2025届高考数学试卷专项练习02不等式计数原理含解析

不等式计数原理一、单选题1．（2024·江苏常州市·高三一模）若则满意的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】按或0，，和四种状况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围．【详解】①当或0时，成立；②当时，，可有，解得；③当且时，若，则，解得若，则，解得所以则原不等式的解为，故选：B2．（2024·湖南衡阳市·高三一模）设，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得且，然后结合基本不等式与中间值1比较，用不等式的性质比较大小可得．【详解】易知：,，，，明显成立.所以．故选：C．3．（2024·全国高三二模（理））若实数，满意约束条件，则的最小值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】先画出可行域，表示可行域内的点到原点的距离的平方加1，由图可知最近的距离为到直线的距离，从而可得答案【详解】如图1，作出平面区域可知：的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方加1，所以最近的距离为到直线的距离，所以的最小值为，故选：C.4．（2024·河北唐山市·高三二模）不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在同一坐标系中作出函数的图象，先求得的解，然后由图象写出的解集.【详解】再同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：当时，解得，由图象知：的解集是故选：B二、多选题5．（2024·山东淄博市·高三一模）已知，，且，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】利用特别值解除BD选项，利用幂函数、指数函数、对数函数的性质证明AC选项正确.【详解】取，则，，所以B选项错误.取，则，所以D选项错误.由于在上递减，且，所以，所以A选项正确.由于，所以；由于，所以，由于在上递增，所以，故C选项正确.故选：AC6．（2024·辽宁沈阳市·高三一模）若，则使成立的充要条件是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】利用不等式的基本性质和充要条件的定义推断.【详解】，B选项正确；则肯定不成立，C选项错误；，D选项正确.故选：ABD7．（2024·江苏高三专题练习）已知，且，则（）．A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由对数函数性质可知，为单调减函数，可判定A正确；由基本不等式，可判定B错误；由指数函数和幂函数性质，可判定C错误；令的单调性，可判定D正确．【详解】对于A中，由，且，可得，，由对数函数性质可知，为单调减函数，因为，，，所以，所以A正确；对于B中，由，，可得，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以B错误；对于C中，由，，因为指数函数性质可知，都是单调递减函数，，所以，所以C正确；对于D中，令，是单调递增函数，因为，所以D正确．故选：ACD．8．（2024·山东临沂市·高三其他模拟）下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】依据选项是的充分不必要条件，选项所给的不等式可以推出，但推不出选项所给的不等式即可．【详解】对于选项：若，则，则，反之，当时得不出，所以是的充分不必要条件，故正确；对于B选项：由可得，即能推出；但不能推出因为的正负不确定)，所以是的充分不必要条件，故B正确；对于C选项：由可得，则，不能推出；由也不能推出(如)，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项:若，则，反之得不出，所以是的充分不必要条件，故选项D正确．故选：ABD．9．（2024·江苏盐城市·高三二模）已知，下列选项中正确的为（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】依据指数函数、对数函数的性质,不等式性质推断．【详解】A错，例如满意，便；B正确，，，又，所以，而，所以；C正确，设，，，则，，所以，即．D错误，，，，所以，不肯定成立．故选：BC．10．（2024·河北张家口市·高三一模）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】对于A，由已知条件可得，再由指数函数的性质可得，然后给不等式两边开平方可得结果；对于B，对化简可得，两边开方可得结果；对于C，由于，化简后可得结果；对于D，由基本不等式可得，再结合已知条件可得，从而可推断D，【详解】对于A，因为，且，所以，所以，所以，故A正确；对于B，，所以，当且仅当，即时取等号，故，故B正确；对于C，，当且仅当，即时取等号，故，得，故C正确；对于D，已知，且，所以，即，则，当且仅当，即时取等号，故D错误．故选：ABC．11．（2024·全国高三专题练习）已知实数满意，且，则下列结论正确的是（）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【解析】将两边平方后结合可得A正确，利用基本不等式可推断BC的正误，利用导数求出的最小值后可推断D的正误.【详解】因为，故，所以，因为，故，故A正确.又可化为即，所以，而，故，整理得到，故，当且仅当时；当且仅当时；故的最小值为，的最大值为1，故B错误，C正确.又，其中.令，，故，当时，，当时，，当时，，故在为增函数，在为减函数，为增函数，故，故D正确.故选：ACD.12．（2024·江苏高二月考）若实数，则下列不等关系正确的是（）A．B．若，则C．若，则D．若，，，则【答案】BCD【解析】对A，由指数函数以及幂函数的单调性即可推断；对B，由对数的运算以及对数函数的单调性即可推断；对C，利用做差法即可比较大小；对D，利用分析法即可证明.【详解】解：对A，在上单调递减，又，，，当时，在上单调递增；当时，在单调递减；故无法推断与大小，故A错误；对B，当时，，，，故B正确；对C，当时，，，故C正确；对D，要证，即证，即证，，即证，，，令，，又，，即，即原式得证，故D正确.