6和m14圈为二单元圈，实际上应将图中m4、m6、m12、m14圈成四单元圈，化简为B

。

【例2-24】

化简函数：

F(A，B，C，D)=∑m(0，2，5，6，7，8，9，10，11，14，15)图2-18例2-24卡诺图化简

解作出相应的卡诺图，如图2-18所示。首先从只有一种圈法的最小项开始，从m0出发圈出∑m(0，2，8，10)；从m5出发圈出∑m(5，7)；从m9出发圈出∑m(8，9，10，11)。余下的最小项m6、m14

、m15均有两种圈法，在这些不同的圈法中，应选取采用最少的圈数且又能将余下的最小项全部圈入的圈法，即只用一个圈∑m(6，7，14，15)就将余下的最小项m6、m14

、m15全部覆盖。因此，F化简后的表达式为

前面所述是对卡诺图中所有1格进行加圈合并，得到函数的最简与-或式。同理，也可以对卡诺图中所有0格进行加圈合并，得到函数的最简或-与式。0格表示最大项，合并0

格即合并最大项，合并原理及化简方法和步骤与圈1格的方法完全相同。所不同的是，由2i个0格构成的圈，由圈内取值不变的变量相或(相加项)来表示(以原变量表示变量取值0，以反变量表示变量取值1)，最后所有的或项相与(乘)，构成最简或-与式。

【例2-25】化简函数Y=A

+BC+

C+B

。

解画出函数Y的卡诺图如图2-19所示。卡诺图化简得最简与-或式为

Y=A

+

C+B图2-19例2-25卡诺图

【例2-26】

用卡诺图将下面函数化为最简或-与式：

F(A，B，C，D)=∏M(0，5，7，8，13，15)

解函数F的卡诺图如图2-20所示，圈0化简：

∏M(0，8)=B+C+D

∏M(5，7，13，15)=

最后得最简或-与式

F(A，B，C，D)=(B+C+D)(

+

)图2-20例2-26卡诺图化简

4.具有无关项的逻辑函数的化简

逻辑问题分完全描述和非完全描述两种。对应于变量的每一组取值，若函数都有定义，即在每一组变量取值下，函数F都有确定的输出值，不是“１”就是“０”，逻辑函数与每个最小项均有关，这类问题称为完全描述问题，如表2-20所示。

在实际逻辑问题中，对应于输入变量的某些取值，输出函数的值可以是任意的，或者这些输入变量