故选：BCD．13．（2024·山东烟台市·高三一模）若，则（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】依据指数函数，对数函数，幂函数的单调性可推断.【详解】对于A，当时，单调递增，所以由可得，故A正确；对于B，当时，所以，所以在单调递增，由可得，故B正确；对于C，因为，又，所以，所以，故C正确；对于D，当时，单调递增，所以由可得，则，即，故D不正确.故选：ABC.14．（2024·江苏常州市·高三一模）已知正数，满意，则（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，依据指对互化和换底公式得：，再依次探讨各选项即可.【详解】由题意，可令，由指对互化得：，由换底公式得：，则有，故选项B错误；对于选项A，，所以，又，所以，所以，故选项A正确；对于选项C､D，因为，所以，所以，所以，则，则，所以选项C正确，选项D错误；故选：AC.【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解实力，是中档题.本题解题的关键在于令，进而得，再依据题意求解.15．（2024·辽宁高三二模）若实数，则下列不等式中肯定成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】构造函数，利用导数可得函数在上单调递减，由可推得A正确，由可推得B正确，当时，作差比较可知C错：作差，利用换底公式变形，再依据基本不等式推断符号，可得D正确.【详解】对A，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以，所以，所以，故A正确；对B，由A知，函数在上单调递减，因为，所以，所以，即，即，所以，所以，故B正确：对C选项，当时，，故C错：对D，因为，所以，，，，所以，即，故D正确.故选：ABD16．（2024·河北唐山市·高三二模）已知，且，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析推断.【详解】因为，且，对A，，所以，故A正确；对B，取，所以，故B错误；对C，，当且仅当取等号，又因为，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故C正确；对D，当，，所以；当，，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故D正确.故选：ACD.17．（2024·山东枣庄市·高三二模）已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】先依据已知条件推断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证明推断出各选项的对错.【详解】因为，所以，所以；A．因为，取等号时满意，故A错误；B．因为，故B正确；C．因为，取等号时满意，故C正确；D．因为，所以要证，只需证，只需证，即证，即证，即证，明显成立，且时取等号，故D正确；故选：BCD.18．（2024·全国高三专题练习）下列结论正确的是（）A．， B．若，则C．若，则 D．若，，，则【答案】BD【解析】对每个选项留意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误.【详解】当时，为负数，所以A不正确；若，则，考虑函数在R上单调递增，所以，即，所以B正确；若，则，，所以C不正确；若，，，依据基本不等式有所以D正确.故选：BD三、填空题19．（2024·河北邯郸市·高三一模）已知，则的最小值为__________．【答案】16【解析】依据题意由绽开利用基本不等式可求解.【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16.故答案为：16.20．（2024·河南平顶山市·高三二模（理））若，满意约束条件，则的取值范围为______．【答案】【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】作出可行域如图所示：依据可行域中的条件，求得，把目标函数转化为，当目标函数过时，有最小值，当目标函数过时，有最大值.所以的取值范围是.故答案为：.21．（2024·湖南岳阳市·高三一模）已知点在线段上运动，则的最大值是____________．【答案】【解析】干脆利用基本不等式计算可得；【详解】解：由题设可得：，即，∴，即，当且仅当时取“=”，故答案为：．其次部分计数原理一、单选题1．（2024·广东肇庆市·高三二模）二项式的绽开式的常数项为60，则的值为（）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】先求出二项式绽开式的通项公式，再求出常数项，由常数项为60，列方程可求出的值【详解】，令，所以.令，解得，故选：C.2．（2024·江苏省天一中学高三二模）我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲､乙，丙､丁､戊､己､庚､辛､王､癸，地支有十二个，依次是子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.古人把它们依据甲子､乙丑､丙寅……的依次而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年､月､日､时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法(即农历).干支纪年历法，是矗立于世界民族之林的科学历法之一.今年(2024年)是庚子年，小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日，小华爸爸诞生那年的农历是（）A．庚子 B．甲辰 C．癸卯 D．丙申【答案】B【解析】先求得小华爸爸诞生年份为年，由年是庚子年计算出小华爸爸诞生那年的农历.【详解】小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日，小华爸爸诞生于年.按六十年一个甲子，今年(2024年)是庚子年，60年前(1960年)是庚子年，由干支纪年法知，1961，1962，1963，1964年分别是辛丑，壬寅，癸卯，甲辰年.故选：B3．（2024·湖南衡阳市·高三一模）二项式的绽开式中常数项为，则含项的系数为（）A． B． C．6 D．15【答案】A【解析】先写出二项式的绽开式生的通项公式，由通项公式结合条件先求出参数，再依据通项公式可求出答案.【详解】二项式的绽开式生的通项公式为当时，为常数项.则，令，得，所以含项的系数.故选：A4．（2024·河北张家口市·高三一模）小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育熬炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（）A．261种 B．360种 C．369种 D．372种【答案】C【解析】由题意可知分三种状况求解，一是有1种无氧运动选中，二是有2种无氧运动选中，三是有3种无氧运动选中，再由分类加法计数原理可求得结果【详解】解：从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育熬炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（种）．故选：C．5．（2024·全国高三专题练习）多项式绽开式中的系数为A． B． C． D．【答案】C【解析】首先原式，分两部分求的系数.【详解】原式，所以绽开式中含的项包含中项为，和中的项为，这两项的系数和为.故选：C6．（2024·山东淄博市·高三一模）有7名学生参与“学党史学问竞赛”，询问竞赛成果，老师说：“甲的成果是最中间一名，乙不是7人中成果最好的，丙不是7人中成果最差的，而且7人的成果各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（）A．120种 B．216种 C．384种 D．504种【答案】D【解析】甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.【详解】因为甲的成果是中间一名，所以只需支配其余6人位次，因为乙不排第一名，丙不排最终一名，所以由间接法可得,

故选：D7．（2024·全国高三专题练习）北京2024年冬奥会祥瑞物“冰墩墩”和冬残奥会祥瑞物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完备结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣扬2024年北京冬奥会和冬残奥会，某学校确定派小明和小李等名志愿者将两个祥瑞物安装在学校的体育广场，若小明和小李必需安装同一个祥瑞物，且每个祥瑞物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有种，共计有种，故选：A.8．（2024·山东济宁市·高三一模）若的绽开式中的系数是80，则实数（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】利用通项公式找到的系数，令其等于80，求解即可.【详解】二项式绽开式的通项为，令，得，则，所以，解得.故选：A9．（2024·广东广州市·高三一模）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传闻中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30 B．40 C．44 D．70【答案】B【解析】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，列式即得答案.【详解】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有种方法，或是两偶一奇，共有，共有种方法.故选：B10．（2024·广东深圳市·高三一模）小明跟父母、爷爷和奶奶一同参与《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【解析】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序即可．【详解】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则，故所求的坐法种数为12，故选：B．11．（2024·山东高三专题练习）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学支配了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器支配一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（）A．960 B．1024 C．1296 D．2024【答案】C【解析】排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中，（2）“丝”不被选中，结合分类计数原理，即可求解.【详解】由题意，排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中，不同的方法总数为种；（2）“丝”不被选中，不同的方法总数为种．故共有种．故选：C12．（2024·山东烟台市·高三一模）绽开式中含项的系数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用二项式的通项公式可得绽开式的通项：，结合多项式相乘，使的指数为即可求解.【详解】绽开式的通项：，绽开式中含项为，所以绽开式中含项的系数为.故选：C13．（2024·河北唐山市·高三二模）在的绽开式中，常数项为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】写出二项式绽开式的通项公式求出常数项.【详解】绽开式的通项，令常数项，故选：D．14．（2024·江苏常州市·高三一模）绽开式中的系数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依据二项式定理得到绽开式通项，依据的取值可确定所求系数.【详解】绽开式通项公式为：，绽开式中的系数为：.故选：C.15．（2024·山东临沂市·高三其他模拟）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家经常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某高校为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必需将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再安排到三个学年共有种不同安排方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再安排到三个学年共有种不同安排方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再安排到三个学年共有种不同安排方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.16．（2024·辽宁高三二模）某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天支配一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种．A．5040 B．1260 C．210 D．630【答案】D【解析】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，即可求解.【详解】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有种．故选：D.17．（2024·山东枣庄市·高三二模）若，则（）A．20 B． C．15 D．【答案】B【解析】先将写成，然后依据绽开式的通项求解出项的系数即为.【详解】因为，所以绽开式的通项为，令，则，所以，故选：B.18．（2024·辽宁沈阳市·高三一模）2024年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有女、男名老师报名成为志愿者，现在有个不同的社区须要进行普查工作，从这名志愿者中选派名，每人去个小区，每个小区去名老师，其中至少要出名女老师，则不同的选派方案有多少种（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】分只有一名女老师和两名女老师两种状况探讨得解.【详解】只有一名女老师：;选派两名女老师：；所以共有72+24=96种方法.故选：C19．（2024·山东日照市·高三一模）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为A． B．C． D．【答案】B【解析】分甲和另一个人一起分到A班有，甲一个人分到A班的方法有：，加到一起即为结果.【详解】甲和另一个人一起分到A班有=6种分法，甲一个人分到A班的方法有：=6种分法，共有12种分法；故答案为B.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“辨别”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“辨别”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较困难的应用题中的元素分成相互排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简洁的排列、组合问题，然后逐步解决．二、多选题20．（2024·全国高三专题练习）已知的绽开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．B．绽开式中常数项为160C．绽开式系数的肯定值的和1458D．若为偶数，则绽开式中和的系数相等【答案】ACD【解析】中，给赋值1求出各项系数和,列出方程求出，利用二项绽开式的通项公式求出通项，进而可得结果.【详解】对于A，令二项式中的为1得到绽开式的各项系数和为，，故A正确；对于B，，绽开式的通项为，当绽开式是中常数项为：令,得可得绽开式中常数项为：，当绽开式是中常数项为：令,得(舍去)故的绽开式中常数项为.故B错误；对于C，求其绽开式系数的肯定值的和与绽开式系数的肯定值的和相等，令，可得：绽开式系数的肯定值的和为：.故C正确；对于D，绽开式的通项为，当为偶数，保证绽开式中和的系数相等①和的系数相等，绽开式系数中系数为：绽开式系数中系数为：此时和的系数相等，②和的系数相等，绽开式系数中系数为：绽开式系数中系数为：此时和的系数相等，③和的系数相等，绽开式系数中系数为：绽开式系数中系数为：此时和的系数相等，故D正确；综上所在，正确的是：ACD故选：ACD.三、填空题21．（2024·山东青岛市·高三一模）二项式绽开式中的常数项为________．（用数字作答）【答案】240【解析】由，令12﹣3r＝0，得r＝4，由此能求出常数项．【详解】在二项式中，通项公式得，由12﹣3r＝0，得r＝4，∴常数项为.故答案为240．22．（2024·江苏省天一中学高三二模）若，则_____.【答案】【解析】利用赋值法可求代数式的和.【详解】令，得，所以.故答案为：23．（2024·河南平顶山市·高三二模（理））已知，若点关于直线的对称点坐标为，则______．【答案】32【解析】现依据点关于线对称求出的值,再依据二项式定理求出对应项的系数即可.【详解】解:若点关于直线的对称点坐标为,所以两点的中点在直线上,所以,解得.所以,是的系数,是的系数,是的系数,对于第项为,令或时,有,所以;令或时,有,所以;令时,有,所以;所以.故答案为:3224．（2024·辽宁铁岭市·高三一模）某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．【答案】36【详解】先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学安排到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．25．（2024·山东临沂市·高三其他模拟）二项式的绽开式中的系数为_________.(用数字作答)【答案】4860【解析】由二项绽开式，列方程即可得出结果.【详解】二项式绽开式中的第项则，此时故答案为：.26．（2024·辽宁高三二模）若的绽开式中，的系数为15，则___________.【答案】6【解析】先求得的绽开式的通项公式，再依据的系数为15求解.【详解】因为的绽开式的通项公式为，且的系数为15，所以，即，解得(舍)或.故答案为：627．（2024·全国高三二模（理））的绽开式中的系数为_______